5.1 认识二次函数&5.2 第1课时抛物线的认识-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第五章} 二次函数 1认识二次函数 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025安庆怀宁期末]下列函数关系中，y是x的二次函数的为 () Ay=a+征+cBy是 C.y=50+x2 D.y=(x十2)(x-3)一x2 2.易错题若函数y=(m一2)xm+m-4十mx一3是关于x的二次函数，则m的值是 3.如图，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm.请你分别写出这个长方体的侧面展开 图的面积S(cm)关于x的函数表达式，长方体的体积V(cm3)关于x的函数表达式，各边长之 和L(cm)关于x的函数表达式，并判断这些函数的类型： (第3题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.考向探究题[2025兰州中考]如图，在正方形ABCD中，AB=2cm,对角线AC, BD相交于点O,动点P从点O出发沿O→A→B方向以√2cm/s的速度运动，同时 点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动.当点Q到达，点D时，P,Q两 点同时停止运动.若运动时间为xs,△CPQ的面积为ycm2,则点P分别在OA,第4题) AB上运动时，y与x的函数关系分别是 A.均为一次函数 B.一次函数、二次函数 C.均为二次函数 D.二次函数、一次函数 5.数形结合思想某批发商场在春节前以每个60元的价格购进一批玩偶，计划以每个80元的价格销 售.春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售.已知玩偶销售量y(个)与每个玩偶的 降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示， (1)求y关于x的函数表达式. (2)设商场销售y个玩偶所获得的利润为®元，求心关于x的函数表达式，并判断该函数是什 么函数： (3)若商场想要获利2600元，且让顾客获得更大实惠，则应对这种玩偶每个降价多少元？ ↑y/个 160--- 100 0 2 5x/元 (第5题) ●“答案与解析”见P51 87 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 2二次函数的图象 第1课时抛物线的认识 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.对于二次函数y=x2与y=一x2的图象，下列说法中错误的是 A.对称轴相同 B.顶点的坐标相同C.都有最高点 D.开口方向相反 2.已知点A(-2,a).若A是抛物线y=-x2上一点，则a= ,点A关于y轴的对称点C 的坐标是 则点C (填“在”或“不在”)抛物线y=一x2上， 3.题多解若点(-3，y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上，则y1y2,y的大小关 系是 .(用“>”连接) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.如图，抛物线y=一x2经过点A,B,且AB∥x轴，∠AOB=90°，则线段AB的长为 () A.1 B.2 C.3 D.4 -3-2-023x y=-x -4 C2 (第4题) (第5题) (第6题) 5.函数y=一x2的图象如图所示，当一2<x<1时，y的取值范围是 ;当y<-1时，x的 取值范围是 6.转化巧化归思想如图，圆O的半径为√2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=一x2的图象，则 图中阴影部分的面积为 7.如图，在抛物线y=-x2上取A,B,C三点，设点A,B的横坐标分别为a(a>0),a十1，直线BC 与x轴平行，连接AC,AB. (1)用含a的代数式表示△ABC的面积S. (2)当S=15时，求a的值 (3)在(2)的条件下，在边BC上取一点D,使△ACD的面积为7，求点D的坐标. (第7题) 88 >“答案与解析”见P5116.(1)如图，线段NF即为所求作.(2)设AB=xm, BC=ym.:ABCP,∴.∠CAB=∠ECP.由题意，易得 ∠ABc-∠cPE-90.d△ABCn△CPE. 即号-0.：MN/AB.号得△FBAD△FN, AB BF =V即g-15y十3@.由①@，得x=9y了 3 第五章 1认识二次函数 1.C选项A,当a=0时，不是二次函数；选项B,含有分 式不是二次函数；选项C,是二次函数；选项D,化简后不是 二次函数. 2.-3由题意得，m2十m一4=2且m一2≠0，解得m= -3或m=2(舍去). 易错警示 忽略二次函数中的二次项系数而出错 二次函数的一般形式y=ax2十bx十c(a,b,c是常 数，a≠0)中，二次项系数a≠0，解此类题易出现只关注 满足指数的要求，而忽略对二次项系数限制而导致错误 的情况 3.S=4x×6=24x,是一次函数；V=x2×6=6x2,是二次 函数；L=4x×2十6×4=8x十24，是一次函数. 4.D.·在正方形ABCD中，AB=2cm,∴.AB=BC= CD=DA=2cm.∴.AC=√AB2+BC=2W2cm,OC= OA=?AC=巨cm当点P在OA上运动时，由题意得 CQ=xcm,CP=OC+OP=(W2+√2x)cm.作PG⊥CD 于点G,“∠P0G=45,易得CG=PG=CP =(x+1)cm 2 S0-号C0·G即y-号+号，是=次函数当点 1 P在AB上运动时，由题意得CQ=x,Sw=2CQ· BC,即y=x,是一次函数. 5.(1)由题意，可设y关于x的函数表达式为y=kx十b (k≠0).将(2,100)，(5,160)代入y=kx+b,得 2k+b=100, k=20, 解得 .y关于x的函数表达式为 5k+b=160, b=60. y=20.x十60(0<x<20).(2)由题意，得=(80一60 x)(20x+60)=-20x2十340x+1200(0<x<20),该函数 3..AB=9m..路灯AB的高度为9m 、M B NI-ED Q EP (第16题) 二次函数 是二次函数.(3)根据题意，得-20.x2+340x十1200= 2600,解得x1=7,x2=10.:要让顾客获得更大实惠， .x=10.∴.应对这种玩偶每个降价10元. 2二次函数的图象 第1课时抛物线的认识 1.C二次函数y=x2的图象开口向上，有最低点，二次 函数y=一x2的图象开口向下，有最高点 2.一4(2，-4)在将点A(-2,a)的坐标代入y= -x2得，a=-(-2)2=-4,.A(-2,一4)..点A关于 y轴的对称点C的坐标是(2，一4).：点C的坐标(2，一4) 满足二次函数y=一x2,∴.点C在抛物线y=一x2上 3.y1>y3>y2解法一：把点的坐标代人函数表达式，得 y1=9,y2=1,y3=4,故y1>y>y2.解法二：结合函数图象 的性质判断大小，离对称轴距离越远值越大，故y1>y>y2· 4.B设y轴交AB于点D.:AB∥x轴且点A和点B均 在抛物线上，∴.由抛物线的对称性可知，对称轴y轴是线 段AB的垂直平分线，即AD=BD=AB,OD LAB. :∠A0B=90,.△M0B是直角三角形.OD=2AB= AD=BD,即点A的横坐标与纵坐标相等，点B的横坐标 与纵坐标的绝对值相等.设OD=m(m>0),则AB=21, A(一m,一m),B(m,一m),:抛物线y=一x2经过点A, B,.-m=-(-m)2,即m(m-1)=0.m>0,.m 1=0,即m=1.∴.AB=2m=2,即线段AB的长为2. 5.-4<y≤0x<-1或x>1结合图象可知，当-2< x<1时，一4<y0:当y<一1时，x<一1或x>1. 6.π由题意，易得题图中阴影部分的面积合起来恰好为 半圆O的面积圆O的半径为√2，∴.题图中阴影部分 的面积为2r×(2)2=元， 7.(1)当x=a时，y=-x2=-a2,则点A的坐标为(a, -a2);当x=a+1时，y=-x2=-(a+1)2=-a2 2a-1,则点B的坐标为(a+1,一a2-2a一1).·BC与x 轴平行，.易得点C的坐标为（一a一1，一a2一2a一1）. S=2(a+1+a+1D(-a+a2+2a+)=2a+3a于 1.(2)由题意，得2a2十3a十1=15.整理，得2a2+3a 7 14=0,解得a1=-2a:=2.a>0a=2.(3)当 a=2时，点A,B,C的坐标分别为(2，一4)，(3，一9)，（一3， 一9).，点D在边BC上，∴.设点D的坐标为(t,一9)，则 CD=1+3.:△ACD的面积为7,2×(-4+9)× 十3)=7，解得1=一号点D的坐标为(-号-9). 第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的 图象与性质 1.Aa=3>0,∴.图象开口向上y有最小值为-2. 2.C-(a2+1)<0,∴.图象开口向下.当x<0时，y 的值随x值的增大而增大.，一3<-1，∴.y1<y2. 3.(一3,3)，(2，一2)由题可知，“黎点”的坐标为(m, 一m),代入y=x2一6，得-m=m2一6，即m2+m-6=0, 解得m1=-3,m2=2,故坐标为（一3,3），(2，-2). 4.第三由图象可知，m<0,n>0,.一次函数y=m.x十 n的图象不经过第三象限， 5.(1)由题意，得a=3,k=一2，∴.该抛物线对应的函数 表达式为y=3x2一2.它是由抛物线y=3x2向下平移 2个单位长度得到的.(2)开口向上，对称轴为y轴. (3)当x>0时，y的值随x值的增大而增大；当x<0时， y的值随x值的增大而减小.(4)由(3)，易得y1>y2: 方法归纳 二次函数y=ax2+k与y=axr2 图象之间的关系 二次函数y=a.x2十k与y=ax2的图象形状相同， 只是位置不同.抛物线y=ax2十k可由抛物线y=ax 沿y轴向上（下）平移k个单位长度得到.当k>0时，抛 物线y=a.x2沿y轴向上平移k个单位长度得到抛物线 y=ax2+k;当k<0时，抛物线y=ax2沿y轴向下平 移k|个单位长度得到抛物线y=ax2十k. 6.B结合图象，由a可知，选项A,C错误；由b可知，选 项D错误 7.B过点A作AH⊥x轴于点H.,四边形OABC是正 方形，∴.∠AOB=45°.∴.∠AOH=45..易得AH= OH.设A(m,m),则易得B(0,2m).·点A,B在抛物线y= a=- 1 m=am十c, ax2十c上，. 解得 m'ac=-1x 2m=c, c=2m. 2m=-2.∴.ac的值为-2. 8.8过y=一22-1的顶点(0，-1)作平行于x轴的 直线与=一2+1围成的涂色部分，与过点(0，-3) 作平行于：销的直线与。=一弓女一1周成的图形形状 相同，故把第一步操作中围成的涂色部分向下平移2个单 位长度即可拼成一个矩形，因此矩形的面积为4×2=8. 9.6,抛物线y=a.x2十3(a<0)与y轴交于点A,.点 A的坐标为(0,3).BC过点A且与x轴平行，∴.令 3x=3,解得x=士3.·点B的坐标为(-3,3)，点C的 1 坐标为(3,3)..BC=3-(-3)=6. 10.(1):函数y=a.x2+4(a≠0)的图象沿y轴向下平移 4个单位长度后，变为y=a.x2,且过点A(-1,-1),.易 得a=-1.将(-1，-1)代入y=kx-2,得-1=-k-2, 解得k=一1.(2)由(1)知，平移后的抛物线和直线AB 对应的表达式分别为y=一x2,y=一x一2，联立上述两个 函数表达式，得-x2=一x-2,解得x1=一1，x2=2,则点 B的坐标为(2，一4).设直线AB交y轴于点H(0,一2)，则 △0AB的面积=令XOH×m-x)=号×2X(2+ 1)=3.(3)如图，设点P(m,一m2),.点M(m,一m- 2),则PM=-m2-(-m-2)=2,解得m=0(不合题意，舍 去)或m=1.∴.点P的坐标为(1，一1). (第10题) 11.(1)1;1;5;5.(2)OP=PH.:P(m,n)是抛物线 y=行-1上任意-点n=价-1.：0p=m+2=