专题 08 相似三角形必考几何压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型突破”构建相似三角形压轴题系统训练，通过口诀化通法、分级题型和递进式典例，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1口诀+6步骤|“先找等角定相似”等口诀，AA判定优先，方程求解|从判定原理到解题流程，构建基础方法论| |题型归纳|6题型（各3典例+3变式）|等积式化比例式、面积比平方关系、动点分段讨论|从静态证明到动态综合，形成“判定-计算-应用”链条| |压轴挑战|20题（选择/填空/解答）|双相似转化、坐标系K型相似构造|聚焦中考高频难点，提升复杂问题推理能力|

专题 08 相似三角形必考几何压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似证明 + 线段求值（基础压轴小问） 题型二、等积式证明 AB⋅CD=EF⋅GH 题型三、面积比问题（极易丢分） 题型四、动点相似压轴（安徽中考大题高频） 题型五、平面直角坐标系中的相似压轴 题型六、双相似（连续两次相似）压轴 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法总口诀 先找等角定相似，再列比例代线段； 有平行得 A 型，有共角找子母型； 求线段设未知数，面积比注意平方； 遇比例做平行线，构造相似是万能。 标准解题步骤 1.定目标：看题目要证相似 / 求线段长 / 求比值 / 求面积 / 证明等积式（） 2.找角优先：相似判定优先用AA（两角对应相等），中考 90% 压轴都用 AA； 等角来源：对顶角、同角 / 等角的余补角、平行线内错角、等腰底角、圆周角（九下）、折叠旋转等不变角。 3.确定模型：识别属于哪一类相似几何模型（A 型、8 字型、子母型、一线三等角、旋转相似） 4.列比例式：对应顶点写在对应位置（最容易错！）， 5.方程求解：设未知线段为x，代入比例，解方程； 6.检验取舍：线段长度 > 0，动点题注意分段讨论。 重要转化：等积式 先化为比例式 ，再找夹边等角（子母相似） 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似证明 + 线段求值（基础压轴小问） 【典例1】．若两个相似多边形的面积之比为1：4．周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________． 【典例2】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，，，，．求的长．    【典例3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)已知，设，请求与的关系式．并计算出长的最大值． 题型模版 解题要点：AA 判定，规范书写，对应顶点对齐，列比例方程。 【变式1】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在等边中，点是边上一个动点（不与，重合），点在上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为3，求的最小值． 【变式3】．在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 题型二、等积式证明 AB⋅CD=EF⋅GH 【典例4】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是的边上一点，，交于点．延长至点，使，连接，交边于点． (1)若．求； (2)求证：． 【典例5】．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，平分交于点，点、分别在、上，交于点． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，点为的中点，求的长； (2)如图2，若三角形三条内角平分线交于点，且．求的长． 【典例6】．如图，在中，点、分别在边、上，，与交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 题型模版 思路：化为比例式，找两个三角形相似； 若无法直接找到，考虑等线段代换或者两次相似（双相似）。 【变式1】．已知：如图，在中，点在边上，，与分别相交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知：如图1，在直角三角形中，为边的中点，为边上一点，连接，点在上，连接并延长交于，若． (1)求证：； (2)如图2，若，求的值． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果，求的长． 题型三、面积比问题（极易丢分） 【典例7】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为． (1)写出一条有关相似三角形的性质______． (2)求的面积． 【典例8】．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的面积比是_____________． 【典例9】．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心得到的．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的相似比为___________； (3)与的面积之比为_____________． 题型模版 核心：相似图形面积比 = 相似比的平方； 注意：不是相似的两个三角形，面积比不能直接用平方，用底高之比！ 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点分别与点对应，且点在第二象限． (2)在（1）的条件下，写出与的面积比：___________． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)的面积是 ； (2)以点为位似中心，将缩小为原来的 ，得到， 请在轴右侧画出； (3)若与位似，位似比为 ，则______． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 题型四、动点相似压轴（安徽中考大题高频） 【典例10】．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动几秒时，和相似？ 【典例11】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，中，，，．点D从A点出发沿射线以的速度移动，点E从C点出发沿射线以的速度移动，若两点同时出发，移动时间为， (1)用含t的式子表示的长； (2)经过几秒，与相似？ 【典例12】．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 题型模版 动点在边 / 折线上运动，是否存在某时刻，两个三角形相似。 【变式1】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似    【变式2】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【变式3】．如图，中，，，，，分别是边，的中点，为边上一动点，于，交于．    (1)_____； (2)当和相似时，求的长． 【典例4】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接． (1)请用含t的代数式表示：______，______； (2)求当t为何值时，与相似？ 题型五、平面直角坐标系中的相似压轴 【典例13】．（2024九年级·安徽蚌埠·阶段检测）如图，是边长为1的等边三角形，顶点O在平面直角坐标系的原点处，在x轴上，点A在第一象限．以点O为位似中心将作位似变换．