专题02 解直角三角形及其应用（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

专题02 解直角三角形及其应用 题型一 解直角三角形 题型二 坡度、坡角问题 题型三 仰角、俯角问题 题型四 方向角问题 题型五 其他应用问题 题型一： 解直角三角形 1.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（　　） A．2+ B．2 C．3+ D．3 【答案】A 【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值． 【详解】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°， ∴AB=2AC，BC= = AC． ∵BD=BA， ∴DC=BD+BC=（2+ ）AC， ∴tan∠DAC= = =2+ ． 故选：A． 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD= ，则线段AB的长为（　　） A． B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD= ， ∴AO=3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= =5， 故答案为：C． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC=，BC=2．则sin∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理列式求出AB的长，再根据同角的余角相等求出∠ACD=∠B，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=，BC=2， ∴AB===3， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠B， ∴sin∠ACD=sin∠B==． 故选C． 4.如图 ，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝ BD，连结AC，若tanB＝ ，则tan∠CAD的值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作DE∥AB交AC于点E，根据平行线的性质可得∠ADE＝∠BAD＝90°，由tanB＝ = ，可设AD＝5k，AB＝3k，根据平行线分线段成比例可得，即得DE＝ AB＝k，由tan∠CAD＝ 即可求出结论. 【详解】解：过点D作DE∥AB交AC于点E. ∵∠BAD＝90°，DE∥AB， ∴∠ADE＝90°， ∵tanB＝ = ，设AD＝5k，AB＝3k， ∵DE∥AB， ∴ ，DE＝ AB＝k， ∴tan∠CAD＝ ＝ ＝ . 5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】想要求AD的长，求CD的长即可，根据tan∠DBA=和tan45°=1，即可求得tan∠CBD的值，即可解题． 【详解】解：∵∠CBD+∠DBA=∠ABC=45°， ∴tan∠ABC==1， ∵tan∠DBA=， ∴tan∠CBD=， ∴CD=BC•tan∠CBD=2， ∴AD=3﹣2=1． 故选D． 6.如图，在▱ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E,设DF=x，则AD=2x，利用解直角三角形可得 【详解】解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E． 设DF=x，则AD=2x， ∵∠ADB=60°， ∴AF= x， 又∵AB：AD=3：2， ∴AB=3x，于是BF= x， ∴3x•DE=（ +1）x• x， DE= x，sin∠A= ， cos∠A= = ． 故答案为：A． 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= ，则AB=　 　． 【答案】17 【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=15， ∴ = ， 解得AC=8， 根据勾股定理得，AB= = =17． 故答案为：17． 8.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是　 　. 【答案】2 【分析】根据菱形的性质，在直角三角形AOB中，根据∠BAC的正切，求出BO的长度，即可得到BD的长。 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形 ∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 在直角三角形AOB，tan∠BAC== ∴OB=1 ∴BD=2BO=2 9.△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是　 　． 【答案】21 或15 【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解． 【详解】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D， 在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°， ∴AD= AB=6，BD=ABcosB=12× =6 ， 在Rt△ACD中，CD= = = ， ∴BC=BD+CD=6 + =7 ， 则S△ABC= ×BC×AD= ×7 ×6=21 ；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D， 由①知，AD=6、BD=6 、CD= ， 则BC=BD﹣CD=5 ， ∴S△ABC= ×BC×AD= ×5 ×6=15 ， 故答案为：21 或15 ． 10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长. 【答案】2 【分析】在Rt△BCD中，∠BDC＝45°, 可得△BCD是等腰直角三角形，即得BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，利用sinA = = ，可得AB=10，利用勾股定理求出AC=8，由AD=AC-CD即可求出结论. 【详解】解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°, ∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA= , ∴ = . ∴AB=10. ∴AC= =8. ∴AD=AC-CD=8-6=2. 11.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求sinC的值． 【答案】 【分析】在Rt△ABD中，由tan∠BAD＝ =，可求出BD=9，从而可得CD=BC-BD＝5，在Rt△ADC中，利用勾股定理可得AC=13，由sinC＝ 即可求出结论. 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴tan∠BAD＝ ， ∵tan∠BAD＝ ，AD＝12， ∴BD＝9， ∴CD＝BC－BD＝14－9＝5， ∴在Rt△ADC中，AC＝ ， ∴sinC＝ ＝ . 12.如图，在△ABC中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求AC和AB的长． 【答案】AC=10，ANB=8+6 【分析】 如图作CH⊥AB于H.根据含30°角的直角三角形的性质可得CH= BC=6，利用勾股定理求出BH=6 ，在Rt△ACH中，利用tanA= = ，可求出AH=8，然后利用勾股定理求出AC的长，根据AB=AH+BH即可求出结论. 【详解】解：如图作CH⊥AB于H． 在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°， ∴CH= BC=6，BH= =6 ， 在Rt△ACH中，tanA= = ， ∴AH=8， ∴AC= =10， ∴AB=AH+BH=8+6 ． 题型二： 坡度、坡角问题 1.如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的是（　　） A．sinα = B．cosα= C．tanα= D．tanα=2 【答案】C 【分析】坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，据此解答即可. 【详解】解：根据坡度的定义可知tanα=BC：AC=1：6． 故答案为：C． 2.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是（　　）cm． A．210 B．120 C．504 D．60 【答案】A 【分析】延长BD交CA于点E，根据题意可得：BE⊥CE，BE＝54cm，AE＝60cm，再根据已知易得CE＝5BE＝270（cm），然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：延长BD交CA于点E， 由题意得：BE⊥CE，BE＝3×18＝54（cm），AE＝2×30＝60（cm）， ∵斜坡BC的坡度i＝1：5， ∴， ∴CE＝5BE＝270（cm）， ∴AC＝CE﹣AE＝270﹣60＝210（cm）， ∴AC的长度是210cm， 故选：A． 3.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：，斜坡AB的水平宽度BE＝3m，那么斜坡AB的长为_________m.【来源：21cnj*y.co*m】 【答案】6 【详解】解答：∵斜坡AB的坡度为1：， ∴tanB＝， ∴∠B＝30°， ∵cosB＝， ∴AB＝＝6（m）， 故答案为：6. 4.如图，某河堤迎水坡AB的坡比，河堤高BC＝3m，则河堤的坡面AB的长为 　 　m． 【答案】． 【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵BC＝3m，坡AB的坡比， ∴， ∴， 故答案为：． 5.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°.【版权所有：21教育】 （1）求调整后的滑梯AD的长度 （2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米） （参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 【答案】（1）12米；（2）5.1米 【详解】解答：（1）Rt△ABD中， ∵∠ADB＝30°，AC＝6米， ∴AD＝2AC＝12（m） ∴AD的长度为12米； （2）∵Rt△ABC中，AB＝＝4（m）， ∴AD－AB＝12﹣4≈5.1（m）． ∴改善后的滑梯会加长5.1m． 6.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽为6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）21cnjy.com 【答案】90.6米 【详解】解答：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形， 由题意知：BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5， 在Rt△ABE中，i＝＝， ∴AE＝50米， 在Rt△CFD中，∠D＝30°， ∴DF＝＝20米， ∴AD＝AE+EF+DF＝50+6+20≈90.6（米）， 答：坝底AD的长度约为90.6米. 7.如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 【答案】该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据题意求出，再根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 在中，，牛， ， （牛）， 答：该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 8.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上.【来源：21·世纪·教育·网】 （1）求斜坡AB的水平宽度BC； （2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.（≈2.236，结果精确到0.1m） 【答案】（1）8m；（2）2m 【详解】解答：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴i＝＝， ∴BC＝2AC＝4×2＝8m， （2）作DS⊥BC于点S，且与AB相交于点H， ∵∠DGH＝∠BSH＝90°，∠DHG＝∠BHS， ∴∠GDH＝∠SBH， ∴tan∠GDH ＝tan∠SBH ＝＝＝， ∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m， ∴DH＝＝m，BH＝BF+FH＝3.5+（2.5－1）＝5m， 设HS＝xm，则BS＝2xm， 由勾股定理，得：x2+(2x)2＝52， 解得：x＝m， ∴DS＝DH+HS＝+＝2m， 答：点D离地面的高为2m. 9.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1： 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）． 【答案】（15+60）米 【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在Rt△BDN中求出线段BN，在Rt△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题． 【详解】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M． 在Rt△BDN中，BD=30，BN：ND=1： ，∴BN=15，DN=15 ，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BN=15，BM=CN=60 ﹣15 =45 ，在Rt△ABM中，tan∠ABM= = ，∴AM=×45=60，∴AC=AM+CM=15+60 ． 题型三： 仰角、俯角问题 1.如图，电线杆的中点C处有一标志物，在地面D处测得标志物的仰角为，若D到电线杆底部B的距离为12米，则电线杆的长为（　　）    A．8米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据题意可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的中点定义即可解答． 【详解】解：由题意得：米， 在中，， ∴（米）， ∵点C是AB的中点， ∴（米）， ∴电线杆AB的长为米． 故选：C． 2.如图，为了测得电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）21·世纪*教育网 A.50 B.51 C.50+1 D.101 【答案】C 【详解】设AG＝x， 在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝， ∴EG＝＝x， 在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝， ∴CG＝＝x，∴x﹣x＝100， 解得：x＝50，则AB＝50+1（米）， 故选：C． 3.在黄河口国际马拉松比赛上，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是_________________米．原创作品 【答案】200+200 【详解】由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200， ∵CD⊥AB于点D， ∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝， ∴AD＝＝200， 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠B＝45° ∴DB＝CD＝200， ∴AB＝AD+DB＝200+200， 故答案为：200+200． 4.如图，为测量某物体的高度，在点测得点的仰角为，朝物体方向前进到达点，再次测得点的仰角为，则物体的高度为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD＝DC−BC＝20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案． 【详解】∵在直角三角形ADB中，∠D＝30°， ∴＝tan30°， ∴BD＝＝AB， ∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝60°， ∴BC＝＝AB， ∵CD＝20， ∴CD＝BD−BC＝AB−AB＝20， 解得：AB＝m． 故答案为． 5.如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为．则求的长度为 （结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质，由题意可得，，得到，过点作于点，可知四边形为矩形，得到，，解得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，， 则， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， 在中，，，、 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，某山顶上建有手机信号中转塔，在地面D处测得塔尖的仰角，塔底的仰角，点D距塔的距离为100米，则手机信号中转塔的高度 （结果保留根号）． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．解答本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义，含，的直角三角形性质，解直角三角形． 先在中，根据，得出；再在中，根据含30°的直角三角形性质，求出，然后由即可求解． 【详解】由题意可知，与都是直角三角形． 在中， ∵， ∴ ， ∴ ． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴． ∴手机信号中转塔的高度为米． 故答案为：米． 7.