第21章 二次函数与反比例函数高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

附：答案与解析 第21章二次函数与反比例函数 [高频考点突破 ①B当0≤t≤3时，如图①所示，设AB交EF于点H, 则号×(3-0×B阴+号×(BH+0X1=号×3X4, 2 B阴1-号8-cm4s=号x3x4-3×(8-t)× 3-)=6-号（3-识.当3<1≤5时，如图②所示此 4 时5=2×3×4=6当5<1≤8时，如图③所示，同理可 得，S=2×8-0× 4 3(8一)三号(8一t).结合选项申 的图象可知，B符合题意， AE 0 ED F BG B F GC ① ② D E B F C G ③ (第1题) 2A①由图象可知，a>0,c<0.对称轴为直线x= 1=26=-2a<0akc>0.故①错误.②：抛物 b 线与x轴有两个交点，∴.b2-4ac>0.∴.b2>4ac.故②正 确.③当x=2时，y=4a+2b+c=4a+2(-2a)+c=c< 0.故③错误.④当x=-1时，y=a-b十c=a一(-2a)+ c=3a十c>0.故④正确.⑤当x=1时，y=a十b十c为最 小值，当x=m时，y=am2+b+c,∴.am2十bm+c≥ a十b十c,整理得a十b≤m(am+b)(m为任意实数).故⑤ 正确.综上所述，正确的有②④⑤，共3个 3(1)设y1与x之间的函数表达式为y1=kx十b,将(3， 3k+b=12, k=2, 12),(4,14)代入，得 解得 y1与x之 4k+b=14, b=6.1 间的函数表达式为y1=2x十6.(2)由题意，得抛物线的 顶点坐标为(3,9)，.设y2与x之间的函数表达式为 y2=a(x-3)2+9,将(5,10)代人，得(5-3)a+9=10,解 得a= =1x-3)2+9= 1 23 45 4 2x+ 41 (3③)由题意，得w--为=2x十6-子x+号 x- 45 4 一子女+号一孕：-子<00有最大值 1 7 4 7 ∴当x= 2 1 2x(-) =7时，议最大价=一 7一斗=1“7月踏售每千克猪肉所获得的利润最大，最 大利润是每千克7元 0(0):抛物线=宁r+b征十c经过点A(-2,0,与 直线BC:y=kx一4交x轴于点B,交y轴于点C,在y= kx-4中，令x=0,得y=-4,∴.C(0,-4).把A(-2, 1 2-2b+c=0, 0),C(0,-4)代人y=2x2+a+c,得 解 c=-4, 得 c=-4. 艳物线对应的两数表达式为y=- b=-1, x一4.(2)：抛物线y= 2x2一x一4的对称轴为直线 x一1 2x =1,∴.点A关于对称轴直线x=1对称的.点 B的坐标为(4,0).把B(4,0)代人y=k.x一4，得0=4k一 4,解得k=1.∴.直线BC对应的函数表达式为y=x一4. :抛物线的对称轴为直线x=1,点A与点B关于对称轴 直线x=1对称，.PA+PC=PB十PC≥BC.当B,P,C 三点共线时，PA十PC的值最小，此时P为直线BC与直 线x=1的交点.：直线BC:y=x-4,当x=1时，y=1一 4=一3，∴.点P的坐标为(1，一3).(3)如图，过点F作 FH⊥x轴于点H,交BC于点G.设F（m, m-m-4)(O<m<AG(m.m-.i.GF-m- 4-(分m-m-)=-m2+2mSas=Sae十 SA=GF·OH+GF·BH=2GF·OB- 2(-m2+2m)×4=-m2+4m.:-1<0.当 m=一2X《-D一2时，SAm最大，为4，此时2m2-m- 4=一4.∴.F(2,一4).∴当△BCF的面积最大时，点F的 25 数学（沪科版）九年级上 坐标为(2，一4)，△BCF面积的最大值为4. (第4题) ⑤(1)点A的坐标是（一1,0），∴.OA=1.:以原点为 中心，把点A顺时针旋转90°，得到点A',.∠AOA'= 90°，OA'=OA=1,此时点A'在y轴的正半轴上.∴.点A' 的坐标为(0,1).y=ax2一4ax(a<0),.该抛物线的 对称轴为直线x=-2是-2、（2②)：物线y-a2 4ax(a<0),其对称轴为直线x=2,∴.当x>2时，y随x 的增大而减小.3≤x≤5，∴.当x=3时，y有最大值，最 大值为3a-4×3a=-3a=1-2a.∴.a=-1.∴.y= 一x2+4x.(3)存在.y=一x2+4x,.当x=2时， y=-22+4×2=4.∴.P(2,4).设M(0,m),N(s,t).由 (1)知，A'(0,1).当以A',P,M,N为顶点的四边形是矩形 时，分三种情况讨论：①当A'P为对角线时，△A'MP是 以M为直角顶点的直角三角形，PN∥A'M,A'M⊥PM, .PM⊥y轴，PN⊥x轴.∴.M(0,4),N(2,1).②当以 s=一2， AM为对角线时， 0+0=2+5,: 1+m=4+t,”m=t+3. .M(0 t+3),N(-2,t).:A'M=PN,.(t+3-1)2=(2+ 2+(4-P解得1=子N(-2,号).国当以PM 为对角线时，要满足以A',P,M,N为顶点的四边形是矩 形，则需要满足△A'PM是以A'为直角顶点的直角三角 形，即PA'⊥y轴，与题意不符，故此种情况不存在.综上所 述，点N的坐标为21)或(-2，号)】 [综合素养提升 ①A如图，连接OP2,OP3,OP.由条件可知，A,P1, A2P2,AP3,AP:都垂直于x轴，S△A,P,0= S0=SaA0=Sao=会：0A,=A,A AA:=AAS:=25S,=号5S=s.以此 类推Ss65,点26解得6-2 1 y个 P Ps P.Ps OA:A2 A3 A.As x (第1题) 26 ②D,抛物线开口向上，∴.a>0.:抛物线的对称轴为 直线x=-1,即一 =-1,∴.b=2a>0.:抛物线与 y轴的交点在x轴下方，∴.c<0..abc<0.∴.①错误. 抛物线与x轴有2个交点，∴.△=b2-4ac>0.∴.②正 确.当x=1时，y>0,.a+b+c>0.b=2a, .3a十c>0.:a>0,∴.4a+c>0.∴.③正确.当 x=一1时，y有最小值，∴.a一b十cat十bt十c(t为任意 实数)，即a一bt≤at2+b.∴.④正确.：当图象经过点 (侵，2)时，方程ar2+hax+c一2=0的两根为x,红，< xz),.抛物线y=a.x2+bx十c与直线y=2的一个交点 为(2,2.：抛物线的对称轴为直线x=一1“抛物线 y=ax2+bc+e与直线y=2的另一个交点为(-号2)： ,=-号x=十2,=-号+2×号 5 是“⑤错说综上所述，正确的有@00， ③B:'四边形ABCD是矩形，.CD=AB=3cm. ①当0≤t≤3，即点P在线段BC上，点Q在线段CD上 时，y=2t,此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第 一象限的一部分.故C,D不符合题意.②当3<t4,即点 P在线段BC上，点Q在线段DE上时，y=2PC·CD= 2tX3三当t=4时，y=6.故A不符合题意，B符合 题意. ④B当a≠0，d=0时，函数为二次函数y=ax2+bx十 c,其图象的对称轴为直线x=一会而非直线x一一合 a 故A错误.当a≠0，d=0时，函数为二次函数，其图象过点 a+b+c=-6, A(1,-6),B(3,0),. 两式相减，得8a十 (9a+3b+c=0, 2b=6,即b=3一4a.将b=3-4a代入a+b+c=一6，得 c=3a-9,∴.y=x2+(3-4a)x十3a-9.函数图象不 a0, 经过第二象限，. 解得a<0.又对任意的 3a-9≤0， x1,当1<，<<3时y<y2-30≥3，即 2a -(3-4a)a,解得u≥-是.结合a<0,得-昌<a< 0,放B正确”a<一号d=,将6=3-4ac=3a-9代本册知识结构 二次函数的概念 顶点坐标 二次函数 抛物线 对称轴 图象 的图象 平移 和性质 性质 图象与方程、不等式 二次函数 二次 的关系 与一元 函数 利用图象解方程 次方程 不等式 二次函数的应用 几何最值问题、抛物线形问题、 最大利润问题 反比例函数的概念 列表、描点、连线 图象的画法 ,形状：双曲线 在每个象限内，双 反比例 曲线都无限接近 函数的 x轴、y轴，但永远 图象和 不能到达x轴、)y轴 性质 反比例 函数 当k>0时， 在每个象限 内，y随x的 增大而减小小 当k<0时， 在每个象限 性质 内，y随x的 增大而增大 反比例函数的应用 相似的概念 基本性质、合比性质、等比性质 比例 比例的性质 二次 线段 黄金分割 函数 平行线分线段成比例 与反 比例 函数 利用平行线判定、判定定理1、判定定理2 判定定理3、直角三角形相似的判定依据 相似形 相似三角形的判定 相似 三角形 相似三角形对应高的比、 对应中线的比和对应角平 相似 分线的比都等于相似比 三角形 九年级 的性质 相似三角形周长的比等于 上册 相似比、相似三角形面积 的比等于相似比的平方 位似 位似图形的性质 图形 位似图形的画法 位似变换与点的坐标的变化规律 正弦、余弦、正切的概念 解直角 三角形 特殊角的三角函数值、互余角的三角函数 关系、一般锐角的三角函数值 解直角三角形及其应用 解直角三角形、仰俯角问题、 方向角问题、坡度问题 第21章 二次函数与反比例函数 ]高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一} 动点问题的函数图象 ∴.∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°.当0≤ 典例1[2026池州青阳期末]如图①，在菱 x≤1时，如图②，AQ=2.xcm,AP=xcm, 形ABCD中，AB=2cm,∠D=60°，点P,Q 过点P作PE⊥AB于点E,.易得AE= 同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿 2xcm.在Rt△APE中，由勾股定 A-C-D的方向运动，点Q以2cm/s的速度 沿A-B-C-D的方向运动，当其中一点到达 理，得PE=AP-AP=、- 点D时，两点停止运动.设运动时间为x$, △APQ的面积为ycm,则下列图象中，能大 号x(cm.y=3AQ·PE=号×2x× 1 致反映y与x之间的函数关系的是( ) D 号.放D不正确，当1<≤2时，如 √3√ 2 图③，AP=xcm,CQ=(4-2x)cm,过点Q 0 (典例1图①) 作QF⊥AC于点F,.易得CF=2CQ= y/cm ↑y/cm 3 (2一x)cm.在Rt△CQF中，由勾股定理，得 2 QF=/CQ2-CFZ=3(2-x)cm,.'.y= 0 2 3x/s 0 /s B 2ApQF=7X8(2-x)= 3 A ↑y/cm ↑y/cm √x.故B不正确.当2<x≤3时，如图④， CQ=(2x-4)cm,CP =(x-2)cm, 0 22.5x/s 0 PQ=CQ-CP=2x-4-x+2=(x- 分析 2)cm,过点A作AG⊥DC于点G,.易得 思维导图如下（其中PE,QF,AG分别是 在不同情况下所作的垂线)： DG=2AD=1cm.在R1△ADG中，由勾股 0≤x≤1 A0 PE- 定理，得AG=√AD2-DG=3cm,∴.y 等韵 1<x≤2 F2AP·QF= 号 3PQ·AG=3×5-2》- 2x5.故 2<x≤3 yP0·AG号B C不正确，A正确， D 解答：，四边形ABCD为菱形，∴.AB= BC=CD=DA=2cm,∠B=∠D=60°. ∴.△ABC,△ACD都是等边三角形 ② ③ DO G P 4 ④ (典例1图) 小结 解决这类问题一般是对图形运动过程中的 情况进行分类，利用几何图形的性质，求出不同 情形下的函数表达式，再判断出函数图象的 形状 对应练习 1.[2026安庆迎江期末]如图所示为在同一 平面内放置的Rt△EFG和矩形ABCD, EG与AB重合，FG=3cm,AB=4cm, BC=5cm,Rt△EFG以1cm/s的速度 沿BC方向匀速运动，当点F与点C重 合时停止，在运动过程中，Rt△EFG与矩 形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运 动时间t(s)之间的函数关系图象大致是 ( A(E) B(G) (第1题) ↑S/cm 个S/cm2 6 6 0358t/s 0358t/s A B ↑S/cm ↑S/cm 6 035 8 t/s 0358t/s D 考点二二次函数的图象与性质 典例2[2026亳州蒙城期末]二次函数y= 第21章二次函数与反比例函数 a.x2十bx十c(a≠0)的图象如图所示.有下列 结论：①abc<0;②2a十b=0;③a+b≥ am2+bm(m为任意实数)；④(a十c)2 6>0:⑤若点(3y1)和点(2)都在函数 图象上，则y1<y2.其中，正确的有（) x1 (典例2图) A.2个 B.3个C.4个 D.5个 分析 ①由对称轴的位置确定ab的符号，由函 数图象与y轴的交点确定c的符号，进而确定 abc的符号；②由函数图象的对称轴公式确定 a,b的关系，判断出结果；③由函数图象开口向 下，对称轴为直线x=1,知当x=1时，函数取 得最大值a十b十c,则无论m取何值，都有a十 b十c≥am2+bm+c,化简即可；④.：(a十 c)2-b2=(a十b十c)(a-b十c),.只要根据 图象确定当x=1和x=一1时对应的函数值的 符号，即可作出判断；⑤根据两，点距离对称轴 的远近，由图象可知距离对称轴越近的点函数 值越大，可以比较出y1与y2的大小 解答：①由题图知，对称轴在y轴右侧， .ab<0..函数图象与y轴交于正半轴， ∴.c>0..abc<0.故①正确.②函数图 象的对称袖为直线上=会 =1,.2a+ b=0.故②正确.③函数图象开口向下， .当x=1时，函数取得最大值a十b+c, 则a+b+c≥am2+bmm+c,即a+b≥ am2+bm（m为任意实数).故③正确. ④，·函数图象与x轴正半轴交点的横坐标 小于3，∴.函数图象与x轴负半轴交点的横 3 数学（沪科版）九年级上 坐标大于-1，即当x=一1时，y=a-b十 c<0..当x=1时，y=a+b+c>0, .(a+c)2-b2=(a+b+c)(a-b+c)< 0故④错误回：点（得）和点(2)都 2 2 在函数图象上1-3=32-1=11> ∴.y1>y2.故⑤错误.综上所述，正确的有① ②③，共3个 小结 1.a,b,c符号的确定：抛物线开口向上， a>0;抛物线开口向下，a<0;对称轴在y轴左 侧，ab同号；对称轴在y轴右侧，ab异号；对称 轴是y轴，b=0;抛物线与y轴交于正半轴，c> 0;抛物线与y轴交于负半轴，c<0;抛物线与 y轴交于原点，c=0. 2.a士b与am2十bm的大小：根据图象找抛 物线对称轴方程及最值表达式，根据最大（小）值 大于（小于）等于其他函数值比较大小 3.由x=1,一1时函数值的正负，可判断 a+b十c,a-b+c的正负. 对应练习 2.[2026滁州定远期末]对称轴为直线x=1 的抛物线y=a.x2十bx+c(a,b,c为常 数，且a≠0)如图所示.有下列结论： ①abc<0;②b2>4ac;③4a+2b+c> 0;④3a+c>0;⑤a+b≤m(am+b)(m 为任意实数).其中，正确的有 ) (第2题) A.3个B.4个C.5个D.2个 考点三二次函数的应用 典例3某工厂用50天时间生产一款新型节 能产品，每天生产的该产品被某网店以每件 80元的价格全部订购，在生产过程中，由于 技术的不断更新，该产品第x天的生产成本 y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示，第 x天该产品的生产量之（件）与x(天)之间满 足x=-2x+120. (1)第40天，该厂生产该产品的利润是 元 (2)设第x天该厂生产该产品的利润为元， ①求心与x之间的函数表达式，并指出第 几天的利润最大，最大利润是多少元？ ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于 2400元的共有多少天？ ↑y/(元/件) 70 人A B C A0 0 3050x/天 (典例3图) 分析 思维导图如下： (1) 当x=40时，z的值 利润=（每件订购的价格-每件的成本）×生产量 80 当x=40时，y的值 (2) 利润=（每件订购的价格-每件的成本）× 生产量=(80y)·z 分段 求y关于x的 函数 函数表达式 z=-2x+120 ①分段求最大值 ②分段求心≥2400时x的取值范围 解答：(1)1600. (2)①设直线AB对应的函数表达式为y kx+b(k≠0)，把(0,70)(30,40)代入，得 b=70, b=70, 解得 ∴.直线AB对 30k+b=40, k=-1. 应的函数表达式为y=一x十70.当0<x≤30 时，=[80-(-x+70)](-2x+120) -2x2+100.x+1200=-2(x-25)2+2450. ∴.当x=25时，心最大值=2450.当30≤x≤50 时，=(80一40)×(-2x+120)=-80x+ 4800..一800，.心随x的增大而减小 ∴.当x=30时，心最大值=2400..0 1-2x2+100x+1200(0<x≤30)， 综上所述， -80x+4800(30<x≤50). 第25天的利润最大，最大利润为2450元. ②当0<x≤30时，令=2400，得一2(x- 25)2十2450=2400，解得x1=20,x2=30, .·抛物线=-2(x一25)2十2450的开口 向下，∴.当20≤x≤30时，≥2400.此时， 当天利润不低于2400元的天数为30一20+ 1=11.当30<x≤50时，由①可知，当天利 润均低于2400元.综上所述，当天利润不低 于2400元的共有11天 小结 解决二次函数的实际应用题，首先要根据题 目所给条件确定函数表达式，再利用二次函数的 性质进行解答.常以求最值的形式出现，可以用 配方法解，也可以利用二次函数的增减性求.对 于分段函数的最大（小）值问题，需要分别确定得 到的函数的最大（小）值，然后比较最大（小）值， 最后进行判断.此类题尤其要注意不同的分段上 自变量的取值范围 对应练习， 3.专家预测，今年我市猪肉售价将逐月上 涨，每千克猪肉的售价y1(元)与月份x 第21章二次函数与反比例函数 (1≤x≤12，且x为整数)之间满足一次 函数关系，如下表所示.每千克猪肉的成 本y2(元)与月份x(1≤x≤12，且x为整 数)之间满足二次函数关系，且3月每千 克猪肉的成本全年最低，为9元，如图 所示. x … 3 4 5 6 y1/元 12 14 16 18 ↑y/元 9 0 3456x (第3题) (1)求y1与x之间的函数表达式. (2)求y2与x之间的函数表达式. (3)设销售每千克猪肉所获得的利润为 元，求与x之间的函数表达式.哪个 月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？ 最大利润是每千克多少元？ 5 数学（沪科版）九年级上 考点四二次函数与几何图形最值问题 典例4如图，抛物线y=a.x2+bx十3与坐 标轴分别交于点A,B(-3,0),C(1,0),P 是线段AB上方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线对应的函数表达式。 (2)过点P作PH⊥x轴于点H,交AB于 点F,在点P运动的过程中，求线段PF长 的最大值 (3)当点P运动到什么位置时，△PAB的 面积最大？ (典例4图) 分析 思维导图如下： (1) y-ax+bx+3 将B(-3,0),C(1,0)代入 求得a,b (2) PE=PH- 点P在抛物线上设点P的横坐标为 FH 点F在直线AB上 求直线AB对应的函 数表达式 用含t的式子表示出PH与FH Xp=X=t (3) SPUSAP+SAm7PF·BH+号PF·OH=号PF, (BH+OH)=PF·OB 解答：(1)，抛物线y=ax2十bx十3经过点 9a-3b+3=0, B(-3,0),C(1,0),∴. 解得 a+b+3=0, a=-1, b=-2. .抛物线对应的函数表达式为 y=-x2-2x+3. 6 (2).'当x=0时，y=-x2-2x十3=3， ∴.A(0,3).设直线AB对应的函数表达式 -3k十n=0, k=1, 为y=kx十n,则 解得 n=3, n=3. .直线AB对应的函数表达式为y=x十3. ,:点P在线段AB上方的抛物线上，.设 P(t,-t2-2t十3)(-3<t<0),则F(t,t十 3).∴.PF=-t2-2t+3-(t+3)=-t2 3=-k+°+是当=-时.线段 PF长的最大值为是 (3)由(2)，得PF=-t2-3t.:S△PAB= Sar+SaPr=2PF·OH+2PF· BH=2PF·OB,.SAPB=2 X3(-t2 3)= 88-8+》t当 t=- 时，△PAB的面积最大，此时一乙 2红+3=-(-》-2×(-8)+3=只 P9,)当点P的坐标为(，) 时，△PAB的面积最大 小结 1.线段长度的表示：当线段与坐标轴平行 时，利用线段两个端点的横坐标或纵坐标之差表 示线段长；线段的两个端点在函数图象上，可以 借助函数表达式达到横、纵坐标的转化. 2.线段长度最值的求法：①分别求一次函 数、二次函数的表达式；②利用含有字母的代数 式表示线段的长度，建立函数模型；③利用函数 的性质求最值 3.面积最值的求法：如图，在△PBC中，三 角形的一顶，点P在抛物线上（一动，点），另两个 顶点B,C是定，点（两定，点），则△PBC的面积可 1 以转化为S△m十S△rm=2PQ·(xB一xp)十 PQ(n-)=2PQ·(g-c).故 △PBC面积的最大值就是线段PQ长的最大值与 一个定值的积，实质就是求线段PQ长的最大值 Q(x,m叶n) B P(x,ax+bx+c) 对应练习， 4.[2026合肥肥东期末]如图，抛物线y= 2+加十c经过点A(-2,0),与直线 1 BC:y=kx一4交x轴于点B,交y轴于 点C,P是抛物线对称轴上一动点. (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)当PA+PC的值最小时，求点P的 坐标. (3)F为线段BC下方抛物线上一点，连 接FB,FC,当△BCF的面积最大时，求 点F的坐标及△BCF面积的最大值， 0 (第4题) 第21章二次函数与反比例函数 考点五二次函数的存在性问题 典例5如图①，抛物线y=ax2十bx+c(a≠ 0)的顶点为M(1,9),经过抛物线上A(一3， 一7)，B(3,m)两点的直线交抛物线的对称 轴于点C (1)求抛物线和直线AB对应的函数表 达式. (2)在抛物线上A,M两点之间的部分（不 包含A,M两点)，是否存在点D,使得 S△DAc=2S△CM？若存在，求出点D的坐 标；若不存在，请说明理由.。 (3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，则 是否存在点P,使得以A,M,P,Q为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，求出满足条 件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. ② (典例5图)》 分析 思维导图如下： (1)已知抛物 设抛物线的顶，点式， 线的顶点 代入点A的坐标求解 (2) 过，点D作y轴 求S△G 的平行线交 AB于点H (x-x) (3) 分AM为平行四边形的边 点Q的坐标 或对角线两种情况讨论 点P的坐标 解答：(1)设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x一1)2十9，将点A的坐标代入，得 数学（沪科版）九年级上 -7=(-3-1)a十9，獬得a=一1.∴.抛物 线对应的函数表达式为y=一(x一1)2十9， 即y=-x2+2x+8.将x=3代入，得y= 5,∴.B(3,5).设直线AB对应的函数表达 式为y=k.x十n,将点A,B的坐标代入，得 -3k十n=一7·解得 =2, =-1, .直线AB 3k+n=5, 对应的函数表达式为y=2x一1. (2)存在.易知抛物线的对称轴为直线x= 1.由题意，将x=1代入y=2x一1，得y= 2×1一1=1，.C(1,1).过点D作y轴的平 行线交AB于点H,如图②.设D(x,一x2十 2x十8)(-3<x<1),则H(x,2x-1). SAmc=2DH(re-A)= 2(-x2+2x+8-2x十1)X[1-(-3)]= 2×(9-1)(1-x)×2,解得x=-1或x= 5(舍去).当x=-1时，-x2十2x十8=5， .点D的坐标为(-1,5). (3)存在.设Q(m,0),P(s,t),则t=一s2十 2s十8.①当AM是平行四边形的一条边时， 将点M向左平移4个单位长度，向下平移 16个单位长度可得到点A,∴.将点Q(m,0) 向左平移4个单位长度，向下平移16个单位 长度可得到点(m一4，-16)，即为点P,即 m-4=s,-16=t,而t=-s2+2s十8，解得 s=6或s=一4.故点P的坐标为(6，一16) 或（一4，一16）.②当AM是平行四边形的 对角线时，m十s=一2，t=2.而t=一s2十2十 8,解得s=1土√7.故点P的坐标为(1十√7,2) 或(1一√7,2).综上所述，点P的坐标为(6， -16)或(-4，-16)或(1十√7,2)或(1-√7,2). 8 小结 解答平行四边形存在性问题时，一般思路如 下：(1)假设结论成立；(2)对平行四边形进行分 类讨论：第一类，以两定点连线所成的线段作为 边，根据平行四边形对边相等构造方程.第二类， 以两定点连线所成的线段作为对角线，根据平行 四边形的对角线互相平分，得出两条对角线端，点 的横坐标之和相等、纵坐标之和相等，从而建立 方程组求解. 对应练习， 5.[2025西宁]如图，在平面直角坐标系中， 以P为顶点的抛物线对应的函数表达式 为y=ax2-4ax(a<0),点A的坐标是 (一1,0)，以原点为中心，把点A顺时针 旋转90°，得到点A. (1)直接写出点A'的坐标和抛物线的对 称轴。 (2)若当3≤x≤5时，y有最大值1-2a, 求抛物线对应的函数表达式 (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上， 点N在坐标平面内，则是否存在以A', P,M,N为顶点的四边形是矩形？若存 在，求出所有符合条件的点N的坐标；若 不存在，请说明理由. (第5题)