第22章 相似形综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

数学（沪科版）九年级上 望综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.已知，a三 b 6十c一a十cb十a-k,则直线y=kx十2k十1一定经过 ( A,第一、三象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第二、四象限 2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC, BD于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于2EF的长为半径画弧，两弧相交于点P, 作射线BP,过点C作BP的垂线，分别交BD,AD于点M,N,垂足为O,则MN的长为 () A. 2w5 5 B46 C.√5 D.2 A M B O (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，Rt△OAB的顶点A(一2,4)在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB向右平移得到 Rt△O1A1B1(点O,A,B的对应点分别为O1,A1,B1),平移后的O1A1与抛物线交于点 P.若点P将线段AO1分成1：3两部分，则点P的坐标为 4.如图，在△ABC中，M,N分别是AB,BC的中点，连接AN,CM交于点G,GF∥AC交 BC于点F,那么SAc S△NGF= 5.如图①所示为凸透镜成像的示意图，蜡烛AC发出的光线CE平行于直线AB,经凸透镜 MN折射后，过焦点F,并与过凸透镜中心O的光线CO交于点D,得到像BD.其中，物 距AO=u,像距BO=w,焦距OF=f,四边形AOEC是矩形，DB⊥AB,MN⊥AB, (1)如图②，当蜡烛AC在离凸透镜中心一倍焦距处，即u=f时，请用所学的数学知识 说明此时“不成像”. (2)如图③，当物距u=8cm,焦距f=15cm时，成放大、正立的虚像，虚像与物在凸透镜 MN同侧，此时虚像BD的长为15cm,蜡烛AC的长为10cm,求此时像距o. 18 第22章相似形 (3)若蜡烛AC的长为5cm,物距u=15cm,焦距f=10cm,求像距o和像BD的长. ③ (第5题) 6.[2026阜阳临泉一模]如图，在菱形ABCD中，E为CD的中点，点F在CB的延长线上， ∠EAF=∠BAD,EF交AB于点G,H为GE上一点，且∠AHF=∠D (1)求证：AE2=HE·EF. (2)若∠D=60°，HE·EF=27. ①求BG的长. ②连接CH,求证：CH⊥EF. (第6题) 19数表达式为y=一x2十3x十4.(2)存在.设P(n,一n2十 3十4)，则Q(m,4).当点P在直线1下方，y轴右侧时，若 △Ax0△M0P,则沿=品即÷ 4一（一+3m十0解得n=0(含去）或n-号则-+ 3n+4=品：点P的坐标为（保，）.若△AM0Cn △PQA,则A0C0 4 PQAQ,即4-(-n2+3n+④-元 ,解得n= 0(舍去)或n=7,则一n2+3n十4=一24.∴.点P的坐标为 (7,-24).当点P在直线l下方，y轴左侧时，若△AOC △01测铝-爱即-十十D=解得 1 n=0(舍去)或n=-1,则一n2十3n十4=0.∴.点P的坐标 为-1.，若△A0C△A0,则治-岩即号 n 一（-n十n十布解得a-0或=（均合去当点刀 在直线！上方时，若△ACn△AQn,则名品即号 n (一+30十=解得n=0(舍去)或n=,则-示2+ 11 3n+4-德1点P的坐标为保，得).若△0C☑ △P0A.测0治即-++- 4 ,解得n= n 0或n=一1（均舍去.综上所述，点P的坐标为 (停)或，-2或-1.0威（供，） [综合素养提升】 0B“片年 C -=k,.a=k(b十c),b= k(a+c),c=k(b十a).三式相加，得a十b+c=k(2a+ 2b+2c),即a+b十c=2k(a+b+c).当a+b+c≠0时， 1 1=2k,即k=2:当a十b十c=0时，b十c=-a,则k= 千。马。=-1.当=合时，直线y=号十2经过第 一、二、三象限；当k=一1时，直线y=一x一1经过第二、 三、四象限.综上所述，直线一定经过第二、三象限. ②B由作图可知，BP平分∠DBC,∴.∠MBO= ∠CBO.CN⊥BP,∴.∠BOM=∠BOC=90.在 ∠MBO=∠CBO, △BOM和△BOC中，BO=BO, .∴.△BOM≌ ∠BOM=∠BOC, 附：答案与解析 △BOC(ASA).∴.BM=BC=3,OM=OC.四边形 ABCD是矩形，.AD∥BC,CD=AB=4,∠CDA= ∠BCD=90°..BD=√BC2+CD=√32+4=5. ∴.DM=BD-BM=5-3=2.AD∥BC,∴.∠MDN= ∠MBC,∠DNM=∠BCM.∴.△DMN∽△BMC. :e-删号N-号C-号×3-2在 Rt△CDN中，由勾股定理，得CN=√CD+DN= 个+-25.：C-景“-异即 MN S-号=号CN=号×a5- 51 ③(1,1)或(5,3)Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛 物线y=ax2上，.4=4a,解得a=1.∴.抛物线对应的函 数表达式为y=x2.A(-2,4),∴.AB=4,OB=2.将 Rt△OAB向右平移得到△O,A,B,∴.A,B,=AB=4, O1B,=OB=2.如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q,∴.PQ∥ A△00AAB0层-A8:点 P将线段A0分成1：3两部分小沿-子或是 PO 1 “侣一青安是PQ-1或2点P的飘坐标为1 或3.在y=x2中，当y=1时，x2=1,解得x1=1,z2=-1 (不合题意，舍去).P(1,1).在y=x2中，当y=3时， x2=3,解得x3=3,x1=-√3（不合题意，舍去）. ∴.P(W5,3).综上所述，点P的坐标为(1,1)或（√3,3）. B OBQ 0 x (第3题) 0 :M,N分别是AB,BC的中点，.MN是 △ABC的中位线，则MN∥AC,MN=合AC ∴.∠NMG=∠ACG,∠GNM=∠CAG.∴.△GNMC∽ △cC-=.GF∥aC,△GFn △NAC.NG:AG=1:2,∴.AG:AN=2:3,GN: AN=1:3.8 8-(传》-日易知3-报 'S△VAC AN 29 数学（沪科版）九年级上 1 2 S△GE 1 2 6 3 SANAC ⑤(1)由题意可知，四边形AOEC是矩形，.AC=EO, ∠CAO=∠AOE=90°.∴.∠EOF=180°-∠AOE=90°. .∠CAO=∠EOF.:AO=OF,∴.△CAO≌△EOF (SAS).∴.∠COA=∠EFO.∴.CO∥EF.∴.CO与EF没 有交点，此时“不成像”.(2)由题意可知，CA⊥AB, DB⊥AB,MN⊥AB,OA=u=8cm,∴.∠CAO= ∠DBO=∠EOF=90°.：∠COA=∠DOB,∴.△CAOn △D0器品即号高÷B0=12am像距 v为12cm.(3)由题意可知，CA⊥AB,DB⊥AB, ∴.∠CAO=∠DBO=90°.：∠COA=∠DOB, △ca0n△DB0院-号即原-点10 3BD.DB⊥AB,MN⊥AB,∴.∠DBO=∠EOF=90° :∠EO=∠DFB.△ErO△DFB.R- 10 5 10 DB08-10 DB-3BD-10 BD-19 cm .BO=3BD=30cm..像距v为30cm,像BD的长为 10cm. ⑥(1)：四边形ABCD是菱形，∴.ABCD..∠D+ ∠BAD=180.,∠AHF=∠D,∠FAE=∠BAD, ∠AHE+∠AHF=180°，∴.∠FAE=∠AHE. 巴∠AEH=∠FEA,△AHEn△FAE.&AE-PF, .AE=HE·EF.(2)①如图，连接AC.,四边形 ABCD是菱形，∴.∠ABC=∠D,AB∥CD,AD=CD= AB=BC.,∠D=60°，∴.△ACD是等边三角形.，E为 CD的中点，∴.DE=CE,AE⊥CD..∠EAD=30°.由 (1),得AE2=HE·EF=27.在Rt△ADE中，∠EAD 30°，∴，AD=2DE.根据勾股定理，得AD=DE2+AE, 即(2DE)2=DE2+27..DE=3.∴.CE=3,AD=CD= 6.:∠EAF=∠BAD,∴.∠BAF=∠DAE=30°.又 :∠ABC=∠D=60°，.∠AFB=60°-30°=30°= ∠BAF.∴.FB=AB=BC.BG∥CE,∴.△BFG∽ △CFE,0g=G=cE=是©如 图，设AC交EF于点O.:△AHE△FAE, .∠EAH=∠EFA.又'∠EAC=∠AFB=30, .∠HAO=∠CFO.:∠AOH=∠FOC,∴.△AHO∽ 30 △r0080-8.8器-8：∠0F=∠0c. ∴.△AOF∽△HOC.∴.∠CHO=∠FAO.AB∥CD, ∴.∠BAD=180°-∠D=120°.：△ACD是等边三角形， ∴.∠CAD=60°..∠CAB=120°-60°=60. ∴.∠FAO=30°+60°=90°.∴.∠CH0=90°，即CH LEF. (第6题) 第23章解直角三角形 [高频考点突破 045 如图，连接AF.:点D关于AE的对称点F 在BE上，∴.△AFE≌△ADE.∴.FE=DE=2,AF= AD=6,∠D=∠AFE,∠FAE=∠DAE.又，四边形 ABCD是菱形，∴.AB=BC=AD=AF=6,AD∥BC, AB∥CD..∠BEC=∠ABF=∠AFB=180°-∠AFE= 180°-∠D=∠C.∴.BE=BC=6.∴BF=BE-FE=4. 过点A作AM⊥BF于点M,过点F作FN⊥AE于点N, BM -FM-7 BF-2,AM -/AB-BV √62-2=4V2.又EM=BE-BM=6-2=4, .AE=√AMP+EM=√(4W2)2+42=43. :SAE=AE·FN=号FE·AM,FN A=2x42=3.∴·sin∠DAE=sin∠FAE月 AE 4W3 FN_6 AF=9: D (第1题) 1)原式=2×（停）°- 2+、 1 =2X 8-2x2 √+2 、=3+ √2.(2)原式=√(cos30°-1)+|tan60°-tan45|=