6.1 第1课时用树状图或表格求概率-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第六章 概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求概率 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.情境数学文化[2025河南中考]甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的 辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相 同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和 “山”的概率是 () 美Λ 山 河 (第1题) A最 B. 6 2.一题多解[2025武汉中考]某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有 10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是 3.易错题[2025连云港中考]不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或 列表的方法，求2次都摸到白球的概率 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.[2025潍坊中考]如图，小莹对三个相连的方格进行涂色.在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种 颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是 ( 9 (第4题) c D.8 5.[2025丰城期末]有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字0，一1,2，一3，将四张卡片 背面朝上，任意抽一张卡片，卡片上的数字记为α，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b, 则函数y=a.x十b的图象不经过第二象限的概率是 () A哥 B.2 c D.8 116 第六章概率的进一步认识 6.情境生活实际小西和爸爸计划乘动车外出旅游.在网上购票时，爸爸选定的车厢只剩一排有余 座（如图）.若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小西和爸爸相邻而坐的概率是 动车二等座某排座位 磨ABC藩DE月 (第6题) (第7题) 7.舒境学科融合[2025安徽中考]在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和 70g的物品后，天平倾斜（如图所示）.现从质量为10g,20g,30g,40g的四件物品中，随机选取 两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 8.[2025徐州中考]如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份， 每份内均标有字母，转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次」 (1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 (2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且 乙盘指针未落在Q区域的概率. (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 9.★在一次阳光活动中，A,B,C三人玩传球游戏，游戏规则如下：每一次传球由三人中的一人将球 随机地传给另外两人中的某一人.例如：由A开始传球，则A可将球随机地传给B,C两人中的 某一人 (1)若由A开始传球，求经过两次传球后，球恰好回到A手中的概率（用画树状图或列表的方法） (2)若在A,B,C三人中随机选择一人开始传球，求经过一次传球后，球恰好在A手中的概率（用 画树状图或列表的方法). (3)若由A开始传球，求经过三次传球后，球恰好在A手中的概率（用画树状图或列表的方法）， (4)如果玩传球游戏的共有n(≥2)人，仍由A开始传球，那么经过三次传球后球恰好在A手 中的概率为 (用含n的式子表示). “答案与解析”见P71 117DE=c+5..PE=3ED,.c2+5c=3(c+5),解得c=3 或c=一5（不合题意，舍去）.∴.当c=3时，c2+4c-5= +2-.P(?-8),Q(3,)综上所述，点 16.P(3,16).综上所述，满足条件的点P的坐标为 (-3,一8)或(3,16).(3)存在.过点F作FG⊥x轴于点 P的坐标为（号，号）点Q的坐标为（号，）或点 G,过点P作PH⊥x轴于点H,则∠AGF=∠AHP= P的坐标为(？，-号)点Q的坐标为（号，翠）】 90°.，△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形， ∴.AF=AP,∠PAF=90°.∴.∠FAG+∠PAH= 14.(1):抛物线y=ax2+bx-5交x轴于A(1,0), ∠APH+∠PAH=90°..∠FAG=∠APH.∴.△AFG≌ a+b-5=0, a=1, B(-5,0)两点，∴. 25a-5b-5=0 解得抛物 △PAH.∴.FG=AH,AG=PH.设P(m,m2+4m-5). 当-5<m<1时，AH=1-m,PH=-m2-4m+5. 线对应的函数表达式为y=x2+4x一5.(2)将B(-5, .FG=1-m..易得F(m-6,1-m)..AG=1 0)代入y=kx-5,得-5k-5=0,解得k=-1.∴.直线 (m-6)=7-m.∴.-m2-4m十5=7-m,解得m=-1或 BC对应的函数表达式为y=-x一5.设P(c,c2+4c-5), m=-2.∴.点P的坐标为(-1，-8)或(-2，-9).当m> 则E(c,-c-5).当c<-5时，PE=c2+4c-5-(-c 1时，AH=m-1,PH=m2+4m-5.∴.FG=m-1..易 5)=c2+5c,DE=-c-5.PE=3ED,.c2+5c 得F(-m-4,m-1)..AG=1-(-m-4)=m十5. 3(-c-5),解得c=-3(不合题意，舍去)或c=-5(不合题 ∴.m2+4m-5=m+5,解得m=2或m=-5(不合题意， 意，舍去).∴.此时满足条件的点P不存在.当一5<c<0 舍去).∴.此时满足条件的点P的坐标为(2,7).综上所述 时，PE=-c-5-(c2+4c-5)=-c2-5c,DE=c+5. 在点B右侧的抛物线上存在点P,使△AFP是以PF为斜 :PE=3ED,∴.-c2-5c=3(c+5),解得c=-3或c= 边的等腰直角三角形，且点P的坐标为（一1，一8）或（一2， -5(不合题意，舍去).∴.当c=-3时，c2十4c-5=-8. -9)或(2,7)」 .P(-3,-8).当0≤c<1时，PE<ED,此时不存在PE= 3ED.当c>1时，PE=c2+4c-5-(-c-5)=c2+5c, 第六章 概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 2 解法一：列举法，一次性随机摸出两个小球上的金 第1课时用树状图或表格求概率 额和可能为10+20=30（元），10+30=40（元），20十30= 1.B列表如下，共有12种等可能的结果，其中这两张卡 50(元两球上金额的和为50元的概率是号 3 片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有（丽，山），（山， 解法二：画树状图法，如图，从标有10元、20元、30元的三 丽)，共2种，∴.这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山” 个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果如 的概率为2一6 21 下：共有6种等可能出现的结果，其中两球上金额的和为 50元的结果有2种，.两球上金额的和为50元的概率是 美 丽 山 河 6 美 (美，丽) (美，山) (美，河) 开始 丽 (丽，美) (丽，山) (丽，河) 第1个球 10元 20元 30元 山 (山，美) (山，丽) (山，河) 第2个球20元30元10元30元10元20元 河 (河，美) (河，丽) (河，山) (第2题) 71 3)子(2)列表如下，共有16种等可能的结果，其中 6.号列表如下，共有12种等可能的结果，其中小西和爸 2次都摸到白球的结果有9种，∴.2次都摸到白球的概率 爸相邻而坐的结果有(A,B),(B,A),(D,E),(E,D),共4 种，则小西和爸爸相邻而坐的概率是2=3 41 红 白 白 白 小西 红 (红，红) (红，白) (红，白) (红，白) 爸爸 白 (白，红) (白，白) (白，白) (白，白) A (A,B) (A,D) (A,E) 白 (白，红) (白，白) (白，白) (白，白) B (B,A) (B.D) (B,E) 白 (白，红) (白，白) (白，白) (白，白) D (D,A) (D,B) (D,) E (E,A) (E,B) (E,D) 易错警示 用画树状图或列表的方法求概率的 1 1.3 由题意可知，20g十50g=70g,10g十40g=20g+ 注意事项 计算概率时，要注意两，点： 30g=50g,把质量为10g,20g,30g,40g的四件物品分别 (1)注意等可能性.在每个步骤或每个因素中，各种 记为1,2,3,4，画树状图如下，共有12种等可能的结果，其 结果的可能性应相同，最后得到的各种结果的可能性 中能使天平恢复平衡的结果有4种，∴.天平恢复平衡的概 相同. 41 率为 231 (2)注意结果数的变化.如摸球游戏，要注意第一次 开始 摸球与第二次摸球，球有无放回，球的数量是否发生 变化 4.C画树状图如图所示：共有8种等可能的结果，其中相 (第7题) 邻两个方格所涂颜色不同的结果有2种，∴.相邻两个方格 8) 4· (2)画树状图如图所示，共有12种等可能的 所涂颜色不同的概率=？=】 84 结果，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指 开始 针未落在Q区域的结果有2种，.转盘停止转动后甲盘指 第1个方格 21 针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为2=6： 第2个方格 开始 第3个方格 红蓝红蓝红蓝红蓝 (第4题) 5.A列表如下，共有16种等可能的结果，其中能使函数 (第8题) y=ax十b的图象不经过第二象限的结果有6种，∴.函数 9.(1)根据题意，画树状图如图①所示.由图，可知共有 y=ar十b的图象不经过第二象限的概率为6 63 4种等可能的结果，其中经过两次传球后，球恰好回到A手 8 中的结果有2种，∴.经过两次传球后，球恰好回到A手中 0 -1 2 -3 的概率为=2 (2)根据题意，画树状图如图②所示。 0 (0,0) (0,-1) (0,2) (0,-3) (-1,0) (-1,-1) (-1,2) (-1,-3) 由图，可知共有6种等可能的结果，其中经过一次传球后， 2 (2,0) (2,-1) (2,2) (2,-3) 球恰好在A手中的结果有2种，∴.经过一次传球后，球恰 (-3,0) (-3,-1) (-3,2) (-3,-3) 好在A手中的概率为号-号(3)根据题意，面树状图 72 如图③示.由图，可知共有8种等可能的结果，其中经过 的是①②③. 三次传球后，球恰好在A手中的结果有2种，∴.经过三次 开始 传球后，球恰好在A手中的概率为名= 小强 反 4 (4)n2 小亮 反 (n-1)2 小文 正反 开始 (第1题)》 开始 2w (2)设两枚“马”为马1、马2，“兵”为兵，“士”为 士.列表如下，共有12种等可能的结果，其中有“士”的结果 61 开始 有6种，没有“士”的结果有6种，小P(*鞋=2=2： 61 P(碳形一12之”P(体预陶=P保形能游戏对双方 公平. ③ 李颖 马 马2 兵 士 (第9题) 张彤 方法归纳 马 马2，马1)（兵，马1）（士，马1） 列举法计算概率的类型 马2 (马1，马2 (兵，马2)（士，马2） 及求解策略 兵 (马1，兵)（马2，兵） (土，兵) (1)随机事件只需一个步骤完成或只涉及一个因 土 (马，土)（马2，土）（兵，士） 素，直接利用概率计算公式计算概率。 (2)随机事件要经过两个步骤完成或涉及两个因 3.(1) 3 4 (2)这个游戏不公平.理由：根据题意，列 素，一般需要通过画树状图或列表，不重复、不遗漏地列 举出所有等可能的结果，再利用概率的计算公式计算概 表如下： 率.其中结果的总数较多时，列表较为便捷 小亮 公 D (3)随机事件要经过三个及以上步骤完成或涉及 小明 三个及以上因素，通常画树状图列举出所有等可能 A (A,B) (A,C) (A,D) 的结果，再利用概率计算公式计算概率.计算概率 (B,A) (B,C) (B,D) 时，要注意两点：一是注意各种结果的等可能性；二 C (C,A) (C,B) (C,D) 是注意结果数的变化 D (D,A) (D,B) (D,C) 第2课时用概率判断游戏的公平性 由表，可知共有12种等可能的结果，其中摸出的两张纸牌 1.①②③画树状图如图所示，则P(出现三个正面成三个反面向山 上的图形都既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有 号-}，即小张离的餐率是 2种.∴.摸出的两张纸牌上的图形都既是轴对称图形又是 ;P(出现海个正面向上和一个发面向= 中心对称图形的概率为是行·小亮获胜的概率是行 21 8,即小亮赢的概率是 3 8;P(出现一个正面向上和两个反面向上= 8 即小文赢的概率是。.则小强赢的概率最小，小亮和小文 小明获雕的既率是1一日-号：君≠名一这个善我不 公平.修改游戏规则的方法不唯一，如若摸出的两张纸牌 赢的概率相等，小文羸的概率是。，此游戏不公平。故正确 上的图形都是中心对称图形，则小明获胜；否则，小亮获胜 73