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(≈1.7)【出处：】 【答案】32.4米 【详解】作BE⊥CD于点E，则CE＝AB＝12， 在Rt△BCE中，BE＝＝＝12， 在Rt△BDE中，DE＝BEtan∠DBE＝12tan45°＝12， ∴CD＝CE+DE＝12+12≈32.4， 所以，楼房CD的高度约为32.4米. 8.如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进12米到达处，又测得点的仰角为．请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据）    【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， （米， 建筑物的高度约为16米， 故答案为：16． 9.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为 ， 已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度(结果保留整数) (参考数据： ， ， 【答案】233米 【分析】 如图,作 交CB的延长线于D,设AD为x ，由题意可得△ADB是等腰直角三角形，可得BD=x，从而可得CD=x+100，在中，，由，可得，解出x的值即可. 【详解】解：如图，作 交CB的延长线于D， 设AD为x， 由题意得， ， ， 在 中， ， ，即CD=x+100， 在 中， ， ， ， 解得， ． 故热气球离地面的高度为233米. 10.“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到达B点后，在B点测得顶端D的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据题意得出DC=BC，进而利用tan30°=求出答案． 【详解】试题分析： 解：由题意可得：AB=46m，∠DBC=45°， 则DC=BC， 故tan30°= 解得：DC= 答：永定楼的高度CD为m． 11.图1是某学校的教学楼，共五层，每个楼层的高度相等．为了安全，在此楼顶装有铁围栏，小明同学想通过所学知识测出铁围栏的高度(的长)．图2是平面示意图，小明同学站在教学楼对面的教师楼二楼走廊A处，观测正对面教学楼五楼楼顶C 处的仰角为 测完又走到教师楼三楼走廊 B 处，观测正对面铁围栏顶部 D的仰角为 ．教师楼每一层的高度和教学楼每一层高度相等，且在同一水平高度．已知教师楼和教学楼之间的水平距离 约为，请问小明同学测得铁围栏的高度约为多少米？(参考数据： )    【答案】小明同学测得铁围栏的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，分别过点A，B作，则，解求出，则每一层高度为，据此可得；再解中，得到，则． 【详解】解：如图，分别过点A，B作．    由题可知． 在中，， ， ， ∴每一层高度为， ∴． 在中，， ， ， ∴． 答：小明同学测得铁围栏的高度约为． 题型四： 方向角问题 1.如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是(　　) A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】连接，由题意得：，，，，，根据得出，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，，，，， ， ， ， ， ， 即处在处的北偏东方向， 故选：C． 2.如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 海里（取≈1.7，结果精确到0.1海里）． 【答案】67.5 【详解】由题意知∠DBA＝∠DAB＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则．设DE＝x，则AB＝2x，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，则．在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，则DE＝BE＝x．由题意得，，解得（海里），∴AB＝2x＝2×35.7＝71.4（海里）． 3.近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：，） (1)求四边形空地边的长（精确到米） (2)政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为元，判断费用是否充足？ 【答案】(1)；(2)改造费用充足 【分析】（1）延长交于点，过点作于点， 在中，解直角三角形即可求出的长； （2）分别在中和中, 求出, 求出四边形的周长，再求出改造费用与计划费用比较即可作出判断. 【详解】（1）延长交于点，过点作于点， 由题意，知是矩形，米, 米, , ∴, 在中, (米)， (米)， ∴米， (米)， 在中， (米)， 答：四边形空地边的长约为米； （2）(米)，米， (千米)，米, 米, (米)， 需要改造费用 (元)， ， ∴改造费用充足． 4.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东 方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东 方向，求出这段河的宽度(结果精确到1米，参考数据： ， ， ， ) 【答案】37米 【分析】如图，延长CA交BE于点D，可得CD⊥BE，由题意可得∠DAB=45°，∠DCB=33°，设AD=x米，可得BD=xm,CD=20+x（m），在Rt△CDB中，由tan∠DCB=，可得，解出x的值即可. 【详解】解：如图，延长CA交BE于点D， 则 ， 由题意知， ， ， 设 米， 则 米， 米， 在 中， ， ， 解得 ， 答：这段河的宽约为37米． 5.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】没有危险 【详解】过点C作CE⊥AB于点E， 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°， 设AE＝x海里， 在Rt△AEC中，CE＝AEtan60°＝x； 在Rt△BCE中，BE＝CE＝x， ∴AE+BE＝x+x＝100(+1)， 解得：x＝100， ∴AC＝＝2x＝200． 在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°， 过点D作DF⊥AC于点F， 设AF＝y，则DF＝CF＝y， ∴AC＝y+y＝200， 解得：y＝100(－1)， ∴DF＝AF＝×100(－1)≈126.3海里， ∵126.3＞100， 所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险. 6.某景区有A、B、C、D四个景点，景点C在景点D的正东方向，景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东方向，已知景点A到的距离米，景点B到的距离米．米．（参考数据：，） (1)求景点C、D的距离（结果保留根号）； (2)小东和小明在景点D游览后，小东准备乘坐观光车，从景点D到景点A到再到景点B，小明则步行从景点D到景点C再到景点B，小明出发5分钟后，小东才搭上观光车出发，已知小明步行的平均速度为每分钟60米，观光车的速度为每分钟300米，观光车和小明中途不停歇，后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达吗？请说明理由． 【答案】(1)景点C、D的距离是米； (2)后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达，理由见解析． 【分析】（1）过点B作于点，可得四边形是矩形，得到，米，再根据直角三角形的性质，分别得到米，米，米，即可求出景点C、D的距离； （2）先利用勾股定理，求得米，从而求得小东所用时间，再利用锐角三角函数，求得米，从而求得小明所用时间，然后得到两人的时间差，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点， ， 四边形是矩形， ，米， 由题意：景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东30°方向， ∴，， 又∵米，米， 米， 在中，米， 米， 在中，米， 在中，米， 米， 即景点C、D的距离是米； （2）解：后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达，理由如下： 在中，米， 小东所用时间为分钟， 在中，米， 小明所用时间为分钟， 明出发5分钟后小东出发，观光车和小明中途不停歇， 两人的时间差为：， 后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达． 题型五： 其他应用问题 1.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ） A.144cm B.180cm C.240cm D.360cm 【答案】B 【详解】根据题意可知：：△AFO∽△ABD，OF＝EF＝30cm ∴＝，即＝， ∴DC＝72cm， ∵tan＝，∴＝， ∴AD＝×72＝180cm． 故选：B． 2.如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB＝18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（　　） A．9 B．15 C．6 D．9 【答案】D 【分析】过点A作AG⊥BH，先利用角间关系求出∠ABG，再在Rt△AGB中利用边角关系得结论． 【详解】解：过点A作AG⊥BH，垂足为G．如图． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°． ∵∠CBH＝30°， ∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠CBH＝60°． 在Rt△AGB中， ∵sin∠ABG， ∴AG＝AB•sin∠ABG ＝18•sin60° ＝18 ＝9（cm）． 故选：D． 3.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l1，l3，l4，l2上，若直线l1∥l2∥l3∥l4且相邻两直线间距离相等．若AB＝6，BC＝4，则l2，l3之间的距离为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设l2，l3之间的距离为d，CD与直线l3的交点为G，过点E作EM⊥BG，交BG与点M，过点C作CN⊥BG，交BG于点N，设∠EBM＝θ，则∠CBN＝90°﹣θ，用d表示sinθ、cosθ的值，可得关于d的方程，解可得答案． 【详解】解：根据题意，设l2，l3之间的距离为d，CD与直线l3的交点为G， 直线l1∥l2∥l3∥l4且相邻两直线间距离相等，则E为AB的中点， 过点E作EM⊥BG，交BG于点M，过点C作CN⊥BG，交BG于点N， 设∠EBM＝θ，则∠CBN＝90°﹣θ， 则sin∠EBM＝sinθ，sin∠CBN＝sin（90°﹣θ）＝cosθ， 又由sin2θ+cos2θ1，即1，解可得d， 即l2，l3之间的距离为， 故选：C． 4.光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】解：， ， 在中， ， 故答案为：． 5.如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段、可分别绕点A，B转动，已知．当转动到，转动到与垂直，点C恰好落在上；当转动到，转动到，点C到的距离为 ．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，） 【答案】7.1 【分析】当转动到，转动到与垂直时，点C恰好落在上，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，当转动到，转动到时，过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为E，根据题意可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：当转动到，转动到与垂直时，点C恰好落到上，如图： 在中，， 当转动到，转动到时， 过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为E， 则，， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：7.1． 6.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.2·1·c·n·j·y 【答案】(25－)km 【详解】过点B作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G， 在Rt△ABE中，BE＝ABsin30°＝20×＝10km， 在Rt△BCF中，BF＝BC÷com30°＝10÷＝km， CF＝BFsin30°＝×＝km， DF＝CD－CF＝(30－)km， 在Rt△DFG中，FG＝DFsin30°＝(30－)×＝(15－)km， EG＝BE+BF+FG＝(25－)km， 答：两条高速公路间的距离为(25－)km. 7.如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？ 【答案】（10 ﹣4）米 【分析】 如图，延长OC，AB交于点P ， 根据邻补角定义可得∠PBC=60°， 根据含30°角的直角三角形的性质可得OA= AD=10米，在Rt△CPB中，利用解直角三角形求出PC=BC•tan60°=2 米，PB=2BC=4米， 根据两角分别相等可证△PCB∽△PAO，可得，从而求出PA=10米， 利用AB=PA﹣PB即可求出结论. 【详解】解：如图，延长OC，AB交于点P． ∵∠ABC=120°， ∴∠PBC=60°， ∵∠OCB=∠A=90°， ∴∠P=30°， ∵AD=20米， ∴OA= AD=10米， ∵BC=2米， ∴在Rt△CPB中，PC=BC•tan60°=2 米，PB=2BC=4米， ∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°， ∴△PCB∽△PAO， ∴ ， ∴PA= = =10 米， ∴AB=PA﹣PB=（10 ﹣4）米． 答：路灯的灯柱AB高应该设计为（10 ﹣4）米． 8.如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 9.艳阳高照时，遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为△ABC）用立柱OP固定在地面上的点O处，此时OP垂直于地面OQ，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱OP上的滑动调节点B，打开支架PD，伞面撑开如图②，其中，AB′＝AC＝2m，∠C＝30°，D为动中点，PD＝1m，根据生活经验，当太阳光线与伞口B′C垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的） （1）某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为50°，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点B，此时立柱PO与支梁PD夹角大小是 　 　度． （2）如图④，正午时分，太阳光与地面的夹角约为80°，滑动调节点B到B′，使遮阳效果最佳，此时对调节点B滑动的距离约为多少？（sin50≈0.756，cos50≈0.643，tan50°≈1.192，结果精确到0.01m） 【答案】（1）20；（2）0.71米． 【分析】（1）根据题意可求∠OB′N＝40°、∠CB′P＝50°、∠AB′C＝∠ACB′＝30°，则∠PB'D＝20°，再由DP＝DA＝DB′＝1，最后根据等边对等角即可解答； （2）如图：过点D作DE⊥PO交于E点，求出∠P＝50°，则PE＝B1E＝PD⋅cos50°＝cos50°，又由等腰三角形的性质可得PB′＝2PE，最后代入计算即可解答． 【详解】解：（1）∵遮阳效果最佳， ∴B'N⊥B′C， ∵∠B′NO＝50°， ∴∠OB′N＝40°， ∴∠CB′P＝50°， ∴∠AB′C＝∠ACB′＝30°， ∴∠PB′A＝∠PB′C﹣∠AB′C＝20°， ∵DP＝DA＝DB′＝1， ∴∠P＝∠PB′A＝20°； 故答案为：20； （2）如图：过点D作DE⊥PO交于E点， ∵遮阳效果最佳， ∴CH⊥B′C， ∵∠CHO＝80°， ∴∠CB′O＝100°， ∵∠AB′C＝30°， ∴∠PB′D＝50°， ∵DP＝DB′＝1， ∴∠P＝∠PB′D＝50°50°， ∴PE＝B1E＝PD⋅cos50°＝cos50°， ∵PB′＝2PE， ∴BB′＝PB﹣PB′＝2﹣2cos50°≈0.71（m）， ∴调节点B滑动的距离约为0.71米． 10.从水平地面到水平观景台之间有一段台阶路和一段坡路，示意图如下．台阶路AE共有8个台阶，每个台阶的宽度均为0.5m，台阶路AE与水平地面夹角∠EAB为28°．坡路EC长7m，与观景台地面的夹角∠ECD为15°．求观景台地面CD距水平地面AB的高度BD（精确到0.1m）． [参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53；sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27]． 【答案】3.9m 【分析】作EM⊥CD于M，EN⊥AB于N，在直角三角形ANE中求出EN的值，在直角三角形CME中，求出ME的值，进而求出BD的长． 【详解】解：作EM⊥CD于M，EN⊥AB于N． 在△ANE中，∠ENA＝90°，， ∵∠BAE＝28°，AN＝0.5×8＝4m， ∴EN＝AN•tan28°＝4×0.53＝2.12m， 在△CME中，∠CME＝90°， sin∠ECM， ∵∠DCE＝15°，EC＝7m， ∴ME＝CE•sin15°＝7×0.26＝1.82m， ∴NE+ME＝2.12+1.82＝3.94m≈3.9m， 答：观景台地面CD距水平地面AB的高度BD约3.9m． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形及其应用 题型一 解直角三角形 题型二 坡度、坡角问题 题型三 仰角、俯角问题 题型四 方向角问题 题型五 其他应用问题 题型一： 解直角三角形 1.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（　　） A．2+ B．2 C．3+ D．3 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD= ，则线段AB的长为（　　） A． B．2 C．5 D．10 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC=，BC=2．则sin∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 4.如图 ，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝ BD，连结AC，若tanB＝ ，则tan∠CAD的值为 （　　） A． B． C． D． 5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．1 6.如图，在▱ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（　　） A． B． C． D． 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= ，则AB=　 　． 8.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是　 　. 9.△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是　 　． 10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长. 11.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求sinC的值． 12.如图，在△ABC中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求AC和AB的长． 题型二： 坡度、坡角问题 1.如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的是（　　） A．sinα = B．cosα= C．tanα= D．tanα=2 2.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是（　　）cm． A．210 B．120 C．504 D．60 3.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：，斜坡AB的水平宽度BE＝3m，那么斜坡AB的长为_________m.【来源：21cnj*y.co*m】 4.如图，某河堤迎水坡AB的坡比，河堤高BC＝3m，则河堤的坡面AB的长为 　 　m． 5.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°.【版权所有：21教育】 （1）求调整后的滑梯AD的长度 （2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米） （参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 6.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽为6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）21cnjy.com 7.如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 8.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上.【来源：21·世纪·教育·网】 （1）求斜坡AB的水平宽度BC； （2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.（≈2.236，结果精确到0.1m） 9.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1： 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）． 题型三： 仰角、俯角问题 1.如图，电线杆的中点C处有一标志物，在地面D处测得标志物的仰角为，若D到电线杆底部B的距离为12米，则电线杆的长为（　　）    A．8米 B．米 C．米 D．米 2.如图，为了测得电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）21·世纪*教育网 A.50 B.51 C.50+1 D.101 3.在黄河口国际马拉松比赛上，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是_________________米．原创作品 4.如图，为测量某物体的高度，在点测得点的仰角为，朝物体方向前进到达点，再次测得点的仰角为，则物体的高度为 ． 5.如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为．则求的长度为 （结果精确到）．（参考数据：，，，） 6.如图，某山顶上建有手机信号中转塔，在地面D处测得塔尖的仰角，塔底的仰角，点D距塔的距离为100米，则手机信号中转塔的高度 （结果保留根号）． 7.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(≈1.7)【出处：】 8.如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进12米到达处，又测得点的仰角为．请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据）    9.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为 ， 已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度(结果保留整数) (参考数据： ， ， 10.“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到达B点后，在B点测得顶端D的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD．（结果保留根号） 11.图1是某学校的教学楼，共五层，每个楼层的高度相等．为了安全，在此楼顶装有铁围栏，小明同学想通过所学知识测出铁围栏的高度(的长)．图2是平面示意图，小明同学站在教学楼对面的教师楼二楼走廊A处，观测正对面教学楼五楼楼顶C 处的仰角为 测完又走到教师楼三楼走廊 B 处，观测正对面铁围栏顶部 D的仰角为 ．教师楼每一层的高度和教学楼每一层高度相等，且在同一水平高度．已知教师楼和教学楼之间的水平距离 约为，请问小明同学测得铁围栏的高度约为多少米？(参考数据： )    题型四： 方向角问题 1.如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是(　　) A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 2.如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 海里（取≈1.7，结果精确到0.1海里）． 3.近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：，） (1)求四边形空地边的长（精确到米） (2)政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为元，判断费用是否充足？ 4.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东 方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东 方向，求出这段河的宽度(结果精确到1米，参考数据： ， ， ， ) 5.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73） 6.某景区有A、B、C、D四个景点，景点C在景点D的正东方向，景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东方向，已知景点A到的距离米，景点B到的距离米．米．（参考数据：，） (1)求景点C、D的距离（结果保留根号）； (2)小东和小明在景点D游览后，小东准备乘坐观光车，从景点D到景点A到再到景点B，小明则步行从景点D到景点C再到景点B，小明出发5分钟后，小东才搭上观光车出发，已知小明步行的平均速度为每分钟60米，观光车的速度为每分钟300米，观光车和小明中途不停歇，后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达吗？请说明理由． 题型五： 其他应用问题 1.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ） A.144cm B.180cm C.240cm D.360cm 2.如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB＝18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（　　） A．9 B．15 C．6 D．9 3.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l1，l3，l4，l2上，若直线l1∥l2∥l3∥l4且相邻两直线间距离相等．若AB＝6，BC＝4，则l2，l3之间的距离为（　　） A．5 B． C． D． 4.光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 5.如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段、可分别绕点A，B转动，已知．当转动到，转动到与垂直，点C恰好落在上；当转动到，转动到，点C到的距离为 ．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，） 6.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.2·1·c·n·j·y 7.如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？ 8.如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 9.艳阳高照时，遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为△ABC）用立柱OP固定在地面上的点O处，此时OP垂直于地面OQ，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱OP上的滑动调节点B，打开支架PD，伞面撑开如图②，其中，AB′＝AC＝2m，∠C＝30°，D为动中点，PD＝1m，根据生活经验，当太阳光线与伞口B′C垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的） （1）某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为50°，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点B，此时立柱PO与支梁PD夹角大小是 　 　度． （2）如图④，正午时分，太阳光与地面的夹角约为80°，滑动调节点B到B′，使遮阳效果最佳，此时对调节点B滑动的距离约为多少？（sin50≈0.756，cos50≈0.643，tan50°≈1.192，结果精确到0.01m） 10.从水平地面到水平观景台之间有一段台阶路和一段坡路，示意图如下．台阶路AE共有8个台阶，每个台阶的宽度均为0.5m，台阶路AE与水平地面夹角∠EAB为28°．坡路EC长7m，与观景台地面的夹角∠ECD为15°．求观景台地面CD距水平地面AB的高度BD（精确到0.1m）． [参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53；sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27]． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形及其应用 题型一 解直角三角形 题型二 坡度、坡角问题 题型三 仰角、俯角问题 题型四 方向角问题 题型五 其他应用问题 题型一： 解直角三角形 1.【答案】A 【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值． 【详解】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°， ∴AB=2AC，BC= = AC． ∵BD=BA， ∴DC=BD+BC=（2+ ）AC， ∴tan∠DAC= = =2+ ． 故选：A． 2.【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD= ， ∴AO=3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= =5， 故答案为：C． 3.【答案】C 【分析】先根据勾股定理列式求出AB的长，再根据同角的余角相等求出∠ACD=∠B，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=，BC=2， ∴AB===3， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠B， ∴sin∠ACD=sin∠B==． 故选C． 4.【答案】D 【分析】过点D作DE∥AB交AC于点E，根据平行线的性质可得∠ADE＝∠BAD＝90°，由tanB＝ = ，可设AD＝5k，AB＝3k，根据平行线分线段成比例可得，即得DE＝ AB＝k，由tan∠CAD＝ 即可求出结论. 【详解】解：过点D作DE∥AB交AC于点E. ∵∠BAD＝90°，DE∥AB， ∴∠ADE＝90°， ∵tanB＝ = ，设AD＝5k，AB＝3k， ∵DE∥AB， ∴ ，DE＝ AB＝k， ∴tan∠CAD＝ ＝ ＝ . 5.【答案】D 【分析】想要求AD的长，求CD的长即可，根据tan∠DBA=和tan45°=1，即可求得tan∠CBD的值，即可解题． 【详解】解：∵∠CBD+∠DBA=∠ABC=45°， ∴tan∠ABC==1， ∵tan∠DBA=， ∴tan∠CBD=， ∴CD=BC•tan∠CBD=2， ∴AD=3﹣2=1． 故选D． 6.【答案】A 【分析】作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E,设DF=x，则AD=2x，利用解直角三角形可得 【详解】解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E． 设DF=x，则AD=2x， ∵∠ADB=60°， ∴AF= x， 又∵AB：AD=3：2， ∴AB=3x，于是BF= x， ∴3x•DE=（ +1）x• x， DE= x，sin∠A= ， cos∠A= = ． 故答案为：A． 7.【答案】17 【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=15， ∴ = ， 解得AC=8， 根据勾股定理得，AB= = =17． 故答案为：17． 8.【答案】2 【分析】根据菱形的性质，在直角三角形AOB中，根据∠BAC的正切，求出BO的长度，即可得到BD的长。 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形 ∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 在直角三角形AOB，tan∠BAC== ∴OB=1 ∴BD=2BO=2 9.【答案】21 或15 【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解． 【详解】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D， 在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°， ∴AD= AB=6，BD=ABcosB=12× =6 ， 在Rt△ACD中，CD= = = ， ∴BC=BD+CD=6 + =7 ， 则S△ABC= ×BC×AD= ×7 ×6=21 ；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D， 由①知，AD=6、BD=6 、CD= ， 则BC=BD﹣CD=5 ， ∴S△ABC= ×BC×AD= ×5 ×6=15 ， 故答案为：21 或15 ． 10.【答案】2 【分析】在Rt△BCD中，∠BDC＝45°, 可得△BCD是等腰直角三角形，即得BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，利用sinA = = ，可得AB=10，利用勾股定理求出AC=8，由AD=AC-CD即可求出结论. 【详解】解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°, ∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA= , ∴ = . ∴AB=10. ∴AC= =8. ∴AD=AC-CD=8-6=2. 11.【答案】 【分析】在Rt△ABD中，由tan∠BAD＝ =，可求出BD=9，从而可得CD=BC-BD＝5，在Rt△ADC中，利用勾股定理可得AC=13，由sinC＝ 即可求出结论. 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴tan∠BAD＝ ， ∵tan∠BAD＝ ，AD＝12， ∴BD＝9， ∴CD＝BC－BD＝14－9＝5， ∴在Rt△ADC中，AC＝ ， ∴sinC＝ ＝ . 12.【答案】AC=10，ANB=8+6 【分析】 如图作CH⊥AB于H.根据含30°角的直角三角形的性质可得CH= BC=6，利用勾股定理求出BH=6 ，在Rt△ACH中，利用tanA= = ，可求出AH=8，然后利用勾股定理求出AC的长，根据AB=AH+BH即可求出结论. 【详解】解：如图作CH⊥AB于H． 在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°， ∴CH= BC=6，BH= =6 ， 在Rt△ACH中，tanA= = ， ∴AH=8， ∴AC= =10， ∴AB=AH+BH=8+6 ． 题型二： 坡度、坡角问题 1.【答案】C 【分析】坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，据此解答即可. 【详解】解：根据坡度的定义可知tanα=BC：AC=1：6． 故答案为：C． 2.【答案】A 【分析】延长BD交CA于点E，根据题意可得：BE⊥CE，BE＝54cm，AE＝60cm，再根据已知易得CE＝5BE＝270（cm），然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：延长BD交CA于点E， 由题意得：BE⊥CE，BE＝3×18＝54（cm），AE＝2×30＝60（cm）， ∵斜坡BC的坡度i＝1：5， ∴， ∴CE＝5BE＝270（cm）， ∴AC＝CE﹣AE＝270﹣60＝210（cm）， ∴AC的长度是210cm， 故选：A． 3.【答案】6 【详解】解答：∵斜坡AB的坡度为1：， ∴tanB＝， ∴∠B＝30°， ∵cosB＝， ∴AB＝＝6（m）， 故答案为：6. 4.【答案】． 【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵BC＝3m，坡AB的坡比， ∴， ∴， 故答案为：． 5.【答案】（1）12米；（2）5.1米 【详解】解答：（1）Rt△ABD中， ∵∠ADB＝30°，AC＝6米， ∴AD＝2AC＝12（m） ∴AD的长度为12米； （2）∵Rt△ABC中，AB＝＝4（m）， ∴AD－AB＝12﹣4≈5.1（m）． ∴改善后的滑梯会加长5.1m． 6.【答案】90.6米 【详解】解答：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形， 由题意知：BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5， 在Rt△ABE中，i＝＝， ∴AE＝50米， 在Rt△CFD中，∠D＝30°， ∴DF＝＝20米， ∴AD＝AE+EF+DF＝50+6+20≈90.6（米）， 答：坝底AD的长度约为90.6米. 7.【答案】该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据题意求出，再根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 在中，，牛， ， （牛）， 答：该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 8.【答案】（1）8m；（2）2m 【详解】解答：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴i＝＝， ∴BC＝2AC＝4×2＝8m， （2）作DS⊥BC于点S，且与AB相交于点H， ∵∠DGH＝∠BSH＝90°，∠DHG＝∠BHS， ∴∠GDH＝∠SBH， ∴tan∠GDH ＝tan∠SBH ＝＝＝， ∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m， ∴DH＝＝m，BH＝BF+FH＝3.5+（2.5－1）＝5m， 设HS＝xm，则BS＝2xm， 由勾股定理，得：x2+(2x)2＝52， 解得：x＝m， ∴DS＝DH+HS＝+＝2m， 答：点D离地面的高为2m. 9.【答案】（15+60）米 【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在Rt△BDN中求出线段BN，在Rt△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题． 【详解】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M． 在Rt△BDN中，BD=30，BN：ND=1： ，∴BN=15，DN=15 ，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BN=15，BM=CN=60 ﹣15 =45 ，在Rt△ABM中，tan∠ABM= = ，∴AM=×45=60，∴AC=AM+CM=15+60 ． 题型三： 仰角、俯角问题 1.【答案】C 【分析】根据题意可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的中点定义即可解答． 【详解】解：由题意得：米， 在中，， ∴（米）， ∵点C是AB的中点， ∴（米）， ∴电线杆AB的长为米． 故选：C． 2.【答案】C 【详解】设AG＝x， 在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝， ∴EG＝＝x， 在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝， ∴CG＝＝x，∴x﹣x＝100， 解得：x＝50，则AB＝50+1（米）， 故选：C． 3.【答案】200+200 【详解】由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200， ∵CD⊥AB于点D， ∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝， ∴AD＝＝200， 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠B＝45° ∴DB＝CD＝200， ∴AB＝AD+DB＝200+200， 故答案为：200+200． 4.【答案】 【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD＝DC−BC＝20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案． 【详解】∵在直角三角形ADB中，∠D＝30°， ∴＝tan30°， ∴BD＝＝AB， ∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝60°， ∴BC＝＝AB， ∵CD＝20， ∴CD＝BD−BC＝AB−AB＝20， 解得：AB＝m． 故答案为． 5.【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质，由题意可得，，得到，过点作于点，可知四边形为矩形，得到，，解得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，， 则， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， 在中，，，、 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6.【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．解答本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义，含，的直角三角形性质，解直角三角形． 先在中，根据，得出；再在中，根据含30°的直角三角形性质，求出，然后由即可求解． 【详解】由题意可知，与都是直角三角形． 在中， ∵， ∴ ， ∴ ． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴． ∴手机信号中转塔的高度为米． 故答案为：米． 7.【答案】32.4米 【详解】作BE⊥CD于点E，则CE＝AB＝12， 在Rt△BCE中，BE＝＝＝12， 在Rt△BDE中，DE＝BEtan∠DBE＝12tan45°＝12， ∴CD＝CE+DE＝12+12≈32.4， 所以，楼房CD的高度约为32.4米. 8.【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， （米， 建筑物的高度约为16米， 故答案为：16． 9.【答案】233米 【分析】 如图,作 交CB的延长线于D,设AD为x ，由题意可得△ADB是等腰直角三角形，可得BD=x，从而可得CD=x+100，在中，，由，可得，解出x的值即可. 【详解】解：如图，作 交CB的延长线于D， 设AD为x， 由题意得， ， ， 在 中， ， ，即CD=x+100， 在 中， ， ， ， 解得， ． 故热气球离地面的高度为233米. 10.【答案】 【分析】根据题意得出DC=BC，进而利用tan30°=求出答案． 【详解】试题分析： 解：由题意可得：AB=46m，∠DBC=45°， 则DC=BC， 故tan30°= 解得：DC= 答：永定楼的高度CD为m． 11.【答案】小明同学测得铁围栏的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，分别过点A，B作，则，解求出，则每一层高度为，据此可得；再解中，得到，则． 【详解】解：如图，分别过点A，B作．    由题可知． 在中，， ， ， ∴每一层高度为， ∴． 在中，， ， ， ∴． 答：小明同学测得铁围栏的高度约为． 题型四： 方向角问题 1.【答案】C 【分析】连接，由题意得：，，，，，根据得出，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，，，，， ， ， ， ， ， 即处在处的北偏东方向， 故选：C． 2.【答案】67.5 【详解】由题意知∠DBA＝∠DAB＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则．设DE＝x，则AB＝2x，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，则．在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，则DE＝BE＝x．由题意得，，解得（海里），∴AB＝2x＝2×35.7＝71.4（海里）． 3.