第8讲 相似多边形 优等生讲义 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

第8讲 相似多边形 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解相似图形与相似多边形的概念，能判断两个多边形是否相似 · · 掌握相似多边形「对应角相等、对应边成比例」两条核心性质 · · 会由相似比求对应角、对应边长、周长比与面积比 · · 能利用相似多边形性质解决矩形边框、装裱、开本等实际问题 · · 理解相似比与周长比、面积比之间的平方关系 📚 知识梳理 ☆ 1.相似图形与相似多边形的定义 形状相同的图形叫相似图形，相似图形只关注形状，与位置、大小无关 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数），记作k 判断两个多边形相似必须同时满足：对应角相等且对应边成比例，缺一不可 概念辨析例题：下列说法正确的是：A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上都正确 解析：矩形角都相等但边长比未必相同；菱形边成比例但角未必相等；正方形角都是90°、边都相等，对应角相等且对应边成比例，故任意两个正方形相似 ☆ 2.相似多边形的性质（对应角、对应边） 相似多边形的对应角相等 相似多边形的对应边成比例，比值等于相似比k 相似多边形中，对应线段（如对应对角线）之比也等于相似比k 写相似时对应顶点字母要按顺序写，如四边形ABCD∽四边形EFGH 概念辨析例题：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠B=50°，∠C=80°，∠A'=100°，求∠D' 解析：对应角相等∠A=∠A'=100°，四边形内角和360°，∠D'=∠D=360°-100°-50°-80°=130° ☆ 3.周长比与面积比 相似多边形周长之比等于相似比k 相似多边形面积之比等于相似比的平方k2 已知面积比求相似比时要开平方，已知相似比求面积比时要平方 对应线段（对应高、对应对角线）之比都等于相似比k 概念辨析例题：两个相似六边形相似比为3：5，较小六边形面积为18cm2，求较大六边形面积 解析：面积比=32：52=9：25，18÷9×25=50cm2 ☆ 4.相似多边形的判定与实际应用 矩形内套矩形（边框问题）：先写出内外两个矩形的长和宽，再列比例式 放大镜、复印、模型放大：角度不变，边长、周长按相似比放大，面积按平方放大 对折矩形（开本问题）：对折后矩形与原矩形相似，长：宽=：1 判断新矩形是否与原矩形相似：分别算出新长宽比与原长宽比是否相等 概念辨析例题：一幅画长220cm宽132cm，横向边框宽9cm，内外矩形相似，求纵向边框宽 解析：外矩形长=220+2x，宽=132+18=150，由相似得=，解得x=15cm 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 相似多边形定义 对应角相等且对应边成比例 两条件缺一不可 相似比 对应边之比k 与顺序有关 对应角 相等 按对应顶点找 周长比 等于相似比k 不是平方 面积比 等于k2 求k要开平方 对应线段 对应高/对角线之比=k 包括一切对应线段 矩形边框问题 内外矩形列比例式 注意长宽对应 ⚠️ 核心考点 【考点1】判断多边形相似（第1-8题） · · 紧扣「对应角相等且对应边成比例」两条 · · 正方形任意两个都相似，圆任意两个都相似 · · 矩形角等但边比未必同，菱形边同比等但角未必同 · · 放大镜只放大尺寸，角度保持不变 1．（2025秋•青羊区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 【分析】根据相似多边形的条件，结合矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，逐一分析，即可判断． 【解答】解：∵相似多边形需对应角相等且对应边成比例， 矩形角都相等，但边长比例可能不同，如长宽分别为2×3与4×5的矩形，对应边不成比例，因此不一定相似，故A错误． 菱形边都相等，但角可能不相等，如一个内角为60°的菱形与一个内角为80°的菱形，对应角不相等，因此不一定相似，故B错误． 正方形角都相等且边都相等，符合对应角相等且对应边成比例，因此任意两个正方形相似，故C正确． 故选：C． 【点评】本题考查了相似多边形，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，解题关键是掌握相似多边形的条件是对应角相等且对应边成比例． 2．（2024秋•滦南县期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠C＝∠G B．AD∥EH C．CD：HG＝k D．BC⊥HG 【分析】根据相似多边形的性质得到∠C＝∠G，∠A＝∠HEF，CD：HG＝k，即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k， ∴∠C＝∠G，∠A＝∠HEF，CD：HG＝k， ∴AD∥EH， 综上可知，A、B、C，无法判断D，即说法不一定正确， 故选：D． 【点评】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似的性质是解题的关键． 3．（2026•深圳校级模拟）下列说法中正确的有（　　） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据相似多边形的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、①所有的圆都是形状相同的图形，故①正确； ②所有的正方形都是形状相同的图形，故②正确； ③所有的等腰三角形不一定都是形状相同的图形，故③不正确； ④所有的矩形不一定都是形状相同的图形，故④不正确； 综上所述：上列说法中正确的有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 4．（2025秋•内黄县月考）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，点B，F，C，G四点共线，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠A＝∠E B．DC∥HG C．BC⊥EF D．AD＝kEH 【分析】根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k， ∴∠A＝∠E，AD＝kEH，∠DCB＝∠HGF（相似三角形的性质）， ∴选项A，D说法正确，不合题意； ∵∠DCB＝∠HGF， ∴DC∥HG（同位角相等，两直线平行）， ∴选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出BC⊥EF， ∴选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 5．（2025秋•衡水月考）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（　　） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 【分析】根据相似多边形的性质求解即可． 【解答】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 则：多边形周长、面积、每条边的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 6．（2025秋•兴庆区校级期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D'＝ 　130°　 ． 【分析】根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为360度求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠A＝∠A'＝100°， 又∵∠B＝50°，∠C＝80°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣100°﹣50°﹣80°＝130°， 故答案为：130°． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键． 7．（2026春•南岗区校级期中）钱币岛上有一个很大的古代钱币模型，它是按照铜钱的实际样子同比例放大的（如图所示）．如果能让人轻松钻过模型中间的正方形洞，这个洞的边长至少需要1米．若一个古代钱币的中心正方形的边长为0.6厘米，那么目前这个模型中间的正方形洞，有人能轻松钻过去吗？（图中数据单位：cm） 【分析】设这个模型中间的洞边长是xcm．得到2.5：750＝0.6：x，求出x＝180，即可得到答案． 【解答】解：设这个模型中间的洞边长是xcm． 由题意得到：0.6：x＝2.5：750 ∴2.5x＝750×0.6 ∴x＝180． 180cm＝1.8m，1.8m＞1m． 答：有人能轻松钻过去． 【点评】本题考查比的应用，关键是由题意得到关于x的比例式． 8．（2023秋•北镇市期中）如图，一幅装饰画的长为220cm，宽为132cm，镶在其外围的横向木质边框宽9cm．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度． 【分析】设纵向木质边框的宽度为xcm，根据边框的内外边缘所成的矩形相似列出比例式解答即可． 【解答】解：∵边框的内外边缘所成的矩形相似， ∴， 解得x＝15， 答：纵向木质边框的宽度为15cm． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似多边形的对应边的比相等，正确列出比例式是解题的关键． 【考点2】运用相似多边形性质求角、边长、面积（第9-20题） · · 求角用对应角相等+多边形内角和 · · 求边用对应边成比例列方程 · · 求面积用面积比=相似比平方 · · 注意对应顶点顺序写对对应边 9．（2025秋•历城区期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB⊥BC，∠A＝80°，∠D'＝55°，则∠C的度数为（　　） A．125° B．135° C．115° D．120° 【分析】根据相似多边形的性质求出∠A，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠D＝∠D′＝55°， ∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∴∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝135°， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键． 10．（2025秋•西安校级期中）一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 【分析】利用相似多边形对应边成比例的性质，通过最长边求比值，再求最短边． 【解答】解：原多边形边长最长边为7，最短边为3， 相似多边形最长边为28， 设比值为k， 则， ∴相似多边形最短边＝3×4＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了相似图形的性质，正确进行计算是解题关键． 11．（2025秋•贵港期末）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为（　　） A． B． C． D．9 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵矩形ABCD与矩形EABF相似， ∴，即， 解得，AD＝6， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键． 12．（2026•天台县二模）如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵四个矩形全等，每一个矩形与原矩形相似， ∴， ∴AB2BC2， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 13．（2026•盐城三模）平行四边形ABCD与平行四边形A1B1C1D1相似，AB＝4，AB的对应边A1B1＝5，平行四边形ABCD的面积为8，则平行四边形A1B1C1D1的面积为　12.5　 ． 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积． 【解答】解：∵平行四边形ABCD与平行四边形A1B1C1D1相似，AB＝4，AB的对应边A1B1＝5， ∴相似比为， ∴， ∵SABCD＝8， ∴， 解得． 故答案为：12.5． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，平行四边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 14．（2024秋•长清区校级月考）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是　：1　 ． 【分析】根据题意结合相似图形的性质，得出原矩形长与宽之间的关系即可解决问题． 【解答】解：设原矩形的长为x，宽为y， 则对折后所得矩形的长为y，宽为， 因为对折后所得矩形与原矩形相似， 所以， 整理得，x：y：1， 即原矩形长与宽的比是：1． 故答案为：：1． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质及矩形的性质，熟知相似多边形的性质是解题的关键． 15．（2026•滨江区二模）黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中．若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形ABCD中依次裁去以宽为边长的正方形，设第n次裁去后剩余矩形的长为an（n≥2），则的值为 　　 ． 【分析】设原黄金矩形ABCD的长为m，则宽为m，利用矩形相似的性质得到第1次裁去后剩余矩形的长为m，第2次裁去后剩余矩形的长为（）2m，第3次裁去后剩余矩形的长为（）3m，从而可得到的值． 【解答】解：设原黄金矩形ABCD的长为m，则宽为m， 第1次裁去后剩余矩形的长为m， 第2次裁去后剩余矩形的长为（）2m，即a2＝（）2m， 第3次裁去后剩余矩形的长为（）3m，即a3＝（）3m， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．也考查了正方形的性质、矩形的性质和黄金分割． 16．（2025秋•渭南期末）已知两个相似六边形的相似比为3：5，较小的六边形的面积为18cm2，则较大的六边形的面积为　50　 cm2． 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：两个相似六边形的相似比为3：5，则面积比为32：52＝9：25． 较小六边形的面积为18cm2，则18÷9×25＝50cm2，即较大六边形的面积为50cm2． 故答案为：50． 【点评】本题考查相似图形的性质，关键掌握相似多边形的面积比． 17．（2023秋•来宾期中）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝60°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D＝　120°　 ． 【分析】根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为360度求解即可 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠A＝∠A'＝100°， 又∵∠B＝60°，∠C＝80°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣100°﹣60°﹣80°＝120°， 故答案为：120°． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键． 18．如图，已知▱ABCD与▱EMFC相似，点A，B，C，D的对应点分别为E，M，F，C，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）求∠M的度数； （2）若ME＝3，求DE的长． 【分析】（1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵▱ABCD∽▱EMFC， ∴∠M＝∠B＝50°； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∵▱ABCD∽▱EMFC， ∴， ∵AB＝4，BC＝6，ME＝3， ∴AD＝6，， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． 19．（2026春•新泰市期末）如图，已知▱ABCD∽▱EMFC，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）求∠M的度数； （2）若ME＝3，求DE的长． 【分析】（1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵▱ABCD∽▱EMFC， ∴∠M＝∠B＝50°； 故答案为：50； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD ∵▱ABCD∽▱EMFC， ∴ ∵AB＝4，BC＝6，ME＝3， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． 20．以正方形的对角线为边长作一个正方形，求原正方形与得到的正方形的相似比、周长比和面积比． 【分析】相似多边形的性质，正方形的性质即可得到结论． 【解答】解：设原正方形的边长为x，则原正方形的对角线为x， ∴原正方形的周长为4x，面积为x2， 新正方形的周长为4x，面积为2x2， ∴原正方形与得到的正方形的相似比为x：x＝1：，周长的比例为1：，面积比为1：2． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【考点3】运用相似多边形解决实际问题（第21-28题） · · 边框/装裱问题先写内外矩形长宽 · · 成本问题：成本与面积成正比 · · 对折开本问题：长：宽=：1 · · 判断是否相似：算两个长宽比是否相等 21．（2025秋•益阳月考）在书香校园文化建设中，某班制作了一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的1.2倍，那么扩大后长方形展板的成本是（　　） A．2.4a元 B．1.2a元 C．1.44a元 D．1.728a元 【分析】直接利用相似多边形的性质进而得出答案． 【解答】解：∵将此展板的四边都扩大为原来的1.2倍， ∴面积扩大为原来的1.22＝1.44（倍）， ∵一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元， ∴扩大后展板的成本为1.44a（元）， 故选：C． 【点评】此题考查的是相似多边形的性质，列代数式，掌握相似多边形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 22．（2025秋•庐阳区校级月考）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） A． B． C． D．2 【分析】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值． 【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴（）2＝2， ∴． 故选：A． 【点评】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键． 23．（2024秋•北海期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中x的值为 　5　 cm． 【分析】根据相似多边形的性质求解即可． 【解答】解：∵如图是两个形状相同的扇贝图案， ∴两个图形相似， ∴， 解得：x＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 24．如图，装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画作，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画作相似，装裱上去的部分的上下的宽都为15cm．若装裱上去的左右部分的宽都为xcm，则大矩形与原矩形画作的相似比为　1.5　 ． 【分析】利用相似多边形的性质可得，然后进行计算即可解答 【解答】解：由题意得： ， 解得：x＝10， ∴相似比＝（40+20）：40＝1.5． 故答案为：1.5． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 25．将邻边为6和10的矩形按如图所示的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，判断新矩形与原矩形是否相似？ 【分析】求出新矩形的长和宽，由8：10≠4：6，判定新矩形与原矩形不相似． 【解答】解：由题意得到：新矩形的长是10﹣1﹣1＝8，宽是6﹣1﹣1＝4， ∵8：10≠4：6， ∴新矩形与原矩形不相似． 【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，关键是掌握相似多边形的判定方法． 26．（2024•南岗区校级开学）画图题 （1）按1：3画出下面的三角形缩小后的图形； （2）按2：1画出下面的平行四边形放大后的图形． （3）图（1）缩小后图形的面积为 　3　 ． （4）图（2）放大后图形的面积为 　24　 ． 【分析】（1）找出三角形的两条直角边，数出有几个格，把它们分别除以3，然后画出即可； （2）找出形平行四边的底与高，数出有几个格，把它们分别乘以2，然后画出即可； （3）根据缩小后的底和高，利用三角形面积公式计算即可； （4）根据放大小后的底和高，利用三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图所示，△ADE即为所求； （2）如图所示，平行四边形A1E1F1G1即为所求； （3）根据图可知△ADE的底为3，高为2， ∴△ADE的面积， 故答案为：3； （4）根据图可知：平行四边形A1E1F1G1的底为6，高为4， ∴平行四边形A1E1F1G1的面积6×4＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了图形的放大与缩小，解答本题的关键是掌握比例尺的概念． 27．（2024秋•海淀区校级期中）（1）证明四条边及一条对角线对应成比例的两个四边形是相似的四边形． （2）如果四边形ABCD的对角线AC与BD交于O，称OA，OB，OC，OD为该四边形的截断对角线．证明四条截断对角线对应成比例且两条对角线夹角对应相等的两个四边形相似． 【分析】（1）可证明△ABC∽△EFG，△ADC∽△EHG，推出两个四边形的四个对应角相等，进而可证明结论； （2）证明△AOB∽△ETF，△AOD∽△ETH，可推出，，∠BAD＝∠FEH，同理可得∠ABC＝∠EFG，∠ADC＝∠EHG，∠BCD＝∠FGH，，据此可证明结论． 【解答】证明：（1）已知：如图所示，在四边形ABCD和四边形EFGH中，， 求证：四边形ABCD∽四边形EFGH； ∵， ∴△ADC∽△EHG，△ABC∽△EFG， ∴∠BAC＝∠FEG，∠ACB＝∠EGF，∠ABC＝∠EFG， ∠∠ACD＝∠EGH，ADC＝∠EHG，∠DAC＝∠HEG， ∴∠ACB+∠ACD＝∠EGF+∠EGH，∠BAC+∠DAC＝∠FEG+∠HEG， ∴∠BAD＝∠FEH，∠BCD＝∠FGH， ∴四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴四条边及一条对角线对应成比例的两个四边形是相似的四边形； （2）已知：如图所示，在四边形ABCD中，对角线交于点O，在四边形EFGH中，对角线交于点T，且，∠AOB＝∠ETF，∠AOD＝∠ETH， 求证：四边形ABCD∽四边形EFGH； ∵∠AOB＝∠ETF，∠AOD＝∠ETH，， ∴△AOB∽△ETF，△AOD∽△ETH， ∴， ， ∴∠OAB+∠OAD＝∠TEF+∠TEH， ∴∠BAD＝∠FEH， 同理可证明∠ABC＝∠EFG，∠ADC＝∠EHG，∠BCD＝∠FGH， ， ∴， ∴四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴四条截断对角线对应成比例且两条对角线夹角对应相等的两个四边形相似． 【点评】本题主要考查了相似多边形的判定，相似三角形的性质与判定，熟知相似的相关知识是解题的关键． 28．（2025秋•衡阳期末）综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 基本信息 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为120cm×240cm． 版面规划 用矩形ABCD（AB＜BC）表示整张KT板． 展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间（即矩形EFGH）为图案区域． 展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为bcm． 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：… （1）根据版面规划，若展板一中a＝10，且图案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩形ABCD），求b的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH∽矩形ABCD），则的值为　　 ． 【分析】（1）根据矩形EFGH∽矩形ABCD，可得，根据AB＝120cm，AD＝240cm，a＝10可得EF＝100，则EH＝（240﹣2b）cm，进而即可求解； （2）根据矩形MNGH∽矩形ABCD，可得，根据AB＝120cm，AD＝240cm，可得，由图可得，，进而即可求解； 【解答】解：（1）由题意得AB＝120cm，AD＝240cm． ∵矩形EFGH∽矩形ABCD， ∴， ∵a＝10， ∴EF＝AB﹣2a＝120﹣10×2＝100cm． ∵EH＝AD﹣2b＝（240﹣2b）cm， ∴， 解得b＝20． 答：b的值为20． （2）∵矩形MNGH∽矩形ABCD， ∴， ∴， ∵AD＝240cm，AB＝120cm， ∴， 由图可得，， ∴， ， ﹣4a＝﹣5b， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似图形的性质，理解题意是解决本题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•山丹县校级期末）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，AB＝4，GH＝3，则六边形ABCDEF∽与六边形GHIJKL的周长比为　4：3　 ． 【分析】直接根据相似多边形周长比等于相似比作答即可． 【解答】解：∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，AB＝4，GH＝3， ∴相似比为AB：GH＝4：3， 则六边形ABCDEF∽与六边形GHIJKL的周长比为4：3， 故答案为：4：3． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，关键是相似多边形性质的熟练掌握． 【练习 2】（2026秋•同步）已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，AB与A'B'是对应边，BC与B'C'是对应边．若，则　　 ． 【分析】利用相似多边形是性质解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是灵活运用相似四边形的性质解决问题． 【练习 3】（2025秋•魏县期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 　　 ． 【分析】设AF＝a，AD＝b，根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，可得EC＝2a，NCb，矩形AFED与原矩形ABCD相似列出比例式即可解答． 【解答】解：设AF＝a，AD＝b， ∵矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， ∴EC＝2a，NCb， ∴CD＝3a， ∵矩形AFED∽矩形ABCD， ∴， 即， ∴ba， ∴原矩形的较长边与较短边的比值为：． 故答案为：． 【点评】本题考查相似多边形的性质，解答本题的关键是掌握相似图形的性质． 【练习 4】（2025秋•广阳区校级月考）如图，已知四边形ABCD∽四边形EMFC，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）∠E的度数为　130°　 ； （2）若ME＝3，求MF的长． 【分析】（1）根据相似多边形对应角相等解答； （2）根据相似多边形对应边成比例解答． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形EMFC，∠A＝130°． ∴∠E＝∠A＝130°． 故答案为：130°； （2）∵四边形ABCD∽四边形EMFC，AB＝4，BC＝6，ME＝3， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 相似多边形两条铁律：对应角相等、对应边成比例，判断时缺一不可 · · 相似比是对应边之比，求周长比直接用k，求面积比用k2 · · 求对应角先找对应顶点，再用多边形内角和补角 · · 边框、装裱、对折问题本质都是列「长比长=宽比宽」的比例式 · · 放大镜、复印问题：角度不变，尺寸线性放大，面积平方放大 【作业 1】（2024•鞍山模拟）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的宽为（　　） A． B．5cm C．10cm D．6cm 【分析】利用相似多边形的性质求解． 【解答】解：设放大后矩形的宽为xcm． ∵放大前后矩形相似， ∴， ∴x＝6． 故选：D． 【点评】本题考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的性质，属于中考常考题型． 【作业 2】（2026•临县模拟）如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为，则矩形的长为 　8　 ． 【分析】设矩形长为x，根据黄金矩形定义得到宽为，再根据矩形ABCD的周长为，得到方程，即可求解． 【解答】解：∵一个矩形的宽与长之比等于黄金数，矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为， ∴设矩形长为x，则宽为， ∵矩形ABCD的周长为 ∴， 解得：x＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了黄金分割，二次根式的应用，相似多边形的性质，正确理解题意是解题的关键． 【作业 3】（2026秋•同步）在如图所示的相似四边形中，求未知数的边长x和角度α的大小． 【分析】根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例解答． 【解答】解：如图： ∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴它们的对应边成比例，对应角相等， ∴，∠C＝∠G＝80°， 解得x＝20， ∴α＝360°﹣（145°+70°+80°）＝65°． 【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 【作业 4】（2025秋•麦积区期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求x，y的值和α的大小． 【分析】根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴． 解得， ∴∠α＝∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 5】如图①，E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD． （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝1，然后求得EP的长，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可． 【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD， ∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2， ∴AE，BPAB＝1， ∴AP， ∴EP＝2， ∴EB， ∴GD． 【点评】本题主要考查相似多边形形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等知识的综合运用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 相似多边形 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解相似图形与相似多边形的概念，能判断两个多边形是否相似 · · 掌握相似多边形「对应角相等、对应边成比例」两条核心性质 · · 会由相似比求对应角、对应边长、周长比与面积比 · · 能利用相似多边形性质解决矩形边框、装裱、开本等实际问题 · · 理解相似比与周长比、面积比之间的平方关系 📚 知识梳理 ☆ 1.相似图形与相似多边形的定义 形状相同的图形叫相似图形，相似图形只关注形状，与位置、大小无关 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数），记作k 判断两个多边形相似必须同时满足：对应角相等且对应边成比例，缺一不可 概念辨析例题：下列说法正确的是：A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上都正确 解析：矩形角都相等但边长比未必相同；菱形边成比例但角未必相等；正方形角都是90°、边都相等，对应角相等且对应边成比例，故任意两个正方形相似 ☆ 2.相似多边形的性质（对应角、对应边） 相似多边形的对应角相等 相似多边形的对应边成比例，比值等于相似比k 相似多边形中，对应线段（如对应对角线）之比也等于相似比k 写相似时对应顶点字母要按顺序写，如四边形ABCD∽四边形EFGH 概念辨析例题：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠B=50°，∠C=80°，∠A'=100°，求∠D' 解析：对应角相等∠A=∠A'=100°，四边形内角和360°，∠D'=∠D=360°-100°-50°-80°=130° ☆ 3.周长比与面积比 相似多边形周长之比等于相似比k 相似多边形面积之比等于相似比的平方k2 已知面积比求相似比时要开平方，已知相似比求面积比时要平方 对应线段（对应高、对应对角线）之比都等于相似比k 概念辨析例题：两个相似六边形相似比为3：5，较小六边形面积为18cm2，求较大六边形面积 解析：面积比=32：52=9：25，18÷9×25=50cm2 ☆ 4.相似多边形的判定与实际应用 矩形内套矩形（边框问题）：先写出内外两个矩形的长和宽，再列比例式 放大镜、复印、模型放大：角度不变，边长、周长按相似比放大，面积按平方放大 对折矩形（开本问题）：对折后矩形与原矩形相似，长：宽=：1 判断新矩形是否与原矩形相似：分别算出新长宽比与原长宽比是否相等 概念辨析例题：一幅画长220cm宽132cm，横向边框宽9cm，内外矩形相似，求纵向边框宽 解析：外矩形长=220+2x，宽=132+18=150，由相似得=，解得x=15cm 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 相似多边形定义 对应角相等且对应边成比例 两条件缺一不可 相似比 对应边之比k 与顺序有关 对应角 相等 按对应顶点找 周长比 等于相似比k 不是平方 面积比 等于k2 求k要开平方 对应线段 对应高/对角线之比=k 包括一切对应线段 矩形边框问题 内外矩形列比例式 注意长宽对应 ⚠️ 核心考点 【考点1】判断多边形相似（第1-8题） · · 紧扣「对应角相等且对应边成比例」两条 · · 正方形任意两个都相似，圆任意两个都相似 · · 矩形角等但边比未必同，菱形边同比等但角未必同 · · 放大镜只放大尺寸，角度保持不变 1．（2025秋•青羊区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 2．（2024秋•滦南县期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠C＝∠G B．AD∥EH C．CD：HG＝k D．BC⊥HG 3．（2026•深圳校级模拟）下列说法中正确的有（　　） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025秋•内黄县月考）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，点B，F，C，G四点共线，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠A＝∠E B．DC∥HG C．BC⊥EF D．AD＝kEH 5．（2025秋•衡水月考）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（　　） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 6．（2025秋•兴庆区校级期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D'＝ _________ ． 7．（2026春•南岗区校级期中）钱币岛上有一个很大的古代钱币模型，它是按照铜钱的实际样子同比例放大的（如图所示）．如果能让人轻松钻过模型中间的正方形洞，这个洞的边长至少需要1米．若一个古代钱币的中心正方形的边长为0.6厘米，那么目前这个模型中间的正方形洞，有人能轻松钻过去吗？（图中数据单位：cm） 8．（2023秋•北镇市期中）如图，一幅装饰画的长为220cm，宽为132cm，镶在其外围的横向木质边框宽9cm．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度． 【考点2】运用相似多边形性质求角、边长、面积（第9-20题） · · 求角用对应角相等+多边形内角和 · · 求边用对应边成比例列方程 · · 求面积用面积比=相似比平方 · · 注意对应顶点顺序写对对应边 9．（2025秋•历城区期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB⊥BC，∠A＝80°，∠D'＝55°，则∠C的度数为（　　） A．125° B．135° C．115° D．120° 10．（2025秋•西安校级期中）一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 11．（2025秋•贵港期末）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为（　　） A． B． C． D．9 12．（2026•天台县二模）如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（　　） A． B． C． D． 13．（2026•盐城三模）平行四边形ABCD与平行四边形A1B1C1D1相似，AB＝4，AB的对应边A1B1＝5，平行四边形ABCD的面积为8，则平行四边形A1B1C1D1的面积为_________ ． 14．（2024秋•长清区校级月考）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是_________________ ． 15．（2026•滨江区二模）黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中．若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形ABCD中依次裁去以宽为边长的正方形，设第n次裁去后剩余矩形的长为an（n≥2），则的值为 ____________________ ． 16．（2025秋•渭南期末）已知两个相似六边形的相似比为3：5，较小的六边形的面积为18cm2，则较大的六边形的面积为_______ cm2． 17．（2023秋•来宾期中）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝60°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D＝_________ ． 18．如图，已知▱ABCD与▱EMFC相似，点A，B，C，D的对应点分别为E，M，F，C，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）求∠M的度数； （2）若ME＝3，求DE的长． 19．（2026春•新泰市期末）如图，已知▱ABCD∽▱EMFC，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）求∠M的度数； （2）若ME＝3，求DE的长． 20．以正方形的对角线为边长作一个正方形，求原正方形与得到的正方形的相似比、周长比和面积比． 【考点3】运用相似多边形解决实际问题（第21-28题） · · 边框/装裱问题先写内外矩形长宽 · · 成本问题：成本与面积成正比 · · 对折开本问题：长：宽=：1 · · 判断是否相似：算两个长宽比是否相等 21．（2025秋•益阳月考）在书香校园文化建设中，某班制作了一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的1.2倍，那么扩大后长方形展板的成本是（　　） A．2.4a元 B．1.2a元 C．1.44a元 D．1.728a元 22．（2025秋•庐阳区校级月考）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） A． B． C． D．2 23．（2024秋•北海期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中x的值为 _____ cm． 24．如图，装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画作，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画作相似，装裱上去的部分的上下的宽都为15cm．若装裱上去的左右部分的宽都为xcm，则大矩形与原矩形画作的相似比为________ ． 25．将邻边为6和10的矩形按如图所示的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，判断新矩形与原矩形是否相似？ 26．（2024•南岗区校级开学）画图题 （1）按1：3画出下面的三角形缩小后的图形； （2）按2：1画出下面的平行四边形放大后的图形． （3）图（1）缩小后图形的面积为 _____ ． （4）图（2）放大后图形的面积为 _______ ． 27．（2024秋•海淀区校级期中）（1）证明四条边及一条对角线对应成比例的两个四边形是相似的四边形． （2）如果四边形ABCD的对角线AC与BD交于O，称OA，OB，OC，OD为该四边形的截断对角线．证明四条截断对角线对应成比例且两条对角线夹角对应相等的两个四边形相似． 28．（2025秋•衡阳期末）综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 基本信息 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为120cm×240cm． 版面规划 用矩形ABCD（AB＜BC）表示整张KT板． 展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间（即矩形EFGH）为图案区域． 展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为bcm． 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：… （1）根据版面规划，若展板一中a＝10，且图案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩形ABCD），求b的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH∽矩形ABCD），则的值为__________________ ． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•山丹县校级期末）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，AB＝4，GH＝3，则六边形ABCDEF∽与六边形GHIJKL的周长比为________ ． 【练习 2】（2026秋•同步）已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，AB与A'B'是对应边，BC与B'C'是对应边．若，则__________________ ． 【练习 3】（2025秋•魏县期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 _______________ ． 【练习 4】（2025秋•广阳区校级月考）如图，已知四边形ABCD∽四边形EMFC，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）∠E的度数为_________ ； （2）若ME＝3，求MF的长． 💯 课后巩固 复习建议 · · 相似多边形两条铁律：对应角相等、对应边成比例，判断时缺一不可 · · 相似比是对应边之比，求周长比直接用k，求面积比用k2 · · 求对应角先找对应顶点，再用多边形内角和补角 · · 边框、装裱、对折问题本质都是列「长比长=宽比宽」的比例式 · · 放大镜、复印问题：角度不变，尺寸线性放大，面积平方放大 【作业 1】（2024•鞍山模拟）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的宽为（　　） A． B．5cm C．10cm D．6cm 【作业 2】（2026•临县模拟）如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为，则矩形的长为 _____ ． 【作业 3】（2026秋•同步）在如图所示的相似四边形中，求未知数的边长x和角度α的大小． 【作业 4】（2025秋•麦积区期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求x，y的值和α的大小． 【作业 5】如图①，E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD． （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $