第21章 二次函数与反比例函数综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第21章二次函数与反比例函数 望综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.[2026阜阳临泉期未]如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…,过点 A1,A2A,…分别作x轴的垂线与函数y=(x>0)的图象相交于点P1,P2,P,,得 到△OP1A1,△A1P2A2,△A2P3A3,…,设其面积分别为S1,S2,S3,…,以此类推，若 1 S20s=2026则k的值为 () A.2 B.1 C.-2 D.4 P ED P2 P.Ps x=-1 C (第1题) (第2题) (第3题) 2.二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=一1.有下列结 论：①abc>0;②b2-4ac>0;③4a十c>0;④若t为任意实数，则有a-bt≤at2+b; ⑤若当图象经过点（分2）时，方程ar2十bx十c一2=0的两根为1x:,<,).则 x1十2x2=一2.其中，正确的有 () A.①②③ B.②③⑤ C.②③④⑤ D.②③④ 3.如图，在矩形ABCD中，BC=5cm,AB=3cm,E为边AD上一点，DE=1cm,动点P, Q同时从点C出发，点P沿CB运动到点B,点Q沿折线C-D-E运动到点E,它们运动 的速度都是1cm/s,连接PQ.当有一点运动到终点时，两点同时停止运动.设点P,Q同 时出发ts时，△CPQ的面积为ycm,则y与t之间的函数图象大致是 () ↑y/cm y/cm ↑y/cm ↑y/cm 6 4.5 4.5 4.5 4.5- 0 34t/s 34t/ 34t/s 0 34t/s B C D 4.已知关于z的函数y=ax2十b十c+d(其中a,b,c,d是常数)的图象M经过点 A(1,一6)，B(3,0),C(x1y1),D(x2y2),且不经过第二象限，则下列说法正确的是 () A若a≠0d-0,则函数图象M关于直线x=名对称 9 数学（沪科版）九年级上 A若0≠0d=0,对于任意的17，当11<3时，有y1<则多a<0 C若a<一子d=6,则代数式。b有最大值 D.若a=2,b=一4，c=一7，d=3,则函数图象M与x轴有2个交点 x2-2x+3(x<2), 5.如图，函数y= 3 9 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线 4x十2(x≥2) y=m(m为常数)相交于三个不同的点A(x1y1),B(x2y2),C(x3y3)(x1<x2<x3). 设1=工y十x少，则1的取值范围是 x3y3 C y=m (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，直线y=kx与反比例函数y=”的图象交于A,B两点，与函数y=。（0<6<a)在 第一象限的图象交于点C,AC-3BC,过点B分别作x轴、y轴的平行线交函数y-在 第一象限的图象于点E,D,连接AE交x轴于点G,连接AD交y轴于点F,连接FG.若 △AFG的面积为39，则号的值为 ,a十b的值为 7.如图，抛物线C1:y=-x2+4nx一4m2十8m与x轴交于A,B两点，抛物线C2:y=x2- 2nx十n2-3n与x轴交于C,D两点. (1)若n=6,则抛物线C2的对称轴是直线x= (2)若m=2,且C是线段AB的中点，则m的值为 8.在排球比赛中，通常情况下，一名球员（二传手）在网前将球垫起来，球在本方球场的网前 与球网平行的方向飞行，其飞行路线是抛物线的一部分，进攻队员跳起扣球.如图，球网 AB的长度为10米，高OA为2.4米，二传手在距边界O处0.5米的E处传球，球（看成 一个点)从点M处开始沿抛物线MHN飞行，点M的高度为1.8米，球在水平方向飞行 5米后达到最高3.8米.以O为坐标原点，建立平面直角坐标系. (1)求出抛物线对应的函数表达式. 10 第21章二次函数与反比例函数 (2)甲队员在距二传手2米的F处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起 跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素)，试问甲队员能否扣到球？ (3)若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员的最大防守高度为3.2米，试问 乙队员应在距点O多远的范围内起跳，既能扣到球又避免对方拦网（参考数据：√5≈ 2.24,√30≈5.48)？ y/米 H 3.8 B A 1.8/M 米 2米 C x/米 (第8题) 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2十bx一4与x轴交于点A(一2,0)，B(4,0), 与y轴交于点C,D为BC的中点. (1)求该抛物线对应的函数表达式. (2)G是该抛物线对称轴上的动点，连接GA.若GA十GC有最小值，求此时点G的 坐标 (3)若P是第四象限内该抛物线上一动点，连接BP,DP,求△BDP面积的最大值. 1B x D G (第9题) 11数学（沪科版）九年级上 坐标为(2，一4)，△BCF面积的最大值为4. (第4题) ⑤(1)点A的坐标是（一1,0），∴.OA=1.:以原点为 中心，把点A顺时针旋转90°，得到点A',.∠AOA'= 90°，OA'=OA=1,此时点A'在y轴的正半轴上.∴.点A' 的坐标为(0,1).y=ax2一4ax(a<0),.该抛物线的 对称轴为直线x=-2是-2、（2②)：物线y-a2 4ax(a<0),其对称轴为直线x=2,∴.当x>2时，y随x 的增大而减小.3≤x≤5，∴.当x=3时，y有最大值，最 大值为3a-4×3a=-3a=1-2a.∴.a=-1.∴.y= 一x2+4x.(3)存在.y=一x2+4x,.当x=2时， y=-22+4×2=4.∴.P(2,4).设M(0,m),N(s,t).由 (1)知，A'(0,1).当以A',P,M,N为顶点的四边形是矩形 时，分三种情况讨论：①当A'P为对角线时，△A'MP是 以M为直角顶点的直角三角形，PN∥A'M,A'M⊥PM, .PM⊥y轴，PN⊥x轴.∴.M(0,4),N(2,1).②当以 s=一2， AM为对角线时， 0+0=2+5,: 1+m=4+t,”m=t+3. .M(0 t+3),N(-2,t).:A'M=PN,.(t+3-1)2=(2+ 2+(4-P解得1=子N(-2,号).国当以PM 为对角线时，要满足以A',P,M,N为顶点的四边形是矩 形，则需要满足△A'PM是以A'为直角顶点的直角三角 形，即PA'⊥y轴，与题意不符，故此种情况不存在.综上所 述，点N的坐标为21)或(-2，号)】 [综合素养提升 ①A如图，连接OP2,OP3,OP.由条件可知，A,P1, A2P2,AP3,AP:都垂直于x轴，S△A,P,0= S0=SaA0=Sao=会：0A,=A,A AA:=AAS:=25S,=号5S=s.以此 类推Ss65,点26解得6-2 1 y个 P Ps P.Ps OA:A2 A3 A.As x (第1题) 26 ②D,抛物线开口向上，∴.a>0.:抛物线的对称轴为 直线x=-1,即一 =-1,∴.b=2a>0.:抛物线与 y轴的交点在x轴下方，∴.c<0..abc<0.∴.①错误. 抛物线与x轴有2个交点，∴.△=b2-4ac>0.∴.②正 确.当x=1时，y>0,.a+b+c>0.b=2a, .3a十c>0.:a>0,∴.4a+c>0.∴.③正确.当 x=一1时，y有最小值，∴.a一b十cat十bt十c(t为任意 实数)，即a一bt≤at2+b.∴.④正确.：当图象经过点 (侵，2)时，方程ar2+hax+c一2=0的两根为x,红，< xz),.抛物线y=a.x2+bx十c与直线y=2的一个交点 为(2,2.：抛物线的对称轴为直线x=一1“抛物线 y=ax2+bc+e与直线y=2的另一个交点为(-号2)： ,=-号x=十2,=-号+2×号 5 是“⑤错说综上所述，正确的有@00， ③B:'四边形ABCD是矩形，.CD=AB=3cm. ①当0≤t≤3，即点P在线段BC上，点Q在线段CD上 时，y=2t,此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第 一象限的一部分.故C,D不符合题意.②当3<t4,即点 P在线段BC上，点Q在线段DE上时，y=2PC·CD= 2tX3三当t=4时，y=6.故A不符合题意，B符合 题意. ④B当a≠0，d=0时，函数为二次函数y=ax2+bx十 c,其图象的对称轴为直线x=一会而非直线x一一合 a 故A错误.当a≠0，d=0时，函数为二次函数，其图象过点 a+b+c=-6, A(1,-6),B(3,0),. 两式相减，得8a十 (9a+3b+c=0, 2b=6,即b=3一4a.将b=3-4a代入a+b+c=一6，得 c=3a-9,∴.y=x2+(3-4a)x十3a-9.函数图象不 a0, 经过第二象限，. 解得a<0.又对任意的 3a-9≤0， x1,当1<，<<3时y<y2-30≥3，即 2a -(3-4a)a,解得u≥-是.结合a<0,得-昌<a< 0,放B正确”a<一号d=,将6=3-4ac=3a-9代 人如c6,得ac2=-a-12-号.设1=-a a a (>号），则原式=4+号-12>4-12.：当>号时. 一次函数y=4t一12随t的增大而增大，无最大值，∴.原 式无最大值，故C错误.当a=2,b=一4，c=一7，d=3时， 函数为y=2x2-4r-7+2,令y=0,得2x2-4-7十 =0,两边同乘以x(x≠0)，得2x3-42-7z十3=0，因 x 式分解，得(x一3)(2x2+2x-1)=0,解得x=3或x= -1±3 2 ,三个根均不为0，即函数图象M与x轴有3个交 点，故D错误 0令<<1由=次函数y=-2x+3x<2)可知，其 图象开口向上，对称轴为直线x=1,∴.当x=1时，二次函 数有袋小值2，且十=2由一次质数y=-子+号 (x≥2)可知，当x=2时，函数有最大值，为3，当y=2时， 只“该函数图象与直线)=m(m为常数)相交于三 个不同的点A(x1,y1),B(x2y2),C(xaya)(x1<x2< 上，=g=y=m,2m<a2,<号1 -则12<号<<1 3 64160由题意，知OA=OB,AC=3BC,.C是OB 的中点.设点B的坐标为(m,a),则点A的坐标为 177 (m,一品)小点C的坐标为（合m品）6=分m… 品-a,即号=4E(分m品）D(m品)人由点 A,E的坐标，易得直线AE对应的函数表达式为y= 票+品记直线A正交y轴于点H,令y器+品 0则=一营m,令=0，则)一品放点G,H的坐标分 别为(-名，0，(o,)同理可得，点F的坐标为 (O,一8品)，则Sae=5aA-Sam=HfX( xa)=×(%+)×(-名m+m）=39.解得a- 128,则6=子a=32.a+6=160. 附：答案与解析 ⑦(1)6当n=6时，抛物线C2对应的函数表达式为 y=x2-2X6x+6-青×6=(x-6)-8它的对称轴 是直线x=6。(2)3当m=2时，抛物线C,对应的函 数表达式为y=-2+4×名-4×（号）+8×号 一(x一1)2+4，它的对称轴是直线x=1.:C是AB的中 点，∴.点C的坐标为(1,0).把C(1,0)代入y=x2一2x+ r-号，得P-2m×1+-号1=0，解得01=号- 4 3.当n=3时，抛物线C2对应的函数表达式为y=x2一 6.x十5，此时抛物线C2与x轴两个交点的横坐标分别是1 和5，符台题意：当0=弓时，抛物线C,对应的函数表达式 为=一号x一了此时抛物线C,与x轴两个交点的 横坐标分别是一号和1，与图象不符，舍去.“n的值为3 8(1)由题意，得M(0.5,1.8),H(5.5,3.8).设抛物线对 应的函数表达式为y=a(x-5.5)2+3.8,把M(0.5,1.8) 代人，得1.8=(0.5-55)2a+3.8,解得a=-元.抛物 线对应的函数表达式为y=一是(：-55)+38 2当1=2.5时y=-号×(25-5.5+3.8=808 3.08<3.10,∴.甲队员能扣到球.(3)当y=3.4时， 2 3.4=25（x-5.5)2+3.8,21≈7.74，x2≈326.当 2 y=3.2时，3.2=-25(x-5.5)2+3.8x≈8.24， ≈2.76，一<0，.抛物线开口向下.当3.2了 y≤3.4时，2.76<x≤3.26或7.74≤x<8.24.∴.乙队员 在距点O约2.76米至3.26米或7.74米至8.24米的范围 内起跳扣球，既能扣到球又避免对方拦网. ⑨(1)：抛物线y=ax2+bx一4与x轴交于点A(-2, 1 0=4a一2b-4, 0),B(4,0),∴. 解得 a=2’.该抛物 0=16a+4b-4, h=一1. 线对应的函数表达式为y一一1一4.(2)：G是该 抛物线对称轴上的动点，∴.GA=GB..GA十GC=GB+ GC..当G为直线BC与抛物线对称轴的交点时，GA+ c代的值最小在y之产--4中.令=0.得y=-4 27 数学（沪科版）九年级上 .点C的坐标为(0，一4).设直线BC对应的函数表达式 为y=kx一4(k≠0)，把B(4,0)代入，得0=4k一4，解得 k=1.∴.直线BC对应的函数表达式为y=x一4.易知抛 物线的对称轴为直线工=一一1=1，联立 x=1, 解 ,1 2X2 y=x一4， x=1, 得 y=-3. .此时点G的坐标为(1，一3).(3)过点P 作PQLx轴交BC于点Q.:'B(4,0),C(0,一4)，D为BC 的中点D(2,-2).设P(m,2m-m-4)(0<m< 4,则Q(m,m-4)PQ=m-4-(分m-m-4） 2m2+2m.&Sam-2PQ·(n-n)=7× 1 (-号m+2m)×(4-2)=-号m2+2m=-2(m 2》2+2.:-号<0,0<m<4,当m=2时，Sm有最 大值，为2 第22章相似形 高频考点突破 ①△ABC为等边三角形.理由：：'a,b,c是△ABC的三 边长，.a+6+c≠0.：a-b_-6c--0,a-b- b b-c_c-4_a-btb-c+c-a-0.:.a-b-0.6-c- a+b+c 0,c一a=0.∴.a=b=c.∴.△ABC为等边三角形. ②当a+b+c十d≠0时，：b+c+a-a+c+a 2a 2b 2c 2d atbid atbte =,.由等比性质，可得 38+=号--4=（号）》- 3(a+b+c+d) 3x号-4=-8当a+b+e+d=0时，6+e+d=-a, 2a=2a=-2.k2-3k-4=(-2)2-3× .k-b+c+d-a (一2)一4=6.综上所述，k:-3k-4的值为-8或6 ③(1)四边形ABCD为正方形，.AD=AB=2, ∠DAB=90.E为AB边的中点，.AE=1..DE= WAD十AE=5.∠DAB=90°，AF⊥DE, .∠EAF+∠DAF=∠EDA+∠DAF=90°. .∠EAF=∠EDA.又：∠AEF=∠DEA,∴.△AEFO 28 AE“能器店华m- DF- 5 n-=后--5：= 5 1 45 41 (2).四边形ABCD为正方形，.BD=√2AD=2√2， A-E,能-器開-需· BE EF ∠BEF= ∠DEB,.△BEF∽△DEB.·∠EBF=∠EDB·EB EF 5 2√10 BF 5 BF DB∴1 :·BR 22 BF-2.:昭-多 45 √10DF 5'BD-2√2 ∠ABF=∠BDF,∴.△AFBC∽△BFD. (3)AE= 号AF=VAE-EF-25.△AFBO 1,EF= 5 △BFD,. S△AB= SABFD ()=设5m=,则 BD S9m-26,:San-号Dr·AF-号×5×29- 5 5 号Sm=2AD·AB=2.专十6+26=2.6= 号Saw台：因边形ACD为正方形OB OD.5e-号sm号 2 ④由题意知，EC⊥DH,AB⊥DH,AC∥ED,.∠CED= ∠ACE,EC∥AB,∠ABC=∠ECD=90°..∴.∠BAC= ∠AE=∠CED,△ACn△D.-% 以=1.7米.CD=84米号-即议=2AB 由题意知，GF⊥DH,AB⊥DH,.∴.GF∥AB..△ABHc∽ △GH.票-：rG=2米.FH=3米5 2 钙，即B=L5AB:点D,H之间的距离为 108.4米，.∴.1.5AB+2AB+3.4=108.4..AB=30米 ∴.该塔的高度AB为30米. ⑤(1)将A(0,4),B(4,0),C(-1,0)代入y=ax2+bx+ c=4, a=-1, c,得16a+4b十c=0,解得b=3,∴.抛物线对应的函 a一b十c=0, c=4.