第22章 相似形拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第22章相似形 第22章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1已一则下列各式正确的是 A B.x+36 y+3-7 C.2=9 y4 D.*ty-7 x-y 2.[2026池州石台期末]如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，下列条件中，不能判定 △ADE∽△ACB的是 () A把器 B.AD_AE_DE AD AE ACAB CB C.∠ADE=∠C D. ACAB A/B 暗室 G D 像 小孔 E (第2题) (第3题) (第4题) (第5题) 3.如图，ABCD∥EF,AF与BE相交于点G.如果AG=1,GD=2,DF=3,那么下列结论错误 的是 () A-2 BG 1 BG 1 B.BE-5 BC 1 C.BE2 AG1 D.G示3 4.如图，△AOB和△AOB1是以，点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比 为1：3，点B的坐标为（一1,2），则点B1的坐标为 () A.(3,-6) B.(1,-6) C.(-1,6) D.(-6,3) 5.舒青境学科融合我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象.墨子曾进行如下实 验：如图，在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个 倒立的人像.已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米， 若要使像CD的长度变为原来的1.5倍，则下列操作正确的是 () A.人向暗室后退2米 B.人向暗室前进2米 C.人向暗室后退4米 D.人向暗室前进4米 6.如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，将该菱形沿AC方向平移2√3个单位长度得到四边 形EFGH,EH交CD于点M,则点M到AC的距离为 () 山 D R (第6题) A.1 B.√3 C.2 D.23 69 拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 7.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D,E在AB边上，且∠DCE=45°.若AD=3, BD=9,则△CDE的面积为 () A.12 B.15 C.20 D.25 (第7题) (第8题) 8.如图，D为△ABC边CB的延长线上一点，连接AD,AD=12,BC=10,AC2=AB(AB+BC), 且△DAB∽△DCA.若AD=3AP,Q是线段AB上的动，点，则PQ长的最小值是 () A.√7 B.√6 C.√5 n 二、填空题（每小题5分，共20分） 9.[2024山西中考]黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图所示的正方形习字格书写的汉字 “远”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上，且AB∥ NP,“远字的笔画、”的位置在AB的黄金分割点C处，且52，若NP=2cm,则0 的长为 cm(结果保留根号). (第9题) (第10题) 10.如图，等边三角形ABC被两边平行于BC的矩形所截，AB被三等分.若△ABC的面积为27， 则四边形EFGH的面积为 11.如图，△ABC,△ADE都是直角三角形，∠DAE=∠BAC=90°，∠ADE=∠ABC,过点E作 EF⊥AC于点F,连接BD,CE.若BC=10,AB=BD=6,AD=3,则EF的长为 (第11题) (第12题) 12.[2026六安裕安段考]如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为边CD的中 点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F,交BD于点M,连接OF交CD于点N,连 接MN. (1)FN与ON之间的数量关系是 (2)若AB=6,则MN的长是 70 第22章相似形 三、解答题（共48分） 310分)2026六安霍邱期中已知线段a,b,且满足。6- D求的值 (2)若线段c是线段a,b的比例中项，且a+2b=18,求c的值. 14.(10分)根据以下材料，完成探究任务， 【提出问题】数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动. 如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB,同学们提出问题如下：围墙AB 的高度是多少米？ 【分析问题】结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高，点A经窗户点C处射进地面点F时，测得OF=6; ②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面点E时，测得OE=0.8.此外，测得窗高 CD=1.8m,窗户距地面的高度OD=1.2m. 【解决问题】靠窗放置一张矩形桌子，DNOF,点N在光线AF上，求AB,OB,DN的长， B OE (第14题) 15.(14分)如图①，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(一2,0)，B(一1，一2)， C(-3,-1) (1)请在图①中画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1(在原点右侧)，使△ABC 与△A,B:C,的相似比为2 71 拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 (2)若(1)中的直线A,B,与如图②所示的双曲线y=6交于M,N两点（点M在点N的左 侧)，请解答下面的问题： ①求点M,N的坐标. ②若点P在双前线y-上，且在第三象限上，求△PMN面积的最小值。 y 0 ① ② (第15题) 16.(14分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC,交BC于点E. 过点D作DF⊥AE于点H,分别交AB,AC于点F,G. (1)判断△AFG的形状并说明理由. (2)求证：BF=2OG 《③记△0的面积为S,△DBr的面积为S,当号时水把的值 G H (第16题) 72 >“答案与解析”见D42:LOABC的面积是8Saw=4,即号×(9-t)× 2-4,解得，=4国 2 =-4压.x>0,.x 5 压C(但正，压)小设线段0C所在直线对应的 5 函数表达式为)=将c(正.压)代人，得压 mx4 5 三，解得m=号.线段OC所在直线对应的函 5 数表达式为y=4x y个 0 EA F (第3题) 4.(1)对于y=-x2+6.x+3,令x=0,则y=3,.A(0, 3.∴.OA=3.令y=一x2+6x十3=3，解得x=0或x= 6.∴.B(6,3),.AB=6.(2)设P(m,-m2+6m+3) (0<m<6).:∠APQ=∠B,∠AHP=∠OAB=90°， △HPA△A0裙-8识m=号 6 3’ 解得m=4或m=0(舍去).∴.点P的坐标为(4,11). (3)当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍 时，则易得2(0+HQ)=PH:H0/0A,8 那即-6g0-62”26+2） 3 一m2+6m,解得m1=4,m2=3.∴.点P的坐标为(4,11) 或(3,12). 综合与实践2测量旗杆的高度 (1)如图，过点B作OB⊥DA于点B.由题意可知， ∠OBC=∠OBA=90°，∠GBO=∠FBO,.∴.∠GBA= ∠FBC.又.∠FCB=∠GAB=90°，，'.△BAGO△BCF “架2设BM=xm则BC=27-m:AG 1.6m,CF=2m,6-,产，解得=1,2.AB 22.7-x 1.2 m,BC=1.5 m..'CD=4.8 m,.'BD=BC+CD= 1.5+4.8=6.3(m).∠GAB=∠EDB=90°，∠GBA= .1.21.6 EBD△BAG△BDE.·盼-e·a3E .DE=8.4m,即烟囱DE的高度为8.4m.(2)由题意 可知，∠BF1A=∠DF1E,∠BF,A=∠CF,E ∠BAE=∠DEA=90°，.△BAF,D△DEF1, AFBA AF:_BA.AF,= △BAF,O△CEF.EF,-DE·EF,CE 2.5m,AE=15m,F1F2=0.5m,∴.F1E=AE-AF1= 15-2.5=12.5(m),AF2=AF,+F,F2=2.5+0.5= 3(m),则F,E=AE-AF,=15-3=12(m.72.5 2.5 泥是-是DE=.5m,CE=6mcD=DE CE=7.5-6=1.5(m).∴.广告牌CD的高度为1.5m. E 烟肉木板 地面D CBA 平面镜 第22章拔尖自主测评 1A由号=子可设x=0=4,则-3X3- y y 4 故A正确不-定等于故B结误号牙 y+34x+3 不一定等于号，故C错误，-±-7，故D错误 x一y3z-4x 2A已知把，自两条边的夹角不-定相等…：不 能判定△MDEn△MCB,故A符合题意由是-焉 花可判定△ADE∽△ACB,故B不符合题意.由 ∠ADE=∠C,∠A=∠A可判定△ADEP△ACB,故C 不符合题意由C-怎∠A=∠A可判定△ADE △ACB,故D不符合题意. 3.B AG=1,GD=2,DF=3,..AD=AG+GD=3, GF-GD+DF=5.AF=AG+GD+DF-6.AB//CD, 用瓷部之故A不符台题意由ABE,用器 铝-日日故B符合题意由二-日设G-6,则 .BG_AC- GC=2k,BC=BC+GC=3k.由AB/EF,得G-G示 日得GE-,则BE=G+CE=,因此绕-装 合·故C不符台题意架日放D不符台题章 42 4.A.·△AOB和△A,OB,是以点O为位似中心的位 似图形，.△AOBO△A,OB1.△AOB和△A,OB,的 周长之比为1：3，△A0B和△A,OB,的相似比为子 点B的坐标为（一1,2），∴.点B,的横坐标的绝对值为 |一1|×3=3，纵坐标的绝对值为2×3=6.：'点B,在第 四象限，.点B,的坐标为(3，一6). 5.B由题意，得△AOBC∽△DOC,∴.小孔O到人AB的 距离：小孔O到所成像CD的距离=AB:CD.:操作前 小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为 6米，.操作前AB:CD=1:1.操作后像CD的长度 变为原来的1.5倍，∴.操作后小孔O到人AB的距离：小 孔O到所成像CD的距离=AB:CD=1:1.5=2:3.当 人向暗室前进2米时，小孔O到人AB的距离：小孔O到 所成像CD的距离=(6一2)：6=2：3，满足题意，故B符 合题意 6.C如图，过点M作MN⊥AC于点N,过点D作DPL AC于点P,则∠DPA=90°.，菱形ABCD的边长为6， ∠BAD=60°，.∠DAP=∠DCP=30°，AD=6.∴.DP= 2AD-3,AP-CP=3,AC=2CP- 6W3.,将菱形ABCD沿AC方向平移2√3个单位长度得 到四边形EFGH,.AE=2√5，EC=AC-AE=4N3, ∠MEC=∠MCE=30°..∴.∠DAC=∠MEC,∠DCA= AE.AMC△瓷-张，即月 n63 45 品MN=2,即点M到AC的距离为2 M G (第6题) 7.B如图，过点C作CH⊥AB于点H.设HE=x. AC=BC,∠ACB=90°，AD=3,BD=9,.∠A= ∠B=45°，AB=AD+BD=12,△ABC为等腰直角三角 形.'.H为AB的中点，△ACH也为等腰直角三角形， AH=CH=号AB=6,则AC=BC=62..DH= AH一AD=6一3=3.在Rt△CEH中，由勾股定理，得 CE=√CI+HE=√62+x=√x2+36.在 Rt△CDH中，由勾股定理，得CD=√CH十DH2= 35.,∠A=∠DCE=45°，∠AEC=∠CED, D △MCr△mE.S8',即是产整 3√5√x2+36 理，得x2-一20z十36=0，解得x=2或x=18(不合题意，舍 去.DB=3+z=5.Sae=号DECH=号X5X 6=15. B (第7题) 8.A如图，过点B作BH⊥AD于点H.:'△DAB∽ △C1-肥BD异02解得BD=8负 12 BD 值会去.由△DAB△DCA,得G品-号.AC 含AB.:Ac=ABaB+),c=10,(侵B)= AB(AB+10),解得AB=8或AB=0(不合题意，舍去). ∴.AB=BD=8.BH⊥AD,AB=BD,.AH= AD=6,在R△ABH中，BH=VAB-A √8-6=27.AD=3AP,AD=12,.AP=4.当 PQ⊥AB时，PQ的值最小，∴.∠AQP=∠AHB=90°.又 :∠PaQ=∠BAH△PAQ△BAH.盼-品 82p0=万 即4Pg D c< (第8题) 9.(W5一1)：四边形MNPQ是正方形，∴.∠N= ∠P=90°.：AB∥NP,∴.∠BAN+∠N=180°. ∴∠BAN=90°.∴.四边形ABPN是矩形.∴.AB= NP-2 om C5-Demt 10.9矩形的两边平行于BC,.EH∥BC. :△MBH△ABC,:AB技三等分，福-号 S△AEH= S△AX ()=日：AAC的面积为27 AAB/ ∴.S△Am=3.同理，得SA=12.∴.四边形EFGH的面 积为12-3=9. 43 11.√15：∠BAC=90°，BC=10,AB=6,.AC= √BC2-AB=√102-6=8.：∠DAE=∠BAC= 90,∠ADE=∠ABC△ADE△ABC.铝-是 ·是：∠DAE=∠BAC:∠DAE-∠BAE ∠BAC-∠BAE,即∠DAB=∠EAC.∴.△ADBD △MBC:0-提-0：AB-D-6,AC-8, AD-3号是是AE-4,GE-8设AF-, 则CF=AC-AF=8-x.·EF⊥AC,∴.∠AFE= ∠CFE=90°.在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2= AE2-AF2=42一x2,在Rt△CEF中，由勾股定理，得 EF2=CE2-CF2=82-(8-x)2,.42-x2=82-(8- x)2,解得x=1..EF=√AE-AF=√42-1= √15. 12.(1)FN=2ON如图，连接OE.:'四边形ABCD是 正方形，∴.∠ADE=∠FCE=90°，AO=CO.:E为边 CD的中点，∴.DE=CE.又：∠AED=∠FEC, ∴△AED≌△FEC(ASA).∴.AE=FE..OE为△ACF 的中位线.OE/CP,OE=CR.△OENn△PCV. 凭号FN=20N.222:在正方 形ABCD中，AB=6,∴.AB=AD=BC=6,∠ABC=90°， A0=OC=号AC,AD∥BC.·AC=VAB+BC= V6+6=6E.A0=号AC=3反.由()可知， △AED2△FEC,AD=rC.C=FC=2BF. :AD/CAMO△FaM微-0-得 合兴-景由10可知，贷-…-号 0-宽-号X:∠A0=∠AiPN,△ADM △MrN.S-A=景N=号0=号X 3√2=2√2. C (第12题) 1“-号+2=+8，即- 2):-是号-号骨-台设号-台= 则a=8k,b=5k.又a+2b=18,.8k+2×5k=18,解 得k=1,则a=8,b=5.:线段c是线段a,b的比例中项， ∴.c2=ab=8X5=40..c=±2wW10.c>0,.c= 210. 14.连接CD,易知点C,D,O共线.OD∥AB, △O0n△EM.器-即景-O94E :c0∥AB,△P0Cn△FBA.需-常即 1.2 0.8 1.8+1.2 6 AB 0.8+OB' 6十OB·联立 .OB= AB 1.8+1.2 6 AB 6+OB 1.8m,AB=3.9m:△EODn△EBAEA-BA ED OD 号-意A提-是：DN∥OP△ADNn AD △A容-0X。是N=86m 15.(1)如图①，△A,B,C,即为所求.(2)①由(1)，可 得A,(4,0),B,(2,4),设直线AB,对应的函数表达式为 4k+b=0, k=一2， y=kx十b,则 解得 .直线A,B,对 2k+b=4, b=8. y=一2x+8, 应的函数表达式为y=一2x十8.联立 6 解得 y= x=1, 或{r=3M1,6)N(3.2》. 或 y=6y=2. ②如图②，先分 别过点P,N作y轴的平行线，再过点M作x轴的平行 线，与前两条直线分别交于点E,R.设P(D,分)水p<0, 则由(1)及题意，可得M(1,6),N(3,2),E(p,6),F(3,6), PE-6-月FN-6-2-4,E-3-,M-1-p FM=3-1=2.∴.S△PMN=S梯形PEPN一S△PM一S△MNp= (FN+EP)·EF-EP·EM-ZFN·FM- 2(4+6-8)3-p)-2(6-8)1-)-2×4× 2=-20-+8：p<0,-2>0,- 6 >0. :(-p-）≥0·-2p-2=25· 44 /。-≥0-2-≥2(】 ∠AHG=90°.又AH=AH,∴.△AHF≌△AHG (ASA).∴.AF=AG.∴.△AFG是等腰三角形.(2)如 5aw=-2-+8≥2√20(】 +8= 图，过点O作OL∥AB,交DF于点L,则∠AFG=∠OLG. AF=AG,∴.∠AFG=∠AGF.∠AGF=∠OGL, 43+8.当组仅当-2=-合，即p=一B时，△PMN ∴.∠0GL=∠OLG.∴.OG=OL.OL∥AB, 的面积取得最小值，为4√3+8. △0naW以÷祭-品：因边形A议D是期 形，∴.BD=2OD.∴.BF=2OL.∴.BF=2OG.(3)如 图，过点D作DK⊥AC于点K,则∠DKA=90°.，四边 形ABCD是矩形，∴∠CDA=90°，AB=CD. ∴.∠DKA=∠CDA.∠DAK=∠CAD,.△ADK∽ △ACD.骄-把0-0：s=cK. ① S=球·AD.又：BF=20G=弓=号 是号设w=2Ac=则AD=5铝 AD-⑤ ② (第15题) 16.(1)△AFG是等腰三角形.理由：：AE平分∠BAC, E (第16题) .∠HAF=∠HAG.DF⊥AE,.∠AHF= 第23章 解直角三角形 23.1锐角三角函数 ∴.BD=6.:AD是△ABC的中线，∴.BC=2BD=12. ∴.AC=√AB2+BC=√9+12=15. 第1课时正切 3.15√3m,迎水坡AB的斜面坡度i=1:√2， 1.B.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC, .△ABC,△ADB,△ADC均为直角三角形，∠C+ &C=5C=5m÷AC=15厄mdAB ∠B=90°，∠C+∠DAC=90°.∴.∠B=∠DAC.在 √AC+BCz=√/(15√2)2+15=15√3(m). R△ABD中，anB品放A不符合题意.在R△ABC 4.:在Rt△ABC中，∠C=90BC=8,tanB=2, 中，nB一S故C不符合题意在R△AC中. mB号瓷SAC=t设DC=:C tan∠DAC= CD AD ,∠B=∠DAC,∴.tanB= 8,∴.BD=8-x.∴.AD=BD=8-x.在Rt△ADC中， ∠C=90°，AC=4,DC=x,AD=8一x,则由勾股定理，得 m∠DAC-器放D不符合题意“品不等于mB, (8-x)2=x2+4,解得x=3,即DC=3..tan∠ADC= ∴.B符合题意 AC 4 DC-31 ∠B=90,AB三9，tan∠ADB=DB=2,5,B如图，过点B作BHAD,交AD的延 D45