第一次变换后得到，与的相似比为；第二次变换后得到，与的相似比为；……按此规律，第n次变换后得到． (1)填空：点的坐标为__________，的坐标为__________，的坐标为__________，的坐标为__________． (2)直接写出点和点的坐标． 【典例14】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰和等腰即为“相似等腰组”． (1)如图2，将上述“相似等腰组”中的绕看点逆时针旋转一定角度，判断和是否全等； (2)如图3，等腰和等腰是“相似等腰组”，且，和相交于点，判断和的位置及大小关系． 【典例15】．如图，平行四边形在平面直角坐标系中，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)求的值． (2)若E为x轴上的点，且，求E点的坐标，并判断与是否相似． (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 思路：坐标→线段长度，找直角、等角，构造 K 相似；存在性问题：是否存在点 P，使得△PAB与已知三角形相似。 【变式1】．（2026·安徽阜阳·模拟预测）已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接，请回答下列问题： (1)将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，求翻折后得到的图象位于线段下方的部分对应的函数表达式； (2)如图，点P是线段下方部分的图象上的一动点，过点P作轴，是否存在点P，使得以点A，P，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的图象经过点、，设它与轴的另一个交点为（点在点的左侧），且的面积是． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标； (2)求的度数； (3)若抛物线与轴相交于点，直线交轴于点，点在线段上，当与相似时，求的长． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线过点A、B、C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式并直接写出时x的取值范围． (3)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接，交于F，求以C、E、F为顶点三角形与相似时点P的坐标． 题型六、双相似（连续两次相似）压轴 【典例16】．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，与位似，点O是位似中心，若，与的面积差为，求的面积． 【典例17】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 题型模版 不能一步得到目标比例，需要证第一组相似得到中间等角 / 等比例，再证第二组相似。 技巧：把要证的比例拆开，寻找中间桥梁线段。 【变式1】．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式2】．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在和中，，．点D是边上一点，，与交于点O．点F、点G分别是、边上的中点．求证： (1)； (2)． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（    ）    A．  B．   C．  D．   3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 4．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，交于点．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知正方形的顶点、在的边上，点、分别在和上，，．则的最小值为（    ） A．6 B． C．12 D． 6．如图，中，，是边上一点，．过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，与相交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，点在上运动，以为边作正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，与交于点，下列说法错误的是（   ） A．当点在直线上运动时，的最小值为 B．当点在直线上运动时，正方形面积的最大值为8 C．当点在边上运动时，的最大值为 D．当点在边上运动时，的最小值为 二、填空题 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点D在线段上，交于点，则________． 10．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，点在的延长线上，与交于点．若的面积为4，，则的面积为__________． 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 三、解答题 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 14．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件 求证：． 15．（25-26九年级上·安徽六安·期末）在中，点E、F分别在、上，、相交于D． (1)如图①，当E、F分别为、的中点时，求证：； (2)如图②，当，时，求． 16．如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证：． 17．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在 中，，，，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分别从 、 同时出发，设运动时间为 （）． (1)用含 的代数式表示 、 的长度； (2)当 为何值时， 的面积等于 ？ (3)当 为何值时， 与 相似？ 19．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图1，在锐角中，，平分交边于点． (1)求证：； (2)如图2，点是上一点，且，若，连接． （i）求的值； （ii）若的面积为15，求的面积． 20．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，边长为1的正方形中，对角线与交于O，动点E在线段上移动（不与端点重合），连接，作交于F，交于G，连接交于H． (1)求证： (2)求证： (3)当点在线段上移动（不与端点重合）时，是否发生变化，若不变求出的值，若变化，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 08 相似三角形必考几何压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似证明 + 线段求值（基础压轴小问） 题型二、等积式证明 AB⋅CD=EF⋅GH 题型三、面积比问题（极易丢分） 题型四、动点相似压轴（安徽中考大题高频） 题型五、平面直角坐标系中的相似压轴 题型六、双相似（连续两次相似）压轴 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法总口诀 先找等角定相似，再列比例代线段； 有平行得 A 型，有共角找子母型； 求线段设未知数，面积比注意平方； 遇比例做平行线，构造相似是万能。 标准解题步骤 1.定目标：看题目要证相似 / 求线段长 / 求比值 / 求面积 / 证明等积式（） 2.找角优先：相似判定优先用AA（两角对应相等），中考 90% 压轴都用 AA； 等角来源：对顶角、同角 / 等角的余补角、平行线内错角、等腰底角、圆周角（九下）、折叠旋转等不变角。 3.确定模型：识别属于哪一类相似几何模型（A 型、8 字型、子母型、一线三等角、旋转相似） 4.列比例式：对应顶点写在对应位置（最容易错！）， 5.方程求解：设未知线段为x，代入比例，解方程； 6.检验取舍：线段长度 > 0，动点题注意分段讨论。 重要转化：等积式 先化为比例式 ，再找夹边等角（子母相似） 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似证明 + 线段求值（基础压轴小问） 【典例1】．若两个相似多边形的面积之比为1：4．周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________． 【答案】6, 12 【知识点】利用相似三角形的性质求解、证明三角形的对应线段成比例 【详解】面积比是1:4,周长比是1:2，所以周长差是6，所以两个相似多边形的周长分别是6,12. 点睛：相似三角形的性质 （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2） 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比. （3） 相似三角形周长的比等于相似比. （4） 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 【典例2】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【知识点】相似三角形的判定综合、证明三角形的对应线段成比例 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 【典例3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)已知，设，请求与的关系式．并计算出长的最大值． 【答案】(1) 证明：在等边中，， ， ， ； (2)，1 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质． （1）在等边中，，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）设，由（1）知，则，进而求出，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 由（1）知， ∴， 又， ， 即， ， 当时，最大，为1， 此时存在， 即长的最大值为1． 题型模版 解题要点：AA 判定，规范书写，对应顶点对齐，列比例方程。 【变式1】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 【变式2】．如图，在等边中，点是边上一个动点（不与，重合），点在上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为3，求的最小值． 【答案】(1) 证明：等边是等边三角形， ， ，，， ， ． (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）由是等边三角形，证明，由，，，可证明，进而证明． （2）设，则，由，可得，即，根据二次函数的图象和性质，可得取得最大值，进而求得得最小值． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时取得最小值为∶． 【变式3】．在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【答案】(1)①， ，． ， ，即． 又， ， ． ② (2) 【知识点】同位角相等两直线平行、利用平行四边形性质和判定证明、相似三角形的判定与性质综合、证明三角形的对应线段成比例 【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论； （2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值． 【详解】（1）解：①略 如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．   ， ， 又， ， ． 又， ， ， ， 设，则， ． （2）如答图（2），过点作，且，连接，，    则四边形为平行四边形． ， ． ， ， ． 又， ， ，即． ， ． ， 设，， 则在中，． ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 题型二、等积式证明 AB⋅CD=EF⋅GH 【典例4】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是的边上一点，，交于点．延长至点，使，连接，交边于点． (1)若．求； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解题的关键． （1）根据易证，推出，求出，再根据即可得出结果； （2）根据易证，推出，结合（1）中，推出，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 略 【典例5】．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，平分交于点，点、分别在、上，交于点． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，点为的中点，求的长； (2)如图2，若三角形三条内角平分线交于点，且．求的长． 【答案】(1) ①证明：∵平分   ∴ ∵   ∴∽    ∴    ∴ ② (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①利用有两个角对应相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例即可得出结论； ②由，得到，进而求得；利用，由相似三角形对应边成比例可得，结论可求； （2）利用相似三角形的判定得出，进而利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：①略 ②∵，    ∴， ∵，    ∵， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴∽， ∴，即：，   ∴； （2）解：∵平分    ∴ ∵    ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分，平分，平分， ∴， ∴，即： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形的三个内角的平分线相交于一点得到平分是解题的关键． 【典例6】．如图，在中，点、分别在边、上，，与交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，即； (2) 证明：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）通过对已知条件变形得到比例式，结合公共角证明，利用相似三角形对应角相等及等腰三角形的性质，推导得出； （2）先利用第（1）问的相似结论得到角相等，结合等腰三角形的性质推导出角相等，再通过三角形外角性质与角的代换，证明新的相似三角形，最终利用相似三角形对应边成比例完成等积式的证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例． 题型模版 思路：化为比例式，找两个三角形相似； 若无法直接找到，考虑等线段代换或者两次相似（双相似）。 【变式1】．已知：如图，在中，点在边上，，与分别相交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 由（1）知，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由，，即得； （2）根据（1）结论可得，可得，得到，得到，可得，可得，得到，即得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形综合．熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线性质，三角形外角性质，是解题的关键． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知：如图1，在直角三角形中，为边的中点，为边上一点，连接，点在上，连接并延长交于，若． (1)求证：； (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，合理作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意，证明，即可求解； （2）根据题意，结合（1）得到，即，设，则，，如图所示，过点作延长线于点，过点作于点，由线段和差，勾股定理等知识得到，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即， ∵， 设，则， ∴， 如图所示，过点作延长线于点，过点作于点， ∴， ∴是的中位线，即，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， 解得，， 在中，， ∵， ∴， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1) 证明：平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 又， ， 即； (2) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定． （1）结合平行四边形性质推得，后可证，再由相似三角形性质即可得证； （2）先由平行四边形性质中的推得，结合相似三角形性质推得，再证，由相似三角形性质即可求出，从而得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：平行四边形中，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即， ， 解得， ． 题型三、面积比问题（极易丢分） 【典例7】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为． (1)写出一条有关相似三角形的性质______． (2)求的面积． 【答案】(1)相似三角形的面积比等于相似比的平方 (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】根据相似三角形的性质解答； 根据位似图形的定义得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 本题考查的是位似变换，熟记位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方， 故答案为：相似三角形的面积比等于相似比的平方答案不唯一； （2）解：与位似，相似比为， ∴，相似比为， 与的面积比为， 的面积为8， 的面积为2． 【典例8】．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的面积比是_____________． 【答案】(1) 如图所示，即为所求．    (2) 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】（1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据面积比等于相似比的平方，相似比等于位似比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）与的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形的画图和相似比的计算，掌握对应的方法是本题关键． 【典例9】．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心得到的．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的相似比为___________； (3)与的面积之比为_____________． 【答案】(1) 即为所求：    (2) (3) 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）直接利用A点对应点位置结合位似中心得出B，C点对应点; （2）利用所画图形，结合对应点与位似中心的距离得出位似比； （3）得出三角形面积即可得出答案. 【详解】（1）略 （2）解：∵由图可知，， ∴与的位似比为； （3）解：∵，， ∴与的面积比为． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键. 题型模版 核心：相似图形面积比 = 相似比的平方； 注意：不是相似的两个三角形，面积比不能直接用平方，用底高之比！ 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点分别与点对应，且点在第二象限． (2)在（1）的条件下，写出与的面积比：___________． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中作位似图形以及位似图形的性质． （1）将点的横纵坐标除以，即可得到点的坐标，再顺次连接即可； （2）根据位似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，，与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)的面积是 ； (2)以点为位似中心，将缩小为原来的 ，得到， 请在轴右侧画出； (3)若与位似，位似比为 ，则______． 【答案】(1)4 (2) 如图所示，即为所求； (3) 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查坐标与位似，求三角形的面积，位似图形的性质； （1）根据图形以及三角形的面积公式计算即可求解． （2）根据位似的性质，画出即可； （3）根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）略 （3）解：与位似，位似比为 ， ∴与的面积比为， 的面积是，则 故答案为：． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 【答案】(1) 解：如图所示， 即为所求． (2) (3) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了作图-位似变换，位似图形的性质，位似图形的坐标变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）依据位似中心的位置以及位似比的大小，即可得到； （2）根据位似图形的性质面积比等于相似比的平方，求解即可； （3）依据对应点的坐标的关系：横坐标比等于纵坐标比等于相似比，即可得到点M在中的对应点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵与位似，且位似比为； ∴，相似比为， ∴， 即与的面积比为． 故答案为：． （3）解：∵与位似，且位似比为； ∴点为上一点，写出点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 题型四、动点相似压轴（安徽中考大题高频） 【典例10】．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动几秒时，和相似？ 【答案】同时运动或者时两个三角形相似 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据题意分两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设同时运动时两个三角形相似， 根据题意得，，， 当，则，即， 解得； 当，则，即， 解得． 答：同时运动或者时两个三角形相似． 【典例11】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，中，，，．点D从A点出发沿射线以的速度移动，点E从C点出发沿射线以的速度移动，若两点同时出发，移动时间为， (1)用含t的式子表示的长； (2)经过几秒，与相似？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)经过3秒或秒或8秒时，与相似 【知识点】列代数式、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了列代数式，相似三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，，再分当时，当时，分别表示即可得出结果； （2）分四种情况：当且时；当且时；当且时；当且时；分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴当时，；当时，； （2）解：当且时，则， 即， 解得：； 当且时，则， 即， 解得； 当且时，则， 即，此方程无解； 当且时，则， 即， 解得； 综上所述：经过3或或8秒时，与相似． 【典例12】．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2) 解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）略 题型模版 动点在边 / 折线上运动，是否存在某时刻，两个三角形相似。 【变式1】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似    【答案】经过或后，与相似． 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】分两种情况讨论，可得或，求得t的值． 【详解】解：①设经过后，， 根据已知条件，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键. 【变式2】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【答案】(1)不可能， 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； (2)存在，时间t为或秒时，使得与相似 理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形——动点问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）作于点H，先根据勾股定理求出的长，再根据，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】．如图，中，，，，，分别是边，的中点，为边上一动点，于，交于．    (1)_____； (2)当和相似时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）过作于交于，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理得到，，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论； （2）先根据角的大小关系判断相似三角形的对应关系，再根据相似三角形的性质分别计算即可得到结论． 【详解】（1）解：过作于交于，    在中，，，， ∴， ∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当和相似时，则或， 如图，当时，， ∴， ∴， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的长为或． 【典例4】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接． (1)请用含t的代数式表示：______，______； (2)求当t为何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当时，；当时，，再根据代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意知：，， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴； 分两种情况讨论： ①当时， ， ∵， ∴， 解得，， ②当时， ， ∴， 解得，； ∴或时，． 【点睛】本题考查了相似三角形动点问题以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 题型五、平面直角坐标系中的相似压轴 【典例13】．（2024九年级·安徽蚌埠·阶段检测）如图，是边长为1的等边三角形，顶点O在平面直角坐标系的原点处，在x轴上，点A在第一象限．以点O为位似中心将作位似变换．第一次变换后得到，与的相似比为；第二次变换后得到，与的相似比为；……按此规律，第n次变换后得到． (1)填空：点的坐标为__________，的坐标为__________，的坐标为__________，的坐标为__________． (2)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)的坐标为，点的坐标为 【知识点】点坐标规律探索、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）连接，，首先根据等边三角形的性质及相似三角形的性质，可得，，可证得垂直平分，的坐标为，再利用勾股定理可求得，即可求得点的坐标，同理可求得、的坐标即可； （2）根据（1）中的坐标规律即可求解． 【详解】（1）解：如图：连接，， 是边长为1的等边三角形， ， 与的相似比为， ，， 垂直平分，的坐标为， ， 的坐标为， 与的相似比为， ，， 垂直平分，的坐标为， ， 的坐标为， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）可知：的坐标为， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及相似三角形的性质，勾股定理，坐标规律探究，准确找出点的坐标规律是解决本题的关键． 【典例14】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰和等腰即为“相似等腰组”． (1)如图2，将上述“相似等腰组”中的绕看点逆时针旋转一定角度，判断和是否全等； (2)如图3，等腰和等腰是“相似等腰组”，且，和相交于点，判断和的位置及大小关系． 【答案】(1) 解：和全等，理由如下： 等腰和等腰为“相似等腰组”， ， ，， ， 在与中， ； (2) 解：，，理由如下： 等腰和等腰为“相似等腰组”， ， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， ． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，三角形内角和定理： （1）根据“相似等腰组”的定义得到，再证明，即可证明； （2））根据“相似等腰组”的定义得到，再证明，即可证明，得到，，再证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 【典例15】．如图，平行四边形在平面直角坐标系中，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)求的值． (2)若E为x轴上的点，且，求E点的坐标，并判断与是否相似． (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或，相似 (3)存在，、、和 【知识点】因式分解法解一元二次方程、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）求得一元二次方程的解，根据题意得到、的长度，利用勾股定理求得的长即可求得答案； （2）根据三角形面积公式可以求得点E的坐标，再根据平行四边形求得点D的坐标，利用两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似； （3）根据菱形的性质，和为邻边，或和为对角线的情况进行求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∵、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且， ∴，， 在中，， （2）∵E为x轴上的点，设， 则， 解得， ∴E点的坐标或 ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，,， 在中，,， ∴， ∴． （3）∵四边形为平行四边形，得， ∴平分， 设直线AB的解析式为，将点和点代入得 解得， 则， ①当和为邻边，点F在的延长线上时，此时点F和点B重合，即点； ②当和为邻边，当点F在的延长线上时，那么点M一定在直线上，且平分， 则点的横坐标为3，点F在直线上，纵坐标为， 即点； ③当为对角线，作的垂直平分线l，的解析式为，直线l过点，且直线l的k值为， ∴解析式为， 则有，解得， 则点； ④当为对角线时，过点C作的垂线交于点N， 由， 解得， 则， 作点A关于点N的对称点F，则， 过点F作y轴的垂线，交y轴于点G， ∵ ∴， 则点， 故满足A、C、F、M为顶点的四边形为菱形的点F有、、和． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程、相似三角形的判定和性质、利用待定系数法求直线解析式和判定为菱形的条件，解题的关键注意分类讨论思想的应用． 题型模版 思路：坐标→线段长度，找直角、等角，构造 K 相似；存在性问题：是否存在点 P，使得△PAB与已知三角形相似。 【变式1】．（2026·安徽阜阳·模拟预测）已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接，请回答下列问题： (1)将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，求翻折后得到的图象位于线段下方的部分对应的函数表达式； (2)如图，点P是线段下方部分的图象上的一动点，过点P作轴，是否存在点P，使得以点A，P，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图象位于线段下方的部分对应的函数表达式为 (2)存在点，其坐标为或，使得以点A，，E为顶点的三角形与相似 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出原函数解析式，进而得到与y轴的交点C的坐标，可知翻折后与y轴的交点的坐标，设图象位于线段下方的部分对应的函数表达式为，将点坐标代入求解即可； （2）设点P坐标为，则，，分情况根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴将两点坐标分别代入可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为， 由翻折可知点坐标为， 设图象位于线段下方的部分对应的函数表达式为， 将点坐标代入可得， 解得， ∴图象位于线段下方的部分对应的函数表达式为； （2）解：∵，，， ∴，． 设点P坐标为， ∴，， 分情况求解如下： ①当时，， ∴． 解得（舍去），， 此时点的坐标为； ②当时，， ∴， 解得（舍去）或， 此时点的坐标为； 综上所述，存在点，其坐标为或，使得以点A，，E为顶点的三角形与相似． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的图象经过点、，设它与轴的另一个交点为（点在点的左侧），且的面积是． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标； (2)求的度数； (3)若抛物线与轴相交于点，直线交轴于点，点在线段上，当与相似时，求的长． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)； (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、勾股定理、相似三角形的性质等知识点，读懂题意，根据已求出的函数解析式画出图象是解题关键． （1）先根据的面积求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）过点D作轴于点F，根据的坐标求出，进而可求得； （3）先根据的坐标求得直线的解析式，进而求得的坐标，进而求得的长，根据题意分，两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出比例式，进而即可求解． 【详解】（1）解：设， ，点A在点B的左侧， ，AB边上的高为3， 则由的面积是3可得：， 解得， ， 设抛物线解析式为， 将代入得：，解得， ， ， 顶点坐标为， 故该抛物线的表达式为，顶点坐标为； （2）解：如图，过点D作轴于点F， ， ， ， ； （3）解：如图， 抛物线的表达式为， 令，则， ， 设直线解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为：， 当时，，解得， ， ， ，，，， ①若， 则 ， 点在线段上， 此种情形不存在，不合题意； ②若，则 ， 综上所述，的长为． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线过点A、B、C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式并直接写出时x的取值范围． (3)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接，交于F，求以C、E、F为顶点三角形与相似时点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)P点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，根据旋转的性质，可得，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）先求得点C、D坐标，再用待定系数法求解析式即可，然后求出两函数的交点坐标，利用图象法求出出时x的取值范围． （3）①根据相似三角形的判定，可得答案，②根据相似三角形的性质，可得与的关系，根据解方程，可得的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）解：在中，， ， 是由绕点O逆时针旋转而得到的， ， ，． ，B，C的坐标分别为，，，代入 ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得C、D的坐标分别为，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式， 联立直线与抛物线解析式，得 ，解得：， ∴直线与抛物线的交点坐标为，，如图，    由图象可得：当时，x的取值范围是. （3）解：抛物线的解析式为， 对称轴l为， 点坐标为，如图   ，当时，∽， 此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，； 当时，∽，过点P作轴于M点，∽， ， 点P的横坐标为t， ， 在第二象限， ，， ， 解得，与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去， 当时，， ， 当与相似时，P点的坐标为或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数与一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质．属二次函数综合题，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 题型六、双相似（连续两次相似）压轴 【典例16】．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，与位似，点O是位似中心，若，与的面积差为，求的面积． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似图形以及相似三角形的判定与性质，先由与位似，位似中心是点，得，故，再运用面积比等于相似比的平方，即可作答． 【详解】解：∵与位似，点O是位似中心， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可以假设的面积为，的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为． 【典例17】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】 证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，列出比例式：，结合中点可得，再证明，列出比例式：，从而可得结论． 【详解】略 题型模版 不能一步得到目标比例，需要证第一组相似得到中间等角 / 等比例，再证第二组相似。 技巧：把要证的比例拆开，寻找中间桥梁线段。 【变式1】．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：∵AE2=AF⋅AC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)证明：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【变式2】．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解、证明三角形的对应线段成比例 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在和中，，．点D是边上一点，，与交于点O．点F、点G分别是、边上的中点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵点F、点G分别是、边上的中点 ∴，即； (2) 证明：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ∵且点F是中点， ∴， 则． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是判定，，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比． （1）由三角形的外角性质推出，又，推出，得到，即可证明； （2）由，推出，得到，判定，推出，判定，推出，得到，即可证明． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、但没有夹角相等，不能判定，故该选项符合题意； B、由可判定，故该选项不符合题意； C、由，可判定，故该选项不符合题意； D、由且，可判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（    ）    A．  B．   C．  D．   【答案】B 【分析】根据题意，进行分类讨论：当点P在上时，，根据，得出；当点P在上时，过点P作于点H，易证，得出，根据，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点P经过的路程为：，点Q经过的路程为， ∴点P到达点C时间为，点Q到达点C时间为， 即点P和点Q同时到达点C， 当点P在上时，，   ， 即， 当点P在上时，过点P作于点H， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， 即，    综上：当点P在上时，，是开口向上的二次函数；当点P在上时，，是开口向下的二次函数， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方；相似三角形对应边成比例；以及二次函数的图象． 3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 4．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，交于点．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识． 四边形是平行四边形，则，，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则，，故A正确，D正确； ∴，，故B错误，C正确； 故选：B． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知正方形的顶点、在的边上，点、分别在和上，，．则的最小值为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及最短路径问题，正确作出对称点是解题关键．先根据正方形性质和相似三角形的判定与性质求出边上的高，再利用对称点结合两点之间线段最短、勾股定理求出的最小值． 【详解】解： 正方形的边长，即 设边上的高为，则边上的高为 解得，即边上的高为6 作直线，且直线到的距离为，点在直线上 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，取得最小值 点与关于直线对称 在中，， 由勾股定理得 即的最小值为 故选：D． 6．如图，中，，是边上一点，．过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．先证明，得到，再证明，得到，则，，，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作的平行线，交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，与相交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形的性质证得，由相似三角形对应边成比例结合已知条件得出，从而得到，最后由推出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，点在上运动，以为边作正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，与交于点，下列说法错误的是（   ） A．当点在直线上运动时，的最小值为 B．当点在直线上运动时，正方形面积的最大值为8 C．当点在边上运动时，的最大值为 D．当点在边上运动时，的最小值为 【答案】A 【分析】证明，得到，设， 得，根据抛物线的最值，得当时，取得最大值，且为， 判断C正确；取中点O，连接，由直角三角形斜边中线定理设，过点O作，得到 是直角三角形，在中，是斜边，始终大于的直角边，当点D和点H重合时，则有 ，利用等腰直角三角形的性质表示出的长度，列出关于y的不等式求得y的取值范围，最终由 得到的最小值求解，可判定D正确，确定点E的运动轨迹利用轴对称的性质，可判定A项，利用二次函数 最值可判定B项，解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， 根据抛物线的最值，得当时，取得最大值，且为， 故C正确，不符合题意； 设， 点在边上运动， 故， 根据勾股定理，得， 根据题意，得， 故， 故， 故正方形面积的最大值为8， 故B正确，不符合题意； ∵D是直线上的动点， 如图，当点D与点C重合时，点E与点B重合， 当点与点B重合时，此时以为边作正方形， ∴， 连接，点E的轨迹是与夹角为的定直线l， 过点C作关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点为点， ∴当，，A三点共线时，的最小值为， 过点作， ∵，，， ∴， ∴， 又∵直线l垂直平分， ∴， 在中，， 故A错误，符合题意； 如图，取中点O，连接， ∵为直角三角形， ∴， 设， 过点O作， ∴是直角三角形， 在中，是斜边，始终大于的直角边，当点D和点H重合时，则有， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，二次函数的最值，不等式的性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，函数的最值，不等式的关系是解题的关键． 二、填空题 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点D在线段上，交于点，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据平行线得出相似三角形，根据面积得出相似三角形的面积比，最后根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，（负值已舍）， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，点在的延长线上，与交于点．若的面积为4，，则的面积为__________． 【答案】9 【分析】本题主要考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键．利用平行四边形的性质可得，，进一步得，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ． ， ， ． 故答案为：9． 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2秒 或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定，勾股定理，解一元二次方程等，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）设运动时间为秒，，根据勾股定理，列出方程，求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，分两种情况进行讨论，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为， 设运动时间为秒，，根据题意得， ，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故答案为：2秒； （2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件 求证：． 【答案】(1) 证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； (2)或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 15．（25-26九年级上·安徽六安·期末）在中，点E、F分别在、上，、相交于D． (1)如图①，当E、F分别为、的中点时，求证：； (2)如图②，当，时，求． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，证明是的中位线，得出，，从而可得，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点G，设，，则，证明，求出，再证明，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作，交的延长线于点G， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． （1）由，且，得，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，所以，则根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）略 （2）略 17．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比例的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形性质得，证明，即可求证； （2）利用，，得出，再证明，，得出，设，则，，得出，即可求证． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴与四边形的面积比的值为． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在 中，，，，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分别从 、 同时出发，设运动时间为 （）． (1)用含 的代数式表示 、 的长度； (2)当 为何值时， 的面积等于 ？ (3)当 为何值时， 与 相似？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由题意知，由可得； （2）由，可得关于的一元二次方程，求解即可； （3）①，②，根据对应边成比例，可建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）由题意知：，， ； （2）， ，即， ， 解得， ， ， 时， 的面积等于 ； （3）当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 或时，与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相关知识及分类讨论思想是解题的关键． 19．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图1，在锐角中，，平分交边于点． (1)求证：； (2)如图2，点是上一点，且，若，连接． （i）求的值； （ii）若的面积为15，求的面积． 【答案】(1) 证明：如图，过点作，交于点， 平分， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即， ； (2)（i）； （ii）的面积 【分析】（1）过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质，易得，从而，根据平行线分线段成比例和等量代换，易得，，即可求证； （2）（i）利用“”说明，得，等量代换，即可求解；（ii）根据题意，易求，又根据，可得，最后根据面积之间的关系，可求． 【详解】（1）略 （2）（i）， ， ，且， ， ， ， 且， ，即， （ii），的面积， 的面积， 且，   ，即， ， ，即． 【点睛】本题考查角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行线的性质，面积之间的关系等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，边长为1的正方形中，对角线与交于O，动点E在线段上移动（不与端点重合），连接，作交于F，交于G，连接交于H． (1)求证： (2)求证： (3)当点在线段上移动（不与端点重合）时，是否发生变化，若不变求出的值，若变化，请说明理由． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：，， ， ∵四边形是正方形， ， 又， ， ， ； (3)是定值，1 【分析】（1）连接，证明得到；再证明，得到，则可证明； （2）证明，由相似三角形的性质即可证明； （3）证明，推出，证明，推出， 则，即可得到． 【详解】（1）略 （2） 略 （3）解：由正方形的性质和（2）可知， 又∵， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ∴的值是定值，且为1. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $