专题04 二次函数坐标系几何综合压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建二次函数几何综合体系，通过参数设点、几何代数转化等通法培养抽象能力与推理意识，覆盖中考高频存在性与最值问题。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3通法+口诀|设点建模（单参数表示）、几何条件代数翻译（距离平方等）、三步流程（求解析式-设参-列方程）|从参数设点到几何条件转化，形成“几何问题代数化”思维链| |题型归纳|6类（线段最值等），每类3典例+3变式|线段最值用将军饮马，等腰三角形用两圆一线，面积问题用铅垂高公式|按“基础计算-存在性讨论-综合应用”递进，适配中考难度梯度| |压轴挑战|8道综合题|多知识点交叉（函数+几何+动态），分类讨论与方程求解结合|整合前序方法解决复杂情境，提升模型观念与创新意识|

专题04 二次函数坐标系几何综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段最值问题（竖线段、将军饮马、线段差最值） 题型二、三角形面积问题（安徽中考必考题型） 题型三、等腰三角形存在性（两圆一线模型） 题型四、直角三角形存在性（三顶点分类模型） 题型五、平行四边形存在性（含矩形、菱形、正方形） 题型六、角度综合问题（等角、45°角、二倍角） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：设点建模（所有压轴题第一步） 抛物线动点统一设参数：P(t, at ²+bt+c)，仅用一个参数t表示所有动点坐标，最大限度减少变量，简化计算。 1. 竖直线上两点：横坐标相同，线段长=纵坐标之差的绝对值； 2. 水平线上两点：纵坐标相同，线段长=横坐标之差的绝对值； 3. 斜线段：两点间距离公式 d=，计算时优先取距离平方，消去根号，大幅降低计算失误率。 通法2：几何条件代数翻译（核心转化思维） 几何条件 代数等价翻译（考场通用） 两条线段相等 线段距离平方相等（避开根号，简化计算） 两直线垂直（直角） 勾股定理逆定理、一线三垂直全等/相似（初中禁用斜率，避免超纲扣分） 四点构成平行四边形 对角线中点坐标重合（中点公式万能求解） 求图形面积 铅垂高×水平宽÷2、割补法、补形法（适配任意平面图形） 三点构成等腰三角形 三边两两相等，分三类讨论顶点，距离平方列方程 三点构成直角三角形 三点轮流作为直角顶点，分三类用勾股定理逆定理求解 通法3：标准三步解题流程（满分答题模板） 第一步：求基础解析式：用待定系数法求出抛物线、直线解析式，算出定点坐标、与坐标轴交点、顶点坐标等固定条件。 第二步：设动点建参数：统一设抛物线上动点参数坐标，用单一参数表达所有相关线段、面积、角度关系。 第三步：列方程求解+验根：根据几何条件列方程，求解后必须检验参数范围、点的位置，舍去增根、无效根。 核心口诀：遇动点，先设参；几何条件变方程；存在问题必分类；算出结果要检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段最值问题（竖线段、将军饮马、线段差最值） 【典例1】．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】．如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 【典例3】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 题型模版 解题关键：作其中一个定点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线与直线的交点即为所求动点，两点之间线段最短。 【变式1-1】．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-3】．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，直线经过点． (1)求，两点的坐标； (2)当时，直线与抛物线的对称轴交于点． ①若点向上平移2个单位就与点重合，求的值； ②若点在第二象限并且在点的上方，记，求的最大值． 题型二、三角形面积问题（安徽中考必考题型） 【典例4】．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在平面坐标系中，二次函数的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D． (1)求抛物线的对称轴； (2)若且与的面积比为，求k的值． 【典例5】．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)轴上是否存在点使的面积为若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例6】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知，两点在二次函数与一次函数的图象上． (1)求该一次函数和二次函数的表达式； (2)请直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)若二次函数的图象交y轴于点C，连接，求的面积． 题型模版 1. 面积最值：将面积整理为参数t的二次函数，利用顶点求最大/最小值； 2. 面积定值存在性：令面积等于定值，解一元二次方程，求动点坐标。 补充：不规则多边形面积统一用割补法，拆解为多个三角形、矩形组合求解。 【变式2-1】．已知抛物线． (1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标． (2)当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． ①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积； ②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【变式2-2】．已知抛物线K：关于直线对称，且经过点． (1)求抛物线K的函数表达式； (2)若抛物线K与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．求A、B、C三点的坐标，并求的面积； (3)将抛物线K向左或向右平移，得到抛物线，且与x轴相交于、两点（点在点的左侧），并与y轴相交于点，要使和的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式． 【变式2-3】．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 题型三、等腰三角形存在性（两圆一线模型） 【典例7】．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0＜x1＜x2．过点A的直线l与x轴交于点C，与抛物线交于点B（异于点A），满足△CAN是等腰直角三角形，且S△BMN＝S△AMN．求该抛物线的解析式_____________． 【典例8】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 【典例9】．按照要求解答： (1)【建立模型】如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C、B、D，．求证：； (2)【类比迁移】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到，直线交x轴于点D． ①求点C的坐标； ②求直线的解析式； (3)【拓展延伸】如图3，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得三角形是以为腰的等腰三角形，若存在，写出点M的横坐标． 题型模版 解题操作：用距离平方相等列方程求解，带回抛物线解析式求坐标，严格舍去区间外、图像外的无效解。 【变式3-1】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为__________； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为__________． 【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，连接，线段的垂直平分线分别交、、轴于点、、，连接、． (1)当点不在原点处时，求证：四边形为菱形； (2)设点坐标为，点在轴上运动时： ①求出与之间的函数关系式； ②在点运动的过程中，是否存在是等边三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四、直角三角形存在性（三顶点分类模型） 【典例10】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型模版 三点轮流作为直角顶点，固定3种分类，全覆盖无遗漏，初中阶段禁用斜率，全程勾股定理求解： 1. ∠A=90°：AB²+AC²=BC² 2. ∠B=90°：BA²+BC²=AC² 3. ∠C=90°：CA²+CB²=AB² 复杂题型可搭配一线三垂直相似辅助求解，规避超纲知识点，保证答题合规。 【变式4-1】．如图，抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线下方的抛物线上有一点动点M（不与点B、C重合）： ①若点M是抛物线的顶点，判断是否为直角三角形，并说明理由； ②求出面积的最大值及此时的点的坐标． 【变式4-2】．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式4-3】．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 题型五、平行四边形存在性（含矩形、菱形、正方形） 【典例11】．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【典例12】．如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【典例13】．在平面直角坐标系中，对于点和二次函数，定义点P关于该二次函数的“伴随点”为点，已知二次函数． (1)求点关于该函数的伴随点的坐标； (2)若点关于该函数的伴随点恰好落在x轴上，求t的值； (3)点M是二次函数图象上的一个动点，点N是点M关于该函数的伴随点．以线段为边向右作正方形，当正方形与抛物线有且只有三个公共点时，求点M的坐标或取值范围．（请直接写出结果） 题型模版 核心分类：已知两个定点、两个动点，或一定三动点，固定两定点后，分三种对角线组合讨论，区分“两点为边”和“两点为对角线”两种情况，杜绝漏解。 【变式5-1】．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是上方抛物线上的一个动点，其横坐标为．连接，，． (1)求直线的解析式． (2)当的面积等于时，求的值． (3)在（2）的条件下，若是轴上一动点，是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】．如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点P作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标： (3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】．如图，抛物线与x轴的正半轴交于点、与轴交于点．点在该抛物线上运动，设点的横坐标为，过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． (1)求点和点的坐标． (2)当点与点重合时，求的值． (3)当矩形为正方形时，直接写出的值． (4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 题型六、角度综合问题（等角、45°角、二倍角） 【典例14】．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    【典例15】．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 【典例16】．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 题型模版 1.解题核心：二次函数相似问题必存在一组公共角/已知等角，以此为固定对应角，剩余两组角分两种对应情况分类讨论，列出比例式分别求解。 2.致命易错：相似顶点不固定，必须分情况列式，不可直接默认对应顶点，否则直接丢分。 【变式6-1】．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于D，E两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若P是抛物线上的点且在直线l的上方，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及该面积的最大值； (3)若Q是抛物线上的点，连接，且，请求出点Q的坐标． 【变式6-2】．如图1，抛物线与直线交于两点，． (1)求抛物线与直线的函数表达式； (2)将直线沿着轴向上平移个单位，与轴、轴分别交于点，．直线对应的函数表达式记作．若有且仅有唯一的的值，使得，求的值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式6-3】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)求抛物线顶点的坐标以及直线的函数表达式． (3)是第一象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，求当最大时，点的坐标． 3．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标； (3)如图2，若抛物线的顶点为E，过点E作轴，交于点F，G是抛物线上的一点，过点G作轴，交AC于点H，当时，求出点G的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象交于点和． (1)当时，求反比例函数的解析式； (2)要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，求应满足的条件以及的值的范围； (3)设二次函数的图象的顶点为，当是以为斜边的直角三角形时，求的值．（参考：两点间距离公式） 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）交x轴于点A，B，交y轴于点，点A坐标为，点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动点，且点E的横坐标为t． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若E在的上方，当时，求点E的坐标； (3)如图2，设的面积为S，点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式； ②以点E为对称中心，构造正方形，且在y轴上（点M在点N的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时S的取值范围． 7．（2025·安徽宿州·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接． (1)求a，b的值． (2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值． 8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，与直线：交于A、D两点，其中，． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，P为直线上方抛物线上的一点，过P作轴交直线于Q点，、是轴上的两个动点，在上方，且．当线段长度取得最大值时，求的最小值 (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点D平移后的对应点为点F，连接，在新抛物线上确定一点R，直线与x轴交于点Q，当时，直接写出所有符合条件的点R的坐标，并写出其中一种情况的求解过程 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数坐标系几何综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段最值问题（竖线段、将军饮马、线段差最值） 题型二、三角形面积问题（安徽中考必考题型） 题型三、等腰三角形存在性（两圆一线模型） 题型四、直角三角形存在性（三顶点分类模型） 题型五、平行四边形存在性（含矩形、菱形、正方形） 题型六、角度综合问题（等角、45°角、二倍角） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：设点建模（所有压轴题第一步） 抛物线动点统一设参数：P(t, at ²+bt+c)，仅用一个参数t表示所有动点坐标，最大限度减少变量，简化计算。 1. 竖直线上两点：横坐标相同，线段长=纵坐标之差的绝对值； 2. 水平线上两点：纵坐标相同，线段长=横坐标之差的绝对值； 3. 斜线段：两点间距离公式 d=，计算时优先取距离平方，消去根号，大幅降低计算失误率。 通法2：几何条件代数翻译（核心转化思维） 几何条件 代数等价翻译（考场通用） 两条线段相等 线段距离平方相等（避开根号，简化计算） 两直线垂直（直角） 勾股定理逆定理、一线三垂直全等/相似（初中禁用斜率，避免超纲扣分） 四点构成平行四边形 对角线中点坐标重合（中点公式万能求解） 求图形面积 铅垂高×水平宽÷2、割补法、补形法（适配任意平面图形） 三点构成等腰三角形 三边两两相等，分三类讨论顶点，距离平方列方程 三点构成直角三角形 三点轮流作为直角顶点，分三类用勾股定理逆定理求解 通法3：标准三步解题流程（满分答题模板） 第一步：求基础解析式：用待定系数法求出抛物线、直线解析式，算出定点坐标、与坐标轴交点、顶点坐标等固定条件。 第二步：设动点建参数：统一设抛物线上动点参数坐标，用单一参数表达所有相关线段、面积、角度关系。 第三步：列方程求解+验根：根据几何条件列方程，求解后必须检验参数范围、点的位置，舍去增根、无效根。 核心口诀：遇动点，先设参；几何条件变方程；存在问题必分类；算出结果要检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段最值问题（竖线段、将军饮马、线段差最值） 【典例1】．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用二次函数对称性求最短路径、用勾股定理解三角形 【分析】根据抛物线，得对称轴是直线，得出点坐标为，将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长，可得，，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：． 抛物线的对称轴是直线． 点关于对称轴直线的对称点为． 当时，， 点坐标为， 将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长， ，， ，即的最小值为． 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【典例2】．如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 【典例3】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1)，最大值为 (2)点P的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可； （2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； （2）解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 题型模版 解题关键：作其中一个定点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线与直线的交点即为所求动点，两点之间线段最短。 【变式1-1】．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 【变式1-2】．（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得； ②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把，，代入中得： 解得， 所以解析式为：； （2）①点的横坐标是， 的纵坐标是 由，求得直线解析式为 的纵坐标是， 所以当时， ②存在，理由如下： 点在直线上， 点的横坐标是 ，当时，最大 点坐标为． 【变式1-3】．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，直线经过点． (1)求，两点的坐标； (2)当时，直线与抛物线的对称轴交于点． ①若点向上平移2个单位就与点重合，求的值； ②若点在第二象限并且在点的上方，记，求的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）由题意得，则，，令，解方程即可； （2）①根据直线经过点，得，进而求得点，点，根据点D向上平移2个单位就与点E重合，得，解方程即可； ②用关于k的代数式表示出l，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴， 当时，得：，即， 解得，， ∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）， ∴，； （2）解：①∵直线经过点，将点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴点， 把代入得：， ∴点， ∵点D向上平移2个单位就与点E重合， ∴， 解得或（，不合题意，舍去）， ∴； ②∵，，点E在点D的上方， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 解得， ∵与y轴交于点，即， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，l的最大值是． 题型二、三角形面积问题（安徽中考必考题型） 【典例4】．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在平面坐标系中，二次函数的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D． (1)求抛物线的对称轴； (2)若且与的面积比为，求k的值． 【答案】(1)直线 (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）根据对称轴为直线计算即可； （2）将二次函数化为顶点式，得到顶点，将代入得到，即，根据的面积，的面积，结合与的面积比为列方程求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：， 顶点 当时， 即， ， 的面积，的面积，与的面积比为， ， 解得：． 【典例5】．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)轴上是否存在点使的面积为若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，分割法求三角形面积是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）设，根据列出关于的方程，解方程即可求得． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点， ∴设二次函数为， ∵经过， ， 解得，， ∴二次函数； （2）解：设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 由一次函数可知， 设， ， ， ， 或11， 或． 【典例6】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知，两点在二次函数与一次函数的图象上． (1)求该一次函数和二次函数的表达式； (2)请直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)若二次函数的图象交y轴于点C，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式的关系及函数在三角形面积计算中的应用． （1）把代入一次函数，解方程即可求得m的值；把，分别代入二次函数，得到关于和的方程组，解得a和b的值，则可得二次函数的解析式； （2）根据函数图象，二次函数图象位于一次函数图象上方的函数值大，可直接得出答案； （3）先利用二次函数交y轴于点C，求得点C的坐标，再根据点B的坐标，可得轴，根据直角三角形面积公式计算即可得的面积． 【详解】（1）解：∵在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； ∵，两点在二次函数的图象上， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：，， 由图象可得当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：∵二次函数交y轴于点C， ∴， 又∵， ∴轴，， ∴的面积为． 题型模版 1. 面积最值：将面积整理为参数t的二次函数，利用顶点求最大/最小值； 2. 面积定值存在性：令面积等于定值，解一元二次方程，求动点坐标。 补充：不规则多边形面积统一用割补法，拆解为多个三角形、矩形组合求解。 【变式2-1】．已知抛物线． (1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标． (2)当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． ①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积； ②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1)定点坐标为 (2)①；②面积为定值，面积为4． 【知识点】一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）本题考查的是含参数的函数过定点问题，找到函数中的参数，确定参数的系数，令系数为零即可解决． （2）① 本题考查了求两条线段之差的最大值问题，解决问题的关键在于找到何时取得最大值，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，、为定点，为动点，于是有，即当、、三点在一条直线上时取得最大值，利用待定系数法求出过点、的直线解析式，然后求出直线与轴交点即为所求的最大值时的位置，的距离可求，坐标已求，根据三角形面积公式可得面积． ② 由于，是抛物线上异于，的两个动点，要在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，那么必然这个三角形的三个顶点是确定的，、为定点，于是直线存在定点使得的面积是定值．要确定直线存在定点，即需求带参数的函数过定点问题，需要确定参数的系数，令系数为零即可求恒过的定点．设，，直线：，直线：，直线：，将直线、、的解析式分别与抛物线解析式联立，利用根与系数的关系，求得解析式中系数与之间的关系式，再联立直线和直线解析式，其交点始终在直线上，可得到的关系式，然后化简将直线：变为只含一个参数的方程，即可求出直线恒过的定点，最后利用几何关系求出的面积． 【详解】（1）解：， 当时，恒成立， 对于任意实数，该抛物线都会经过一个定点． （2）解：① 当时，抛物线的解析式为， 令，解得，， ，． 为抛物线顶点， 点横坐标为，纵坐标为， ， 当P，D，C三点在一条直线上时，取得最大值， 如图1，连接并延长，交x轴于点P， 设直线的解析式为， 将点，的坐标分别代入， 得解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ． ② 的面积为定值，面积为4． 解：如图2， 设，，直线：，直线：，直线：， 将点的坐标代入直线的解析式，得． 将点的坐标代入直线的解析式，得． 联立直线与抛物线的解析式，得， 整理得， 则，（提示：一元二次方程“根与系数的关系”）． 同理可得，， ，， ，， ， ． 联立直线与直线的解析式，得解得， 直线与直线的交点始终在直线上， ，化简得， ， 直线：， 当时，， 即不论为何值，直线EF恒过定点． 如图3，过点Q作轴于点K， ，，，， ， ， ，， ． 【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数，含参数的函数过定点问题，两条线段之差的最大值问题，联立函数解析式求交点的问题，一元二次方程根与系数的关系以及几何图形面积的求解；熟悉掌握含参数的函数过定点问题的方法，求两条线段之差最大值的理论依据，联立函数解析式求交点，利用根与系数的关系化简参数，切割几何图形求面积等方法是解决问题的关键． 【变式2-2】．已知抛物线K：关于直线对称，且经过点． (1)求抛物线K的函数表达式； (2)若抛物线K与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．求A、B、C三点的坐标，并求的面积； (3)将抛物线K向左或向右平移，得到抛物线，且与x轴相交于、两点（点在点的左侧），并与y轴相交于点，要使和的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式． 【答案】(1) (2)，，，15 (3)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据对称轴公式得出，把代入得出，然后解方程组即可； （2）分别令、，求出x、y的值即可得出点A、B、C的坐标，利用三角形面积公式即可得得面积； （3）根据平移得性质可得，由和的面积相等可得，可得，设抛物线的解析式为或，，，当m、n为方程及方程的两个根时，根据一元二次方程根与系数的关系求出b值即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线K：关于直线对称，且经过点， ∴， 解得， ∴ （2）解：当时，， 解得：，， ∴点，点． ∴， 当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线向左或向右平移，得到抛物线， ∴， ∵和的面积相等， ∴，即或， 设抛物线的解析式为或，，， 当，为方程的两根时， 即，． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴抛物线的解析式为（舍去）或； 当，为方程的两根时， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴抛物线的解析式为或． 综上所述，抛物线的解析式为或或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上点的坐标特征、平移及一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答． 【变式2-3】．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)点的坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）先求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．设点，则点，由，结二次函数的性质求解即可； （3）先求得点D坐标，连接，则轴．过点做交轴于点．根据等底等高的三角形面积相等得到，进而求得点N坐标和直线的解析式为．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线 抛物线过点 设二次函数的解析式为， 把代入，得：． 二次函数的解析式为； （2）解：设的解析式为，把点代入，得． 的解析式为． 如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点． 设点， 则点 ， ∵， 面积的最大值为12． （3）解：点的横坐标为， ，直线的解析式为． 连接，则轴．过点做交轴于点．则 ． ， ，则点的坐标为， ，直线的解析式为， 直线的解析式为． 点为抛物线与直线的在第二象限内的交点， 解方程组，解得或（舍去） 点的坐标为． 题型三、等腰三角形存在性（两圆一线模型） 【典例7】．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0＜x1＜x2．过点A的直线l与x轴交于点C，与抛物线交于点B（异于点A），满足△CAN是等腰直角三角形，且S△BMN＝S△AMN．求该抛物线的解析式_____________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】由点及是等腰直角三角形，可知，，由、两点坐标可求直线，由，可知点纵坐标为，代入直线解析式可求点横坐标，将、、三点坐标代入中，可求抛物线解析式． 【详解】解：如图， 由抛物线经过，，，，， 其中， 可知抛物线开口向上，与轴两交点在正半轴， 点，是等腰直角三角形， ，， 设直线解析式为， 将、两点坐标代入，得，解得， 直线解析式为， ，两三角形同底，的高为1， 的高为，即点纵坐标为，把代入中，得， 即，， 把、、三点坐标代入中，得 ， 解得， 所以，抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是根据已知条件判断抛物线开口方向及大致位置，根据特殊三角形求直线解析式，根据面积法求点坐标，运用待定系数法求抛物线解析式． 【典例8】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、等边三角形的性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）抛物线顶点，与轴交于，，则，由于是等边三角形，顶点到轴距离为，顶点纵坐标绝对值为高，可得，代入，化简得，解得； （2）顶点在第三象限，需满足横坐标，即，纵坐标，当时，顶点横坐标，纵坐标，符合第三象限． 【详解】（1）解：由题意，，　 ∴， 抛物线顶点为， 设， ∵， ∵为等边三角形， ∴ 即 ∵， ∴， ∵，　 ∴， ． （2）解：或， ∵抛物线顶点在第三象限, ∴, 即, 故舍去, 将代入得， ∵抛物线顶点在第三象限， ∴顶点坐标为． 【典例9】．按照要求解答： (1)【建立模型】如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C、B、D，．求证：； (2)【类比迁移】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到，直线交x轴于点D． ①求点C的坐标； ②求直线的解析式； (3)【拓展延伸】如图3，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得三角形是以为腰的等腰三角形，若存在，写出点M的横坐标． 【答案】(1) 证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2)①；②； (3)2或或 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据同角的余角相等，得出，再利用“”证明全等即可； （2）①过点作轴于点，求出、两点的坐标，由旋转的性质可知，，，同（1）理可证，，从而得出，，即可得解；②利用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的性质求出，设，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点作轴于点， 令，则； 令，则，解得； ，， ，， 由旋转的性质可知，，， 同（1）可证，， ，， ， 点C的坐标为； ②设直线的解析式为， 将点、代入，得， 解得， 直线的解析式为； （3）解：令，则， 解得：，， ，， ， ， 设， ，， 分两种情况讨论： ①当时，如图， ， ， 整理得：， ， ， ， ， ， 或或， 解得：或（舍去）或或； 点M的横坐标为2或； ②当时，如图， ， ， 整理得：， 解得：或 点M的横坐标为； 综上，点M的横坐标为2或或． 题型模版 解题操作：用距离平方相等列方程求解，带回抛物线解析式求坐标，严格舍去区间外、图像外的无效解。 【变式3-1】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为__________； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为__________． 【答案】 或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识． （1）二次函数的图象经过点，得到，即可得到； （2）求出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，得到，，，分三种情况进行讨论即可进行解答． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为： （2）当时，， ∵， ∴， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴，，， 则， 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 综上可知，a的值为或． 故答案为：或． 【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，连接，线段的垂直平分线分别交、、轴于点、、，连接、． (1)当点不在原点处时，求证：四边形为菱形； (2)设点坐标为，点在轴上运动时： ①求出与之间的函数关系式； ②在点运动的过程中，是否存在是等边三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：垂直平分， ，， ， 由题知，， ， ， 由可得，， 又， ， ， ， 四边形为菱形． (2)①；②存在，点M的坐标为或． 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了平面直角坐标系下抛物线与几何综合，涉及线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，求函数关系式， 等边三角形的判定等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）利用线段垂直平分线的性质，推出，，，再根据题中条件证明 ，可得，从而，所以四边形为菱形． （2）①先确定点M，B，A的坐标，再由转化为对应的表达式，整理可得结果； ②若要使得是等边三角形，只需，转化为对应的表达式，求出n的值，进一步可求得点M的坐标． 【详解】（1）略 （2）①解：由题知，，，， 由（1）知，当点不在原点处时，四边形为菱形， ，即， 两边平方整理得，， 当点在原点处时，易求得，， 当时，， 综上可知，与之间的函数关系式为． ②解：存在，点M的坐标为或．理由如下： 当点在原点处时，不存在，故点不在原点处， 由（1）知四边形为菱形， 可得，故， 若要使得是等边三角形，只需， 即， 两边平方整理得，， 解得，， 当时，点M，B重合，不符合题意， ． 由，解得， 点M的坐标为或． 【变式3-3】．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 题型四、直角三角形存在性（三顶点分类模型） 【典例10】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 题型模版 三点轮流作为直角顶点，固定3种分类，全覆盖无遗漏，初中阶段禁用斜率，全程勾股定理求解： 1. ∠A=90°：AB²+AC²=BC² 2. ∠B=90°：BA²+BC²=AC² 3. ∠C=90°：CA²+CB²=AB² 复杂题型可搭配一线三垂直相似辅助求解，规避超纲知识点，保证答题合规。 【变式4-1】．如图，抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线下方的抛物线上有一点动点M（不与点B、C重合）： ①若点M是抛物线的顶点，判断是否为直角三角形，并说明理由； ②求出面积的最大值及此时的点的坐标． 【答案】(1) (2) ①为直角三角形，理由如下： ∵的顶点，点M是抛物线的顶点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； ②面积的最大值，此时 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到求二次函数解析式，二次函数与直角三角形，二次函数与面积综合； （1）把代入计算即可； （2）①设直线下方的抛物线上有一点动点，过作轴于，先求出，当点M是抛物线的顶点，，此时，得到，再结合，得到，即可得到为直角三角形； ②由结合得到，当时，最大，此时． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：令，解得， ∴，， ∴， 设直线下方的抛物线上有一点动点， 过作轴于， ① 略 ②∵在直线下方， ∴，， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， ∴． 【变式4-2】．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据，求出的长，进而得到A，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标； （3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把A，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把A，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值， 当时，的最大值为9． ∴，， ∴点，点； （3）存在 ①当时，点的纵坐标为3， 即， 解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即， 解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 【变式4-3】．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 题型五、平行四边形存在性（含矩形、菱形、正方形） 【典例11】．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在；或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、证明四边形是菱形、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令，，即可求出三点的坐标； （2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：对于来说， 当时 ，； 故点， 当时，有， 解得：， ∴，； （2）解：存在： 设直线的表达式为：； 将，代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【典例12】．如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)存在，点的坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可知，过点M作y轴的平行线，交于点N，由题意易得直线的解析式为，设，则，然后根据铅垂法可进行求解； （3）由题意可分当为对角线时，当或为对角线时，然后根据中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则令时，， ∴， 过点M作y轴的平行线，交于点N，如图所示： 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时； （3）解：存在，理由如下： 由题意可知：，设点， 当为对角线时，由中点坐标公式可得： ， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：或， ∴点D的坐标为或或； 综上所述：当以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【典例13】．在平面直角坐标系中，对于点和二次函数，定义点P关于该二次函数的“伴随点”为点，已知二次函数． (1)求点关于该函数的伴随点的坐标； (2)若点关于该函数的伴随点恰好落在x轴上，求t的值； (3)点M是二次函数图象上的一个动点，点N是点M关于该函数的伴随点．以线段为边向右作正方形，当正方形与抛物线有且只有三个公共点时，求点M的坐标或取值范围．（请直接写出结果） 【答案】(1) (2)， (3)， 【知识点】点坐标规律探索、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数图像的性质，新定义点即几何图形与二次函数图像综合问题，解题的关键是理解新定义及数形结合思想． （1）根据“伴随点”的定义直接求解； （2）根据“伴随点”的定义得到，再结合题意求解即可； （3）设，根据“伴随点”的定义得到，以线段为边向右作正方形，再数形结合分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数，则， 点关于该函数的伴随点，即； （2）解：点关于该函数的伴随点， 又点恰好落在x轴上， ， 解得，； （3）解：点M是二次函数图象上，可设， ， 令，，解得或， 二次函数与轴交于两点，则，， 当时，以线段为边向右作正方形，， 则， 又与二次函数有且只有三个公共点， 当在处时，正方形与二次函数有三个公共点, 即，解得或（舍去）； 当时， ， 又与二次函数有且只有三个公共点， 边与二次函数必有一个公共点，设为,边或有一个公共点， 由对称性知， ，即， 令，解得， 则的图像如下： 的解为， 又，则； 当时，重合，不符合题意； 当且时， 如图，正方形与抛物线至多有2个公共点，不符合题意； 综上，，． 题型模版 核心分类：已知两个定点、两个动点，或一定三动点，固定两定点后，分三种对角线组合讨论，区分“两点为边”和“两点为对角线”两种情况，杜绝漏解。 【变式5-1】．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是上方抛物线上的一个动点，其横坐标为．连接，，． (1)求直线的解析式． (2)当的面积等于时，求的值． (3)在（2）的条件下，若是轴上一动点，是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线解析式求得的坐标；用待定系数法求解，将点的坐标代入即可． （2）先求出点坐标，再根据抛物线解析式设点的坐标，过点作轴的平行线，根据三角形面积求解． （3）根据边作为平行四边形的边时，分别画出图形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 当时，，当时，， 解得： 设直线的解析式为， 解得： 直线的解析式为； （2）过点作轴的平行线交于点，如图所示： 设点的坐标为，则 的面积等于时， 即 解得：， （3）存在，理由如下： 由（2）可得，则，则轴， 当是平行四边形的一条边时 如图所示： 、分别有三个点 设点 点的纵坐标为绝对值为 即 解得：（舍去），或，或 故点、、的横坐标分别为：，， ， 点的坐标为：或或； 即点的坐标为：或或； 综上所述，存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质，与二次函数图像相结合的三角形面积的计算等，解题的关键是各知识点的综合应用． 【变式5-2】．如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点P作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标： (3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的周长有最大值，为 (3)点的坐标为：或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意求出点坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先判断为等腰直角三角形，得，确定当取最大值时，的周长取最大值，求得直线的解析式为，设，，计算得出，根据二次函数的性质可得结论； （3）先求出平移后抛物线的表达式以及点D的坐标，分3种情况讨论为等腰三角形，求出点的坐标． 【详解】（1），， ，， ， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 把代入得，， ； （2）解：， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当取最大值时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得，， 直线的解析式为， 设，， ， 当时，有最大值，为，此时，， 当时，的周长有最大值，为； （3）解：的图象向左平移2个单位， 联立方程得，， 解得，， ， ， 又， 设 以点，，，为顶点的四边形为菱形， 为等腰三角形， ， ， ， 当时， ，即：， 解得：， ； ②当时， ，即：， 解得：， 或； ③当时，，即：， 或（舍去）， 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质与一次函数、四边形、相似三角形的综合应用，解题的关键是结合图形画出适当的辅助线，找到相等关系列出相应的表达式或方程，求出所求的结果． 【变式5-3】．如图，抛物线与x轴的正半轴交于点、与轴交于点．点在该抛物线上运动，设点的横坐标为，过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． (1)求点和点的坐标． (2)当点与点重合时，求的值． (3)当矩形为正方形时，直接写出的值． (4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2) (3)；；； (4)或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要涉及抛物线的性质，点的坐标计算，正方形的性质以及函数的增减性，合理分类讨论矩形的变化情况是解题的关键． （1）把和分别代入运算求解即可； （2）利用二次函数式子表达出，从而得到，令和的纵坐标相等列式运算即可； （3）分类讨论矩形的变化情况，再令一组邻边相等，列式运算即可； （4）分类讨论矩形的变化情况，分析求解即可． 【详解】（1）解：把代入可得：， ∴， 解得：，， ∴； 把代入可得：， ∴； （2）解：∵的横坐标为， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵， ∴当重合时，则， 解得：； （3）解：当有一组邻边相等时，矩形为正方形，由（2）可得：当时重合； ①当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ②当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ③当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ④当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； 综上，的值为：；；；； （4）①解：当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ②当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内没有图像，不符合题意； ③当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ④当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值既有随增大而减小，又有随增大而增大，不符合题意； 综上，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，的取值范围为：或． 题型六、角度综合问题（等角、45°角、二倍角） 【典例14】．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、角度问题(二次函数综合) 【分析】先求出B、C的坐标得到，则，从而得到，设与x轴的交点为N，求出，进而求出直线的解析式为，由此联立两函数解析式即可求出答案． 【详解】解：在，当时，，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 设与x轴的交点为N， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确求出点N的坐标是解题的关键． 【典例15】．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G，根据条件得到是等腰直角三角形，则，设，则，再列方程解题即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得（舍去）或， ∴当时，， ∴． 【典例16】．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解； （）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解； （）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，设直线交轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得或， ∵点是直线上方的抛物线上一动点， ∴． 题型模版 1.解题核心：二次函数相似问题必存在一组公共角/已知等角，以此为固定对应角，剩余两组角分两种对应情况分类讨论，列出比例式分别求解。 2.致命易错：相似顶点不固定，必须分情况列式，不可直接默认对应顶点，否则直接丢分。 【变式6-1】．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于D，E两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若P是抛物线上的点且在直线l的上方，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及该面积的最大值； (3)若Q是抛物线上的点，连接，且，请求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，该面积的最大值为 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、等边对等角、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据，，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于，利用二次函数的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，证出，，则可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得一个点的坐标；然后延长至点，使得，连接，先求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得另一个点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得， 所以抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意，设点的坐标为， 如图，过点作轴，交直线于点，则， ∴， 联立，解得或， ∴，， ∴，的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为，该面积的最大值为． （3）解：将代入得：， 解得或， ∴， ∴， 如图，过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴直线与抛物线的另一个交点是满足条件的点， 联立，解得（即为点）或， ∴此时点的坐标为； 如图，延长至点，使得，连接， ∴，点是的中点， ∴，， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴直线与抛物线的另一个交点也是满足条件的点， 联立，解得（即为点）或， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【变式6-2】．如图1，抛物线与直线交于两点，． (1)求抛物线与直线的函数表达式； (2)将直线沿着轴向上平移个单位，与轴、轴分别交于点，．直线对应的函数表达式记作．若有且仅有唯一的的值，使得，求的值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)4 (3)存在， 【知识点】一次函数图象平移问题、待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将直线沿着轴向上平移个单位，得到，直线对应的函数表达式记作．故，根据有且仅有唯一的的值，使得，得到方程有相等的实数根，利用判别式等于零解答即可； （3）作线段的垂直平分线交于点E，交y轴于点P，连接，则，，，设直线的表达式为，得到表达式为：．在直线上截取，设，确定或；当时，过点F作轴于点N，过点A作轴于点Q，则，解答即可． 本题考查了待定系数法，函数的平移，二次函数的其他综合，熟练掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于两点，， 故，， 故， 故 解得， 故抛物线的表达式为； 故，， 故， 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． （2）解：根据题意，将直线沿着轴向上平移个单位，得到， 又直线对应的函数表达式记作． 故， 又有且仅有唯一的的值，使得， 故方程有两个相等的实数根， 故的判别式等于零， 故， 解得． （3）解：根据题意，得，直线的表达式为：． 设直线与y轴交于点G，交x轴于点H，交x轴于点M， 则，，， ∴， ∴， ∴作线段的垂直平分线交于点E，交y轴于点P，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将，分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 在直线上截取， 设， ∴， 整理，得， 解得或， ∴或； 当时，过点F作轴于点N，过点A作轴于点Q， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故符合题意； 当时，不符合将线段绕点顺时针旋转得到线段，故舍去， 综上所述，存在这样的点F，使得，且． 【变式6-3】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为：或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到答案； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示，数形结合，利用待定系数法确定直线解析式，联立求解即可得到答案； （3）由题意表示出点，点，再由菱形的性质分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、求函数图象的交点方法、勾股定理、菱形性质、二次函数与特殊平行四边形综合等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，直线解析式为 (2) (3)存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)求抛物线顶点的坐标以及直线的函数表达式． (3)是第一象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，求当最大时，点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线顶点的坐标为，直线的函数表达式为 (3) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，线段最值问题，解题的关键是正确求出表达式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线配方成顶点式即可求出顶点坐标；利用待定系数法求出直线的函数表达式； （3）设，则，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵ ∴抛物线顶点的坐标为； ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 设直线的函数表达式为 将，代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为； （3）解：设，则 ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，有最大值 将代入得，． 3．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标； (3)如图2，若抛物线的顶点为E，过点E作轴，交于点F，G是抛物线上的一点，过点G作轴，交AC于点H，当时，求出点G的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当时，点G的坐标为或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算、一次函数的性质等，有一定的综合性． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设点P的坐标为，则，用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （3）当四边形是平行四边形，此时，利用待定系数法求得直线的解析式，联立两解析式可求得点G的坐标；再抛物线的对称性，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，与y轴交于点， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，得， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点P的坐标为，则， ∴， ∴． ∵， 故四边形的面积有最大值， 当四边形的面积最大时，． ∴； （3）解：对于， ∴抛物线的顶点E的坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∵轴， 当时，四边形是平行四边形，此时， ∴设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点G的坐标为， 由抛物线的对称性， 当点关于对称轴直线的对称点时，也符合题意， 如图，设交直线于点，则，存在， ∵， ∴， ∴， ∴当时，点G的坐标为或． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或 【分析】（1）将A的坐标，点C的坐标代入，即可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴于D，交于Q，过P作于H，由可得，故，是等腰直角三角形，可证明是等腰直角三角形，即知，当最大时，最大，待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故当时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，，而，，分三种情况：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，分别根据中点坐标公式列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示： 在中，令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设，，而，， ①以、为对角线，则、的中点重合，如图： ∴， 解得：， ∴； ②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示： ∴， 解得， ∴； ③以、为对角线，则、中点重合，如图所示： ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为：或或． 5．在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象交于点和． (1)当时，求反比例函数的解析式； (2)要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，求应满足的条件以及的值的范围； (3)设二次函数的图象的顶点为，当是以为斜边的直角三角形时，求的值．（参考：两点间距离公式） 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】（1）将代入得，设反比例函数为，代入点坐标求； （2）当时 在每一象限内随增大而增大；将二次函数配方得顶点式，确定对称轴，结合确 定的范围； （3）先求出顶点，利用关于原点对称得原点平分，由直角三角形斜边中线性质得，利用两点间距离公式列方程求解． 【详解】（1）解：当时，， 点在反比例函数图象上， 设反比例函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：同理（1）可得，反比例函数的解析式为； 要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大， 对于反比例函数，需(此时在每一象限内随增大而增大)， 二次函数， 对称轴为直线， 当时，二次函数开口向下，在对称轴左侧随增大而增大， 即时，随增大而增大， 综上所述，且； （3）解：由(2)可得：， 是以为斜边的直角三角形，且与关于原点对称， 原点平分， (直角三角形斜边中线等于斜边的一半)， ， ， ， ， 解得，． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）交x轴于点A，B，交y轴于点，点A坐标为，点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动点，且点E的横坐标为t． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若E在的上方，当时，求点E的坐标； (3)如图2，设的面积为S，点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式； ②以点E为对称中心，构造正方形，且在y轴上（点M在点N的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）将已知的点和点的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出和的值，即可确定抛物线的解析式； （2）延长交x轴于F，利用推导出，进而得到确定点的坐标，再求出直线的解析式，将直线解析式与抛物线解析式联立，解方程组并舍去不符合条件的解，得到点的坐标； （3）①求出直线的解析式，过点作轴的平行线交直线于点，用含的代数式表示出点和点的坐标，进而得到线段的长度，再结合三角形面积公式，推导出与的函数关系式； ②根据正方形的对称中心性质确定顶点坐标，再分情况讨论正方形与抛物线的交点个数，找到交点个数为3个时的临界状态，确定对应的的范围，结合的取值范围和二次函数函数的性质，最终转化为的取值范围． 【详解】（1）解：将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：． ∴该抛物线的解析式是； （2）解：延长交x轴于F． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线解析式为． 联立抛物线得， 解得：（舍），， ∴点E的坐标为； （3）解：①过E作轴交直线于H． ∵，， ∴直线的解析式为， ∴，， ， ． 即 ②由题可得，，， ⅰ）当边经过点， 正方形与抛物线有3个交点， ， 解得：或， ∵， ∴， ⅱ）当时，正方形与抛物线有2个交点； ⅲ）当点N与点C重合时，正方形与抛物线有3个交点， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ⅳ）当时正方形与抛物线有2个交点． ⅴ）当时正方形与抛物线有4个交点 综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，或． ∵， 当或，随的增大而增大 ∴或． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的判定与性质，二次函数的图像和性质，图形面积的计算方法，正方形的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 7．（2025·安徽宿州·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接． (1)求a，b的值． (2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值． 【答案】(1)， (2)存在．点， (3)的周长的最大值为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积综合题、二次函数的周长线段综合题，数形结合是解题的关键． （1）把点，分别代入函数解析式得到方程组，解方程组即可； （2）设点，根据题意得到，解一元二次方程即可得到答案； （3）求直线的解析式为．设点，则点，得到，，则的周长．根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，， ∴ 解得 （2）存在．由（1），得，， ∴二次函数的解析式为． 令，得， 解得，． ∵二次函数的图象与x轴交于点A，B， ∴点，， ∴． 设点， ∴， ∴， 解得，， ∴点，． （3）令，得， ∴点， 设直线AC的解析式为 解得 ∴直线的解析式为． 设点，则点， ∴． ∵点， ∴． ∵， ∴． ∵轴， ∴∥轴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∵ ∴当时，的周长有最大值，最大值为， ∴的周长的最大值为． 8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，与直线：交于A、D两点，其中，． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，P为直线上方抛物线上的一点，过P作轴交直线于Q点，、是轴上的两个动点，在上方，且．当线段长度取得最大值时，求的最小值 (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点D平移后的对应点为点F，连接，在新抛物线上确定一点R，直线与x轴交于点Q，当时，直接写出所有符合条件的点R的坐标，并写出其中一种情况的求解过程 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数的性质求出，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质求出，设，则，则，则当时，线段长度取得最大值，此时；作点关于轴的对称点，将点向上平移2个单位长度得到点，连接、、，根据轴对称和平移的性质得到，，，，利用勾股定理求出，通过证明四边形是平行四边形，得到，再利用线段之间的转化以及两点之间线段最短的性质即可求出的最小值； （3）设直线交轴于点，利用一次函数的性质求出，进而得到，则有，再分2种情况讨论：①点在点的左侧；②点在点的右侧；再利用一次函数和等腰三角形的性质求出对应的直线的解析式，再联立抛物线和直线的解析式，即可求出点R的坐标． 【详解】（1）解：代入到，得， ∴， 代入和到，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，线段长度取得最大值，此时； 如图1，作点关于轴的对称点，将点向上平移2个单位长度得到点，连接、、， 则，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设直线交轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由（1）得，， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到新抛物线， ∴， ∵点D平移后的对应点为点F，， ∴； ①当点在点的左侧，记此时点为， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当，则， 解得， ∴， 联立， 解得或， ∴点R的坐标为； ②当点在点的右侧，记此时点为，作轴于点， 则， 由①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点R的坐标为； 综上，点R的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的最值问题、平行四边形的性质与判定、轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题、一次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题的关键．本题是函数综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，综合要求较高，适合有能力解决几何难题的学生. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $