专题特训8 相似三角形与其他知识综合&综合与实践2 测量旗杆的高度-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 专题特训)八相似三角形与其他知识综合 类型一相似三角形与全等三角形综合 1.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，对角线BD平分∠ADC,E,F是边AD上的 动点（点E在点F的左侧）： (1)若BE⊥BC,求证：△ABE≌△DBC. (2)若∠EBF=45°，求证：AB2=AF·DE (3)在(2)的条件下，若AE=6,DF=4,求EF的长. (第1题) 类型二相似三角形与四边形综合 2.[2026毫州利辛期末]如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,动点E 在线段OD上移动（不与端点重合），连接CE,作CE⊥EF,交AB于点F,交AC于点G,连接 CF交BD于点H. (1)求证：CE=EF. (2)求证：CF2=CG·CA (3)当点E在线段OD上移动（不与端点重合）时，BE·DH的值是否发生变化？若不变，求出 BE·DH的值；若变化，请说明理由. G H B (第2题) 66 第22章相似形 类型三 相似三角形与反比例函数综合 3.如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(4,3)在其对角线OB 上，函数y=(x>0)的图象经过C,D两点.已知☐OABC的面积是8，求： (1)k的值. (2)线段OC所在直线对应的函数表达式. 0 (第3题) 类型四相似三角形与二次函数综合 4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=一x2+6x十3交y轴于点A,过点A作 AB∥x轴，交抛物线于点B,连接OB.P为抛物线上AB上方的一个点，连接PA,过点P作 PQ⊥AB,垂足为H,交OB于点Q. (1)求AB的长. (2)当∠APQ=∠B时，求点P的坐标 (3)当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，求点P的坐标. /0 (第4题) “答案与解析”见D41 67 拔尖特训· 数学（沪科版）九年级上 综合与实践2测量旗杆的高度 如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位 于法线两侧；入射角i等于反射角r,这就是光的反射定律 (1)如图②，某安全员正在使用平面镜测量一座烟囱DE的高度，地面上从左往右依次是烟囱、木板 和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度AG=1.6,手电筒的光从平面镜上点B处 反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在烟囱的顶端E处，点F到地面的高度CF=2,灯泡到木 板的水平距离AC=2.7m,木板到烟囱的水平距离CD=4.8m,点A,B,C,D在同一条直线上.求 烟囱DE的高度. (2)如图③，为测量某广告牌的高度，小军站在点A处不动，将镜子移动至点F1处，小军恰好通过 镜子看到广告牌顶端D,测出AF1=2.5;再将镜子移动至点F2处，恰好通过镜子看到广告牌的 底端C,测出小军的眼睛离地面的距离AB=1.5m,F,F2=0.5m,AE=15m.求广告牌CD的 高度 法线 入射光线 反射光线 烟囱 6 反射面 地面D CBA 0 平面镜 A FF ① ② ③ 68 >“答案与解析”见D42DF·ZDB=BC.DF·DB=2BC, B (第3题) 4.如图，延长BA,CD交于点F,过点D作DM LAF于点 M.·CE是∠BCD的平分线，∴.∠BCE=∠FCE :CE⊥AB,∴.易得∠B=∠F.∴.CB=CF,则BE EF.,AD∥BC,∴.∠FAD=∠B.∴.∠FAD=∠F. DA-DE.DMLAF,EM-TAF.BE-EF, BE-2AE..AF-AE-7 EF.FM-7AF-FE. DMIAF.CELAB..DM/CE. :S=Sm-SAw=2EF·CE-号AF· DM=2EF·CE-6EF·CE=21,EF·CE=48. .S△x=S△cm= 2EF,CE=24. E (第4题)》 专题特训八相似三角形与其他知识综合 1.(1)∠ADC=90°，BD平分∠ADC,∴.∠ADB= ∠BDC=∠A=45°∴.AB=BD,∠ABD=90°.：BEL1 BC,∴.∠EBC=90°.∴.∠ABD-∠EBD=∠EBC ∠EBD,即∠ABE=∠DBC.在△ABE和△DBC中， ∠ABE=∠DBC, AB=DB, ∴.△ABE≌△DBC(ASA). ∠A=∠BDC, (2)由(1)知，△ABD是等腰直角三角形，.∠A= ∠BDE=45°，AB=BD.∴.∠EBD=∠EBF+∠DBF= DBF=∠EFB,AAFB∽△DBE. E.六AB·DB=AF·DE,即AB2=AF·DE (3)设EF=x,则AD=x+10,AF=x+6,DE=x十4. D △ABD是等腰直角三角形，∴.易得AD=√2AB.由(2) 1 知，AB=AF·DE,.2(x+10)2=(x+6)(x+4),解 得x=2√13（负值舍去）.∴.EF=2√13. 2.(1)如图，连接AE.:四边形ABCD是正方形， .AB=CB,∠ABE=∠CBE=45°，∠ABC=90°.又 :BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS).∴.EA=EC, ∠EAB=∠ECB.:CE⊥EF,∴.∠CEF=90° ∴.∠ECB+∠EFB=360°-∠ABC-∠CEF=180° :∠EFA+∠EFB=180°，∴.∠EFA=∠ECB= ∠EAB.∴.EF=EA.∴.CE=EF.(2)EF=EC, ∠FEC=90°，∴.∠EFC=∠ECF=45°.：四边形ABCD 是正方形，.∠FAC=45°=∠EFC.又∠FCG= ∠AcF,△CGMACF.器.Cr-G· CA.(3)BE·DH的值不发生变化.由正方形的性质和 (2)可知，∠ECH=∠CDB=∠DBC=45°，又 :∠EC=∠CHD△CHna(DH.∴S開-器 畏-20：∠BCH=∠DBC∠CEH=∠BBC, &△OH∽△RC&畏-s畏-器 器-器4DH·BE=C·CD=LE·DH 的值不发生变化，且为1. G 0 H (第2题) 3.(1):点D(4,3)在函数y=(x>0)的图象上， x ∴.k=3×4=12.(2)如图，过点C作CG⊥y轴于点G, 过点D作DE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F, 则DEBF,四边形BGOF为矩形，∴.BF=OG,∠BGO= ∠FBG=∠GOF=90°.，四边形OABC是平行四边形， ∴.CO=AB.∴.Rt△OCG≌Rt△BAF(HL).∴.AF=CG. 设C(,),则BF-是，AF=CG=.:DE/BF. △0E0△0BF.器8票：D4.DE=3 0E-40F-90n-0F-AF-9-x 41 :LOABC的面积是8Saw=4,即号×(9-t)× 2-4,解得，=4国 2 =-4压.x>0,.x 5 压C(但正，压)小设线段0C所在直线对应的 5 函数表达式为)=将c(正.压)代人，得压 mx4 5 三，解得m=号.线段OC所在直线对应的函 5 数表达式为y=4x y个 0 EA F (第3题) 4.(1)对于y=-x2+6.x+3,令x=0,则y=3,.A(0, 3.∴.OA=3.令y=一x2+6x十3=3，解得x=0或x= 6.∴.B(6,3),.AB=6.(2)设P(m,-m2+6m+3) (0<m<6).:∠APQ=∠B,∠AHP=∠OAB=90°， △HPA△A0裙-8识m=号 6 3’ 解得m=4或m=0(舍去).∴.点P的坐标为(4,11). (3)当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍 时，则易得2(0+HQ)=PH:H0/0A,8 那即-6g0-62”26+2） 3 一m2+6m,解得m1=4,m2=3.∴.点P的坐标为(4,11) 或(3,12). 综合与实践2测量旗杆的高度 (1)如图，过点B作OB⊥DA于点B.由题意可知， ∠OBC=∠OBA=90°，∠GBO=∠FBO,.∴.∠GBA= ∠FBC.又.∠FCB=∠GAB=90°，，'.△BAGO△BCF “架2设BM=xm则BC=27-m:AG 1.6m,CF=2m,6-,产，解得=1,2.AB 22.7-x 1.2 m,BC=1.5 m..'CD=4.8 m,.'BD=BC+CD= 1.5+4.8=6.3(m).∠GAB=∠EDB=90°，∠GBA= .1.21.6 EBD△BAG△BDE.·盼-e·a3E .DE=8.4m,即烟囱DE的高度为8.4m.(2)由题意 可知，∠BF1A=∠DF1E,∠BF,A=∠CF,E ∠BAE=∠DEA=90°，.△BAF,D△DEF1, AFBA AF:_BA.AF,= △BAF,O△CEF.EF,-DE·EF,CE 2.5m,AE=15m,F1F2=0.5m,∴.F1E=AE-AF1= 15-2.5=12.5(m),AF2=AF,+F,F2=2.5+0.5= 3(m),则F,E=AE-AF,=15-3=12(m.72.5 2.5 泥是-是DE=.5m,CE=6mcD=DE CE=7.5-6=1.5(m).∴.广告牌CD的高度为1.5m. E 烟肉木板 地面D CBA 平面镜 第22章拔尖自主测评 1A由号=子可设x=0=4,则-3X3- y y 4 故A正确不-定等于故B结误号牙 y+34x+3 不一定等于号，故C错误，-±-7，故D错误 x一y3z-4x 2A已知把，自两条边的夹角不-定相等…：不 能判定△MDEn△MCB,故A符合题意由是-焉 花可判定△ADE∽△ACB,故B不符合题意.由 ∠ADE=∠C,∠A=∠A可判定△ADEP△ACB,故C 不符合题意由C-怎∠A=∠A可判定△ADE △ACB,故D不符合题意. 3.B AG=1,GD=2,DF=3,..AD=AG+GD=3, GF-GD+DF=5.AF=AG+GD+DF-6.AB//CD, 用瓷部之故A不符台题意由ABE,用器 铝-日日故B符合题意由二-日设G-6,则 .BG_AC- GC=2k,BC=BC+GC=3k.由AB/EF,得G-G示 日得GE-,则BE=G+CE=,因此绕-装 合·故C不符台题意架日放D不符台题章 42