周周练18 6.1-6.2用树状图和列表法求概率，用频率估计概率（数学新教材北师大版九年级上册）

2026-2027学年八年级上学期数学周周测18 6.1-6.2用树状图和列表法求概率，用频率估计概率 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为． 2．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵随机摸出的5个球中，有3个是红球， ∴摸到红球的频率为， ∵袋中共有10个球， ∴估计袋中红球的个数为（个）． 3．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆和正方形的面积，然后求出几何概率． 【详解】解：铜钱圆的面积为， 正方形的面积为， ∴油恰好落入孔中的概率是． 4．一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据频率折线图，大量重复试验后，指针落在红色区域的频率稳定在附近，因此指针落在红色区域的概率约为； A：转盘分为3个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； B：转盘分为4个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； C：转盘分为5个相等扇形，1份红色，概率为，符合； D：转盘分为6个相等扇形，1份红色，概率为，不符合． 5．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量重复试验后，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率，观察表格中频率的稳定趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可得，随着摸球次数不断增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． 6．从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况， 一根标有A，一根标有C的有A，C与C，A两种情况， 一根标有A，一根标有C的概率是． 7．在等号两端各有两个方框，左右两边的方框中已有数字和．现有四个数字，随机选取两个放置在剩余的两个空白方框中，则等式成立的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析等式成立的条件，再根据画树状图法列举出所有可能，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，画树状图如下， 由图可知共有12种等可能的结果，其中等式成立的结果有2种： 等式成立的概率为． 8．承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 9．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 2 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是． 10．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案． 【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 【答案】 【分析】根据已知首先求出圆的面积以及正方形的面积，即可得出落在正方形内的概率． 【详解】解：圆的面积为， 正方形的边长为，则其面积为， ∴落在正方形内的概率为. 12．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 13．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从F点落出有1种，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从点落出有1种， ∴小球从点落出的概率是． 14．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 【答案】24 【分析】利用白球的频率和个数求出总数，即可得出黑球的个数． 【详解】解：根据题意可知白球的概率为， （个）， （个）， ∴估计游戏中黑球的个数为24个． 15．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据频率估计概率，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；故③正确，①错误； 当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数可能是；故②错误； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620；故④正确； 综上正确的是③④. 16．从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 【答案】 【分析】先计算所有等可能的结果总数，再逐个验证点是否在二次函数图象上，统计符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：点用列表表示如下： 由表格可知，所有等可能的结果总数为9． 分别代入不同的计算二次函数对应的值， 当时，，可选值中没有，不符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求， ∴符合条件的点共有个， ∴所求概率为． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1) (2)补全树状图如图所示： (3)向西参观的概率较大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）补全树状图即可； （3）由（2）知，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果， ∴向北走的概率为； （2）略 （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ， ∴向西参观的概率较大． 18．某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测18 6.1-6.2用树状图和列表法求概率，用频率估计概率 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为． 2．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵随机摸出的5个球中，有3个是红球， ∴摸到红球的频率为， ∵袋中共有10个球， ∴估计袋中红球的个数为（个）． 3．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆和正方形的面积，然后求出几何概率． 【详解】解：铜钱圆的面积为， 正方形的面积为， ∴油恰好落入孔中的概率是． 4．一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据频率折线图，大量重复试验后，指针落在红色区域的频率稳定在附近，因此指针落在红色区域的概率约为； A：转盘分为3个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； B：转盘分为4个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； C：转盘分为5个相等扇形，1份红色，概率为，符合； D：转盘分为6个相等扇形，1份红色，概率为，不符合． 5．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量重复试验后，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率，观察表格中频率的稳定趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可得，随着摸球次数不断增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． 6．从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况， 一根标有A，一根标有C的有A，C与C，A两种情况， 一根标有A，一根标有C的概率是． 7．在等号两端各有两个方框，左右两边的方框中已有数字和．现有四个数字，随机选取两个放置在剩余的两个空白方框中，则等式成立的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析等式成立的条件，再根据画树状图法列举出所有可能，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，画树状图如下， 由图可知共有12种等可能的结果，其中等式成立的结果有2种： 等式成立的概率为． 8．承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 9．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 2 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是． 10．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案． 【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 【答案】 【分析】根据已知首先求出圆的面积以及正方形的面积，即可得出落在正方形内的概率． 【详解】解：圆的面积为， 正方形的边长为，则其面积为， ∴落在正方形内的概率为. 12．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 13．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从F点落出有1种，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从点落出有1种， ∴小球从点落出的概率是． 14．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 【答案】24 【分析】利用白球的频率和个数求出总数，即可得出黑球的个数． 【详解】解：根据题意可知白球的概率为， （个）， （个）， ∴估计游戏中黑球的个数为24个． 15．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据频率估计概率，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；故③正确，①错误； 当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数可能是；故②错误； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620；故④正确； 综上正确的是③④. 16．从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 【答案】 【分析】先计算所有等可能的结果总数，再逐个验证点是否在二次函数图象上，统计符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：点用列表表示如下： 由表格可知，所有等可能的结果总数为9． 分别代入不同的计算二次函数对应的值， 当时，，可选值中没有，不符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求， ∴符合条件的点共有个， ∴所求概率为． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成等份）． (1)转动图转盘时，求该转盘停止指针指向“”或“”的概率； (2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，理由如下： ∵根据题意：列表如下： 图1转盘 1 1 1 2 2 2 3 3 3 图2转盘 4 5 6 4 5 6 4 5 6 和 5 6 7 6 7 8 7 8 9 ∴转盘停止指针指向的两个数字之和的所有等可能结果数为9，其中奇数的情况数为5，偶数的情况数为4 （和为奇数）；（和为偶数）， 则（和为奇数）（和为偶数） ∴不公平． 公平游戏规则：同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和大于时小明获胜；两个数字之和小于时小红胜，两个数字之和等于时平局．（注：答案不唯一） 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）先列表可得所有等可能结果数为9，其中奇数的情况数为5，偶数的情况数为4；再利用概率公式分别求得小明、小红获胜的概率，然后比较即可判断游戏的公平性；最后根据列表设计公平的游戏规则即可． 【详解】（1）解：图转盘被均分为份，标有或的有份， ∴转动图转盘时，该转盘指针指向“”或“”的概率是． （2）解：不公平，理由略，公平游戏规则见答案． 18．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1) (2)补全树状图如图所示： (3)向西参观的概率较大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）补全树状图即可； （3）由（2）知，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果， ∴向北走的概率为； （2）略 （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ， ∴向西参观的概率较大． 19．小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会掷第三次，理由： 小军第三次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 其中导致小军得分增加的结果共有2种：1，2， （掷第三次得分增加）； 导致小军得分变为0的结果共有4种：3，4，5，6， （掷第三次得分为）； ， 如果我是小军，不会掷第三次． 【分析】（1）掷一次骰子共有6种等可能结果，点数为1只有1种，故概率为； （2）第二次掷出的点数有6种等可能结果，若最终得分为0，则需第二次点数大于4，即点数为5或6，共2种，故概率为； （3）第三次掷骰子共有6种等可能结果．分别求出得分增加和得分为0的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：掷一次骰子共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6， 故掷一次骰子得到的点数为1的概率是． （2）解：小明第二次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 由题意，其中导致最终得分为0的结果共有2种：5，6， （最终得分为）． （3）略 20．为响应国家的“一带一路”经济发展倡议，树立品牌意识，我市质检部门对A，B，C，D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图． (1)抽查D厂家的零件为______________件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为______________． (2)抽查C厂家的合格零件为______________件，并将条形统计图补充完整． (3)通过计算说明合格率排在前两名的分别是哪两个厂家． (4)若从A，B，C，D四个厂家中，随机选取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用画树状图法或列表法求出（3）中的两个厂家同时被选中的概率． 【答案】(1)500； (2)380； (3)合格率排在前两名的是C、D两个厂家 (4) 【分析】（1）计算出D厂的零件比例，则D厂的零件数总数所占比例，D厂家对应的圆心角为所占比例； （2）C厂的零件数总数所占比例，C厂的合格零件数C厂的零件数合格率； （3）计算出各厂的合格率后，进一步比较得出答案即可； （4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：D厂的零件比例为， D厂的零件数为（件）； D厂家对应的圆心角为； （2）解：C厂的零件数（件）， C厂的合格零件数为（件）， 补全条形统计图略 （3）解：A厂家合格率为， B厂家合格率为， C厂家合格率为， D厂家合格率为， 合格率排在前两名的是C、D两个厂家； （4）解：根据题意画树形图如下： 共有12种情况，选中C、D的有2种，则（选中C、D）． 21．某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 22．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 23．综合与实践 （1）【问题再现】 有这样一道概率题：如图①，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少?请你解答． （2）【类比设计】 在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为，请你帮忙设计． （3）【拓展运用】 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红1份，黄2份、绿4份区域，分别得奖金50元、30元、20元购物券，求转动1次所获购物券的平均金额 【答案】（1）指针落在红色区域和白色区域的概率分别是； （2）把圆分成8等份，然后红色占3份，白色占3份，黄色占2分，如图所示： （3）11.875元 【分析】本题考查概率的应用，以及计算加权平均数．熟练掌握概率公式，以及加权平均数的计算方法，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）将转盘均分成8份，根据概率求出各种颜色所占份数，即可得解； （3）利用对准红、黄、绿的概率乘以各自对应的钱数，即可得解． 【详解】解：（1）， 答：指针落在红色区域和白色区域的概率分别是． （2）略 （3）（元） 答：转动1次所获购物券的平均金额为11.875元． 24．为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数） 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 【答案】（1）10；35；（2）；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8，甲好． 【分析】（1）根据题意可求a+b=45，由的估计值为0.70，则解方程求出b，再求a即可； （2）根据样例给定的方法求即可； （3）由甲离子中位数5.96.3，甲离子众数6.06.3，从甲离子方差看甲离子方差1.381.8做决策即可． 【详解】解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45， 因为的估计值为0.70， 则， 解得b=35，a=45-b=45-35=10， 故答案为：10；35； （2）； （3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8说明甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好． 【点睛】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数据，平均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测18 6.1-6.2用树状图和列表法求概率，用频率估计概率 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 2．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 4．一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 5．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 6．从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 7．在等号两端各有两个方框，左右两边的方框中已有数字和．现有四个数字，随机选取两个放置在剩余的两个空白方框中，则等式成立的概率为（     ） A． B． C． D． 8．承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 9．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 2 0 3 2 10．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 12．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 13．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 14．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 15．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 16．从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 18．某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测18 6.1-6.2用树状图和列表法求概率，用频率估计概率 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 2．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 4．一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 5．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 6．从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 7．在等号两端各有两个方框，左右两边的方框中已有数字和．现有四个数字，随机选取两个放置在剩余的两个空白方框中，则等式成立的概率为（     ） A． B． C． D． 8．承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 9．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 2 0 3 2 10．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 12．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 13．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 14．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 15．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 16．从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成等份）． (1)转动图转盘时，求该转盘停止指针指向“”或“”的概率； (2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 图1转盘 1 1 1 2 2 2 3 3 3 图2转盘 4 5 6 4 5 6 4 5 6 和 5 6 7 6 7 8 7 8 9 18．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 19．小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 20．为响应国家的“一带一路”经济发展倡议，树立品牌意识，我市质检部门对A，B，C，D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图． (1)抽查D厂家的零件为______________件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为______________． (2)抽查C厂家的合格零件为______________件，并将条形统计图补充完整． (3)通过计算说明合格率排在前两名的分别是哪两个厂家． (4)若从A，B，C，D四个厂家中，随机选取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用画树状图法或列表法求出（3）中的两个厂家同时被选中的概率． 21．某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 22．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 23．综合与实践 （1）【问题再现】 有这样一道概率题：如图①，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少?请你解答． （2）【类比设计】 在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为，请你帮忙设计． （3）【拓展运用】 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红1份，黄2份、绿4份区域，分别得奖金50元、30元、20元购物券，求转动1次所获购物券的平均金额 24．为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数） 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $