第23章 解直角三角形综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

CD·cos60°=80×2=40(m).”四边形 GFEC是矩形，.EF=CG=40√3m, GF CE=60 m..'DF DG+GF 100m.在Rt△BDF中，BF=DF· ian∠BDF-SDF= 100w3 3 m,.'AB= BF+EF +AE 1003 3 十405十25≈ 150(m).∴.荷花池的宽度AB约为150m. 小结 解直角三角形时，常常将不规则图形转化为 直角三角形求解.题目中给的参考数据能帮助我 们找到要构造的直角三角形，将所给参考角放在 直角三角形中，然后利用线段之间的关系求解 对应练习 4.2025年春节联欢晚会上，16个人形机器 人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈 《秧BOT》.如图①是其动作1的示意图， 胳膊AB=40cm,OB=30cm,旋转的手 绢近似圆形，半径OD=20cm,手绢OD 与手臂OB始终保持垂直（参考数据： sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40， sin23.6°≈0.40，cos23.6°≈0.92). (1)若肘关节点B与肩关节点A之间的 竖直高度为16cm,即BF=16cm,求肘 关节角∠ABO的度数. 综合素养提升 1.[2026六安段考]比较tan50°，cos10°，sin7 A.tan50°<cos10°<sin70° C.sin70°<tan50°<cos10° 2.[2026宣城期末]已知公式sin(a十3)=sin A.6+② B.6-② 4 4 第23章解直角三角形 (2)在(1)的条件下，如图②，机器人手臂 绕肩关节点A向下旋转90°，即 ∠BAB′=90°，同时调节肘关节角 ∠ABO'=90°，完成动作2.问此时手绢 端点D'与机器人身体AE的水平距离， 即DG的长度为多少？ COD COD B B O' Gh---3D 机器人 机器人 ① ③ (第4题) 强化综合运用，融会贯通 0°的大小关系是 () B.tan50°<sin70°<cos10° D.sin70°<cos10°<tan509 xcos3+cos asin3,则sin75的值为() C1+5 4 D.3-1 2 23 数学（沪科版）九年级上 3.在△ABC中，若(3tanA一3)2十2cosB一√3|=0，则下列说法正确的是 A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等边三角形 C.△ABC是含有60°的任意三角形 D.△ABC是顶角为钝角的等腰三角形 4.如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为60°，斜坡AD的长为6米，坡度i= 3：4,BD的长为5米，则古塔BC的高度为 () A.495+18米 B.10√5米 C.(3+103)米 D.(4+95)米 5 B (第4题) (第5题) (第6题) (第7题) 5.如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A,B,C都在格点上，则 cosB的值为 6.如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD,ED⊥AD交AC于点E,BC⊥AC,且 os∠CBE-5 ∠ABR-0则AC的值为 7.如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点A作AF⊥DE于点F,连接BF.若 AB=BF,DF=3,sin∠DAF-三，则矩形ABCD的面积是 8.[2025海南中考]现有一台红外线理疗灯（如图①），如图②是该设备的平面示意图.该设 备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A,B,C三点在同一条直线 上，AC⊥AF,AF与水平线1平行，CD与1的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2.经测量， AB=12cm,BC=26cm,DE=30cm,∠BCD=154°，∠CDE=63°. (1)填空：∠1= °，∠2= (2)当点E到AF的距离EM=50cm时，该设备使用效果最佳.求此时伸缩杆CD的长 度（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. B ① (第8题) 241s30-1+1am0-m451=9-1+w5-1 1-+-1 ③(1)如图①，过点P作PH⊥AB于点H.:∠BPC= 90,PB=名，x=1.s∠CP=设= ∴.∠CBP=60°.：∠ABC=90°，∴.∠PBH=90°-60°= 30PH-PB-1BH-PHAB-35, 4 .AH-AB-BH-AP-FAF 4 2 (2)如图②，过点A作AT⊥BP交BP的延长线于点T. :m∠T-部-号AB=5,易得AT=9 7 BT=2②.：∠BCP+∠CBP=90,∠CBP+ ∠ABP=90,∠BCP-∠ABP.tan∠BCP=P5= PC S:BC=1,易得PB=I.PT=BT-PB 2 7 T.&m∠APT=识=E.:∠AT=0 7 ∴.∠APB=180°-∠APT=120° ⊙ ② (第3题) ④(1)在Rt△ABF中，AB=40cm,BF=16cm, s乙ABF-裙-a4:ms成40,0乙ABF 66.4°.∴.∠AB0=180°-66.4°=113.6°.(2)如图，过 点A作OB的垂线，交OB的延长线于点F,过点B'作AE 的垂线，交AE于点M,过点O作GD'的垂线，交GD'于点 H,交MB的延长线于点N,则四边形GHNM是矩形.由 (1)知，∠ABF=66.4°，∴.∠BAF=90°-∠ABF=23.6°， :∠BAB'=∠FAM=90°，∴.易得∠MAB'=∠BAF= 23.6°.：∠AMB'=∠AB'O=∠B'NO'=∠B'OD'= 90°，∴.∠HOD'=90°-∠B'ON=∠NB'O=90°- ∠ABM=∠MAB'=23.6°.由旋转的性质可知，O'D'= OD=20 cm,AB'=AB=40 cm,O'B'=OB=30 cm.. 边形GHNM是矩形，∴.GH=MN.∴.D'G=GH+ 附：答案与解析 D'H=MN D'H=MB'+B'N+D'H AB'. sin23.6°+O'B′·cos23.6°+O'D'·sin23.6°≈40X 0.40+30×0.92+20×0.40=16+27.6+8=51.6(cm), 即D'G的长度为51.6cm. COD B (第4题) 综合素养提升】 ①Dsin70°=c0s20°且10°<20°，∴.cos10°> cos20°=sin70°，即sin70°<cos10°..'tan45=1,50> 45°，.tan50>1.又.cos10°<1，.cos10°<tan50. .sin70°<cos10°<tan50°. ②Asin75°=sin(30°+45)，∴.sin75°=sin30°· s45+m05-号×9+号×95+2 2 2 2 4 ③A(3tanA-3)2+|2cosB-3|=0, 3tan A=3,2cos B-/3.tan A=3,cos B=3 21 ∴.∠A=60°，∠B=30°.∴.∠C=180°-∠A-∠B=90° ∴.△ABC是直角三角形 ④A如图，过点A作AE⊥BC,AF⊥BD,垂足分别为 E,F,则四边形AEBF是矩形，∴.BE=AF,AE=FB. 斜坡AD的坡度i=3:4,∴.设AF=3x米，DF= 米心AD=5x米.：AD=6米，5=6，即x二号 B版=AF=S米，DF号米：BD=5米AE FB=DF+BD=兰+5=号（米），.由题意，得∠CAE= 60,.CE=AE·tan∠CAE=49,5米..BC=BE+ CE-49,5+18米，即古塔C的高度 493+18米. 5 5 D B (第4题) 如图，延长BC交格点于点M,连接AM.·每个 31 数学（沪科版）九年级上 小正方形的边长均为1，.由勾股定理，得BM= √4+4=4√2，AB=√22+6=2/10，AM= √2+2=2√2.∴.AMP+BMP=AB2..△ABM是直 角三角形，且∠AMB=90°.在Rt△ABM中，cosB= M-42-25 AB2√/105· B (第5题) 0 :如图，过点E作EF⊥AB于点F,则∠EFB=9O°. AC平分∠BAD,ED⊥AD,∴.∠EDA=90°，∠EAD= ∠BAC,EF=ED.'∠EFB=90°，∠ABE=30, .BE=2EF=2ED.BC⊥AC,∴.∠BCA=∠EDA= 90m∠CBE-s-8E--点则 ∠EAD=∠BAC.∠EDA=∠BCA△ADE △cC需-是 B (第6题) 0号 :四边形ABCD是矩形，.∠BAD=90. AF⊥DE,∴.∠AFD=90°.：DF=3,sin∠DAF= AD- in∠DAF= =5..AF= 3 √AD2-DF=√52-3=4.如图，过点B作BH⊥AF 于点H,则∠AHB=∠BAD=90°，'.∠DAF+∠BAH= 90°=∠ABH+∠BAH.∴.∠DAF=∠ABH. :m∠DAF=号=血乙ABH=A怨：AB=BF, 32 &AH=HB=3AF-号×4=2“品号AB= 23 号：AD·AB=5X号-9，即矩形ABD的面积 是 D H E (第7题) ⑧(1)64；53.如图，过点C作CN⊥ME于点N. .EM⊥AF,.CN∥AF.:AC⊥AF,∴.∠ACN=90° :AF与水平线I平行，.CN∥L..∠1=∠DCN= ∠BCD-∠ACN=154°-90°=64°.∴.∠2=180°-∠1- ∠CDE=180°-63°-64°=53°.(2)如图，过点D作 DH⊥CN于点H,过点E作EG⊥DH于点G,则四边形 EGHN和四边形CAMN均为矩形..MN=AC,GH= EN,GE∥CN.∴.MN=AC=AB+BC=12+26= 38(cm)..EM=50 cm,.'GH=EN=EM-MN=50- 38=12(cm).GECN,CN∥l,∴.GE∥.∴.DG⊥l. DE=30cm,∠2=53°，∴.∠EDG=90°-53°=37°. .DG=DE·c0s∠EDG=30×cos37°≈30X0.8= 24(cm).∴.DH=DG+GH=24+12=36(cm).:∠1= 64,.∠CDH=90°-64°=26..CD= DH cos∠CDH= os26≈0.9-40(cm),即此时伸缩杆CD的长度约为 36 36 40cm. 2 G B A M (第8题)