【答案】(1)；(2)改造费用充足 【分析】（1）延长交于点，过点作于点， 在中，解直角三角形即可求出的长； （2）分别在中和中, 求出, 求出四边形的周长，再求出改造费用与计划费用比较即可作出判断. 【详解】（1）延长交于点，过点作于点， 由题意，知是矩形，米, 米, , ∴, 在中, (米)， (米)， ∴米， (米)， 在中， (米)， 答：四边形空地边的长约为米； （2）(米)，米， (千米)，米, 米, (米)， 需要改造费用 (元)， ， ∴改造费用充足． 4.【答案】37米 【分析】如图，延长CA交BE于点D，可得CD⊥BE，由题意可得∠DAB=45°，∠DCB=33°，设AD=x米，可得BD=xm,CD=20+x（m），在Rt△CDB中，由tan∠DCB=，可得，解出x的值即可. 【详解】解：如图，延长CA交BE于点D， 则 ， 由题意知， ， ， 设 米， 则 米， 米， 在 中， ， ， 解得 ， 答：这段河的宽约为37米． 5.【答案】没有危险 【详解】过点C作CE⊥AB于点E， 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°， 设AE＝x海里， 在Rt△AEC中，CE＝AEtan60°＝x； 在Rt△BCE中，BE＝CE＝x， ∴AE+BE＝x+x＝100(+1)， 解得：x＝100， ∴AC＝＝2x＝200． 在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°， 过点D作DF⊥AC于点F， 设AF＝y，则DF＝CF＝y， ∴AC＝y+y＝200， 解得：y＝100(－1)， ∴DF＝AF＝×100(－1)≈126.3海里， ∵126.3＞100， 所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险. 6.【答案】(1)景点C、D的距离是米； (2)后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达，理由见解析． 【分析】（1）过点B作于点，可得四边形是矩形，得到，米，再根据直角三角形的性质，分别得到米，米，米，即可求出景点C、D的距离； （2）先利用勾股定理，求得米，从而求得小东所用时间，再利用锐角三角函数，求得米，从而求得小明所用时间，然后得到两人的时间差，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点， ， 四边形是矩形， ，米， 由题意：景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东30°方向， ∴，， 又∵米，米， 米， 在中，米， 米， 在中，米， 在中，米， 米， 即景点C、D的距离是米； （2）解：后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达，理由如下： 在中，米， 小东所用时间为分钟， 在中，米， 小明所用时间为分钟， 明出发5分钟后小东出发，观光车和小明中途不停歇， 两人的时间差为：， 后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达． 题型五： 其他应用问题 1.【答案】B 【详解】根据题意可知：：△AFO∽△ABD，OF＝EF＝30cm ∴＝，即＝， ∴DC＝72cm， ∵tan＝，∴＝， ∴AD＝×72＝180cm． 故选：B． 2.【答案】D 【分析】过点A作AG⊥BH，先利用角间关系求出∠ABG，再在Rt△AGB中利用边角关系得结论． 【详解】解：过点A作AG⊥BH，垂足为G．如图． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°． ∵∠CBH＝30°， ∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠CBH＝60°． 在Rt△AGB中， ∵sin∠ABG， ∴AG＝AB•sin∠ABG ＝18•sin60° ＝18 ＝9（cm）． 故选：D． 3.【答案】C 【分析】根据题意，设l2，l3之间的距离为d，CD与直线l3的交点为G，过点E作EM⊥BG，交BG与点M，过点C作CN⊥BG，交BG于点N，设∠EBM＝θ，则∠CBN＝90°﹣θ，用d表示sinθ、cosθ的值，可得关于d的方程，解可得答案． 【详解】解：根据题意，设l2，l3之间的距离为d，CD与直线l3的交点为G， 直线l1∥l2∥l3∥l4且相邻两直线间距离相等，则E为AB的中点， 过点E作EM⊥BG，交BG于点M，过点C作CN⊥BG，交BG于点N， 设∠EBM＝θ，则∠CBN＝90°﹣θ， 则sin∠EBM＝sinθ，sin∠CBN＝sin（90°﹣θ）＝cosθ， 又由sin2θ+cos2θ1，即1，解可得d， 即l2，l3之间的距离为， 故选：C． 4.【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】解：， ， 在中， ， 故答案为：． 5.【答案】7.1 【分析】当转动到，转动到与垂直时，点C恰好落在上，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，当转动到，转动到时，过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为E，根据题意可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：当转动到，转动到与垂直时，点C恰好落到上，如图： 在中，， 当转动到，转动到时， 过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为E， 则，， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：7.1． 6.【答案】(25－)km 【详解】过点B作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G， 在Rt△ABE中，BE＝ABsin30°＝20×＝10km， 在Rt△BCF中，BF＝BC÷com30°＝10÷＝km， CF＝BFsin30°＝×＝km， DF＝CD－CF＝(30－)km， 在Rt△DFG中，FG＝DFsin30°＝(30－)×＝(15－)km， EG＝BE+BF+FG＝(25－)km， 答：两条高速公路间的距离为(25－)km. 7.【答案】（10 ﹣4）米 【分析】 如图，延长OC，AB交于点P ， 根据邻补角定义可得∠PBC=60°， 根据含30°角的直角三角形的性质可得OA= AD=10米，在Rt△CPB中，利用解直角三角形求出PC=BC•tan60°=2 米，PB=2BC=4米， 根据两角分别相等可证△PCB∽△PAO，可得，从而求出PA=10米， 利用AB=PA﹣PB即可求出结论. 【详解】解：如图，延长OC，AB交于点P． ∵∠ABC=120°， ∴∠PBC=60°， ∵∠OCB=∠A=90°， ∴∠P=30°， ∵AD=20米， ∴OA= AD=10米， ∵BC=2米， ∴在Rt△CPB中，PC=BC•tan60°=2 米，PB=2BC=4米， ∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°， ∴△PCB∽△PAO， ∴ ， ∴PA= = =10 米， ∴AB=PA﹣PB=（10 ﹣4）米． 答：路灯的灯柱AB高应该设计为（10 ﹣4）米． 8.【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 9.【答案】（1）20；（2）0.71米． 【分析】（1）根据题意可求∠OB′N＝40°、∠CB′P＝50°、∠AB′C＝∠ACB′＝30°，则∠PB'D＝20°，再由DP＝DA＝DB′＝1，最后根据等边对等角即可解答； （2）如图：过点D作DE⊥PO交于E点，求出∠P＝50°，则PE＝B1E＝PD⋅cos50°＝cos50°，又由等腰三角形的性质可得PB′＝2PE，最后代入计算即可解答． 【详解】解：（1）∵遮阳效果最佳， ∴B'N⊥B′C， ∵∠B′NO＝50°， ∴∠OB′N＝40°， ∴∠CB′P＝50°， ∴∠AB′C＝∠ACB′＝30°， ∴∠PB′A＝∠PB′C﹣∠AB′C＝20°， ∵DP＝DA＝DB′＝1， ∴∠P＝∠PB′A＝20°； 故答案为：20； （2）如图：过点D作DE⊥PO交于E点， ∵遮阳效果最佳， ∴CH⊥B′C， ∵∠CHO＝80°， ∴∠CB′O＝100°， ∵∠AB′C＝30°， ∴∠PB′D＝50°， ∵DP＝DB′＝1， ∴∠P＝∠PB′D＝50°50°， ∴PE＝B1E＝PD⋅cos50°＝cos50°， ∵PB′＝2PE， ∴BB′＝PB﹣PB′＝2﹣2cos50°≈0.71（m）， ∴调节点B滑动的距离约为0.71米． 10.【答案】3.9m 【分析】作EM⊥CD于M，EN⊥AB于N，在直角三角形ANE中求出EN的值，在直角三角形CME中，求出ME的值，进而求出BD的长． 【详解】解：作EM⊥CD于M，EN⊥AB于N． 在△ANE中，∠ENA＝90°，， ∵∠BAE＝28°，AN＝0.5×8＝4m， ∴EN＝AN•tan28°＝4×0.53＝2.12m， 在△CME中，∠CME＝90°， sin∠ECM， ∵∠DCE＝15°，EC＝7m， ∴ME＝CE•sin15°＝7×0.26＝1.82m， ∴NE+ME＝2.12+1.82＝3.94m≈3.9m， 答：观景台地面CD距水平地面AB的高度BD约3.9m． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $