专题特训11 抛物线的几何变换规律-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第五章二次函数 专题特训十一 抛物线的几何变换规律 类型一 抛物线的平移变换 解读：抛物线在平移的过程中，的值不发生变化.抛物线的平移规律：左加右减，上加下减. 1.[2025淄博期未]抛物线y= 21+1经平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为y= 2(x一1)2一2，则下列关于平移的说法正确的是 () A.右移1个单位长度，下移3个单位长度 B.左移1个单位长度，上移3个单位长度 C.右移1个单位长度，上移3个单位长度 D.左移1个单位长度，下移3个单位长度 2.[2025宁波鄞州期末]抛物线y=a.x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好 经过点(0,2026)，则a的值是 () A.-2023 B.2023 C.2026 D.2029 3.把抛物线y=x2十bx+2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的新抛物 线对应的函数表达式为y=x2一4x+7,则b的值为 A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图，抛物线的顶点为P(一2,2)，与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其 顶点P沿直线移动到点P(2,一2)处，点A的对应点为A',则抛物线上PA段扫 过的区域（涂色部分）的面积为 (第4题) 5.[2025无锡期末]把二次函数y=x2+4x一10的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移m 个单位长度(m>0),如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么m应满足条件 6.[2025铜陵枞阳模拟]如图，点A在x轴的正半轴上，且OA=4,点B在y轴的正半轴上，且 OB=6,直线AB与抛物线y=a.x2-1在第一象限内相交于点P,连接OP,已知S△o4p=6. (1)求a的值 (2)若将抛物线y=ax2一1先向右平移2个单位长度，再向下平移t(t>0)个单位长度，恰好经 过点A,试确定t的值 (第6题) 107 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 类型二抛物线的轴对称变换 解读：将抛物线y=a.x2十bx十c沿x轴翻折，x的值不变，y的值变为原来的相反数，得-y=a.x2十bx十 c.整理，得y=一a.x2-bx一c.将抛物线y=ax2十bx十c沿y轴翻折，y的值不变，x的值变为原来的相反数，得 y=ax?-bx+c. 7.将二次函数y=一x2+2x十3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数 的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为 入-婴或-3 B.1或-3 A c4或-3 D或-3 (第7题) 8.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=2x2一4x+8关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线 关于y轴作轴对称变换，所得抛物线对应的函数表达式为 类型三抛物线的旋转变换 解读：抛物线y=a.x2十bx十c绕原点旋转180°，x,y的值同时变为原来的相反数，得-y=ax2一bx十c.整 理，得y=-a.x2十bx-c. 9.[2025乳山期末]在平面直角坐标系中，先将抛物线y=2x2+4x关于y轴作轴对称变换，再将所 得的抛物线绕它的顶点旋转180°，则经两次变换后所得的新抛物线对应的函数表达式为()》 A.y=-2x2-4x B.y=-2x2+4x C.y=-2x2+4x-4D.y=-2x2-4x+4 10.[2025栖霞期末]在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2十2x一1先绕原点旋转180°，再向下平 移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是 11.如图，在平面直角坐标系中，M为抛物线y=一x2十2x一n2+2的顶点，过点(0,4)作x轴的 平行线，交抛物线于点P,Q(点P在点Q的左侧)，PQ=4. (1)求抛物线对应的函数表达式，并写出点P的坐标 (2)小丽发现：将抛物线y=一x2十2x一n2+2n绕，点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为 坐标原点O.她的发现正确吗？请说明理由。 0 (第11题) 108 >“答案与解析”见P65x=1的右侧时，y1<y2,此时0<t<1且t+1-1>1-t, 解得2<1<1.综上所述，当>2时<，故选项D 错误 8.(1)将A(1,0)代入y=(x一2)2十m,得(1一2)2+m= 0.解得m=一1，∴.二次函数的表达式为y=(x一2)2一1. 当x=0时，y=4-1=3,点C的坐标为(0,3).：点C 和点B关于二次函数图象的对称轴对称，二次函数图象的 对称轴是直线x=2,∴.点B的坐标为(4,3).将A(1,0). k+b=0, (k=1, B(4,3)代入y=kx十b,得 解得 (4k+b=3, b=-1. 次函数的表达式为y=x一1.(2)，A,B两点的坐标分 别为(1,0)，(4,3)，.结合题图，可知满足kx十b≥(x 2)2+m的x的取值范围是1≤x≤4. 9.C,△ABC是等边三角形，AB=2,∴.AC=BC= AB=2,∠A=60°.①如图①，当点D在AC上，即0≤x≤ 1时，AD=2x..DE⊥AB,.∠AED=90°..·∠A= 60,ADE=30.AD=2x.AE=AD=x. &DE=VAD-AE=5.y=号·AE·DE= 名·=1当0<：≤1时，是开日向上的抛物 线的一部分.②如图②，当点D在BC上，即1<x≤2时， AC+CD=2x.∴.BD=4-2x.同理①，易得BE=2-x, 1 DE=3(2-x),AE=2-(2-x)=x.y=2 AE.DE=·52-)=g+5当1长S 2时，是开口向下的抛物线的一部分..选项C符合题意. B ① ② (第9题) 专题特训十一抛物线的几何变换规律 1.A抛物线y= 2+1向右平移1个单位长度再向 1 下平移3个单位长度得到的新抛物线对应的函数表达式 为y=-2x-1D2+1-3=-2(x-1)2-2. 6 2.D抛物线y=a.x2先向左平移1个单位长度，再向下 平移3个单位长度后得到y=a(x十1)2-3，经过点(0， 2026),∴.2026=a-3,解得a=2029. 3.A,y=x2-4x十7=(x-2)2+3,原抛物线先向右 平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线 y=x2一4x+十7，.原抛物线对应的函数表达式为y= (x-2+3)2+3-2=(x+1)2+1=x2+2x+2.∴.b=2. 4.12如图，连接AP,A'P',过点A作AD⊥PP'于点D, 过点P作PG⊥x轴于点G.由题意，得AP∥A'P',AP= A'P',∴.四边形APPA'是平行四边形.易知抛物线上PA 段扫过的区域（涂色部分）的面积即为□APP'A'的面积 :抛物线的顶点为P(一2,2)，.PG=OG=2.∴.在 Rt△POG中，由勾股定理，得PO=√22+2=2√2. P(2,-2),.同理，可得OP'=2√2..PP'=OP+ OP'=4√2.PG=OG,∠PG0=90°，∴.∠POG= ∠0PG=7×(180-90)=45.:∠A0P=45.又 AD⊥PP',∴易得△AOD是等腰直角三角形. ,A(0,3),.AO=3..在Rt△AOD中，易得AD= 0=3 √2 2 3.:抛物线上PA段扫过的区域（涂色部分） 的面积为4W2×3 2 =12. (第4题)》 5.0<m<14且m≠5由题意可得，平移后所得抛物线对 应的函数表达式为y=(x十1)2+4(x十1)一10十m=x2十 6x一5十m,,平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点， .抛物线与x轴有两个交点，即方程x2+6x一5十m=0 有两个不相等的实数根.∴.△=62-4×1×(m一5)>0，解 得m<14.又当m=5时，函数为y=x2+6x,图象过坐 标原点，不符合题意，∴.0<m<14且m≠5. 6.(1):OA=4,OB=6,∴.A(4,0),B(0,6).设直线AB 对应的函数表达式为y=kx十b(k≠0).把A(4,0),B(0, 3 4k十b=0, 6)代入，得 解得 b=6, k=一2'：直线AB对应的 b=6, 函数表达式为y=一号x十6根据题意，可设 P(D,-p+6)(p>0).则点P到x轴的距离Ap 3 .12 -2p+6.:S0n=6,即20A·hp=6hp=OA -3，即-号p十6=3解得p=2P(2.3).红 4 1=3,解得a=1.(2)由(1)，可得抛物线对应的函数表 达式为y=x2一1，.经过平移后得到的新抛物线对应的 函数表达式为y=(x一2)2一1一t.,平移后的抛物线经 过点A(4,0),∴.(4-2)2-1-t=0,解得t=3. 7.A设二次函数y=一x2十2x十3的图象与x轴交于点 A,B(点A在点B的左侧).：二次函数的表达式为y= -x2+2x十3=-(x-1)2+4,.抛物线y=-x2+2x十 3的顶点坐标为(1,4).当y=0时，x2-2x一3=0，解得 x1=-1,x2=3.∴.抛物线y=一x2+2x十3与x轴的交 点为A(-1,0),B(3,0).将二次函数y=一x2+2x十3的 图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，易得翻折后的部分 的抛物线对应的函数表达式为y=(x一1)一4（一1≤x≤ 3).如图，当直线y=x十b过点B时，直线y=x十b与该 新函数的图象恰好有三个公共点，∴.3十b=0,解得b= -3.当直线y=x十b与抛物线y=(x-1)2-4(-1≤x≤ 3)只有一个交点时，直线y=x十b与该新函数的图象恰好 有三个公共点，即(x一1)2一4=x十b有两个相等的实数 根.整理，得x2-3x-b-3=0,∴.△=(-3)2-4(-b 3)=0,解得6=-头，符合题意.综上所述，6的值为-斗 或-3. (第7题) 8.y=一2x2-4x一8先将抛物线y=2x2-4x+8关于 x轴作轴对称变换，可得新抛物线y=一2x2+4x一8；再 将所得的抛物线y=一2x2十4x一8关于y轴作轴对称变 换，可得新抛物线y=一2x2-4x一8. 9.C抛物线y=2x2+4x关于y轴作轴对称变换，则所 得抛物线为y=2(-x)2十4(-x)=2x2一4x.,y 2x2一4x=2(x一1)2一2，.将原抛物线绕顶点旋转180 后，得y=-2(x-1)2-2=-2x2+4x-4. 10.(1,一3)将抛物线y=x2+2x一1先绕原点旋转 180°所得的抛物线为-y=(-x)2+2(-x)一1，即y= 一x2+2x+1.再将抛物线y=-x2+2x+1向下平移5个 单位长度，得抛物线y=一x2十2x十1一5=一x2十2x一4= 一(x一1)一3.∴.所得到的抛物线的顶点坐标是(1，一3). 11.(1),抛物线y=一x2+21x-n2十21过点P,Q,点 P,Q的纵坐标为4，.4=一x2+2n.x一n2十2n,解得x1 n+√2n-4,x2=n-√2m-4..PQ=|x1-x2=4, .2√2n一4=4，解得n=4.∴.抛物线对应的函数表达式 为y=一x2+8.x一8，x1=6,x2=2.:点P在点Q的左 侧，∴点P的坐标为(2,4).(2)正确.理由：由(1)，得P (2,4),Q(6,4).设点Q绕点P旋转180°后的对应点为Q'. .Q(-2,4).∴.点P与点Q正好关于y轴对称.所得 新抛物线的对称轴是y轴.：y=一x2+8x一8=一（x 4)2十8，∴.原抛物线的顶点M的坐标为(4,8)..顶点M到 直线PQ的距离为4.∴.所得新抛物线的顶点到直线PQ 的距离为4.∴.易得所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O. 专题特训十二抛物线与几何图形的 最值问题 1.(1)A(-1,0),B(3,0)在二次函数y=-x2+bx+c 的图象上，∴.抛物线对应的函数表达式为y=一(x十1)(x一 3)=-x2+2x十3.(2)①把x=0代入y=-x2+2x+ 3,得y=3,.C(0,3).如图①，延长DC与x轴相交于点 G.B(3,0),C(0,3),∴.OB=OC=3.∠COB=90°， ∴.∠CBO=45°.：∠DCB=90°=∠BCG,∴.∠CGB= 90°-∠CB0=90°-45°=45°..∠GC0=180°-∠C0G- ∠CGB=180°-90°-45°=45°..0G=OC=3.∴.G(-3, 0).设直线CG对应的函数表达式为y=k.x十m(k≠0).把 3=m, k=1, C(0,3),G(-3,0)代入，得 解得 (0=一3k十m, m=3, ∴.直线CG对应的函数表达式为y=x+3.:D是直线 y=x十3， CG与抛物线的交点，.联立 解得 y=-x2+2x十3， x=0,x=1, 或 .D(1,4).②如图②，过点O作OH∥ y=3y=4. EF,且OH=EF=√2，连接HE,DH,设DH与x轴的交 点为M.,OHEF,且OH=EF,∴.四边形OFEH是平