专题特训6 相似三角形的常考模型-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训· 数学（沪科版）九年级上 专题特训六相似三角形的常考模型 类型一 公共角模型 基本模型 模型解读 如图①，∠A是公共角，DEBC,则△ADE∽△ABC. 如图②，若∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB,则 △ACDP△ABC. 如图③，若∠ADE=∠B或∠AED=∠C,则△ADE∽ ① ② ③ △ABC 1.[2025安庆期末]如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE∥BC,点F在边AB上， BC=BF·BA,CF与DE相交于点G. (1)求证：△ABC∽△GDF. ②当E为C的中点时求江瓷 (第1题) 类型二对角模型 基本模型 模型解读 /0 如图①，若ABCD,则△ABO∽△DCO. 如图②，若∠A=∠D或∠B=∠C,则△AOB0 △DOC ① ② 2.如图，在△DAB和△EBC中，DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC,且点A,B,C在同一条直 线上，连接AE,ED,AE与BD交于点F. (1)求证：DF·BC=BF·AB. (2若Dr=CE.求5的值 B (第2题) 60 第22章相似形 类型三一线三等角模型 基本模型 模型解读 (I)同侧型：如图①，已知∠A=∠CPD=∠B,当点P 在线段AB上时，易证△ACPC△BPD (2)异侧型：如图②，已知∠MAC=∠CPD=∠ABD, 点P在线段AB的延长线上时，易证△ACPC∽△BPD ② 3.(1)如图①，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F, ①求证：△AEDp△BFE. ②若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长. (2)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4,E为AB边上一点（点E不与点A,B 重合)，连接CE,过点E作∠CEF=45°，交BC于点F,当△CEF为等腰三角形时，求BE的长. (第3题) 类型四 旋转模型 基本模型 模型解读 如图，DE∥BC,将△ADE绕点A旋转后，连接CE, BD,则△ADEP△ABC,△ABDP△ACE 4,如图①，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=√15，AC=5,D,E分别是AB,AC的中点，连 接DE (1)如图②，把Rt△ADE绕着点A按逆时针方向旋转，连接CE,BD,直接写出旋转过程中线段 CE和BD的位置和数量关系： (2)把Rt△ADE绕着点A按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接CD,CE,取CD的中 点N,BC的中点M,连接MN.若CE=√3，则MN的长为 ① ② (第4题) ●“答案与解析”见D38 61,△DBE的面积为4，.△ABG的面积为1.∴.△ACG 的质积为2：3受-子：△CFE的而积为 .1 D (第6题) 微专题·三角形内接矩形问题 1.A如图，过点A作AM⊥BC于点M,则GF∥AM :S正方形H=4,∴.EF=GF=IHG=HE=2,GH∥ C△AHGACl..沿-子：留 .:GEAM,△BGFn△BAM.:GFBG AM BA ?、·.AM=3.过点A作直线L/BC,作点C关于直线题 的对称点D,连接BD,AD,此时AB+AC=AB十AD, CD=2AM=6.当点B,A,D共线时，AB+AC取得最 小值，为BD的长.BD=√BC+CD=6√2， .AB十AC的最小值为62. l--- FME (第1题) 2.(1)设正方形的边长为xmm,则PN=PQ=ED xmm,∴.AE=AD-ED=(80一x)mm.:四边形 PNMQ是正方形，∴.PN∥BC.∴.△APNc∽△ABC 院品即0，解得=加工成的 PN AE 正方形零件的边长是48mm.(2)设PQ=xmm,则 PN=2xmm,AE=(80-x)mm.:'四边形PNMQ是 矩形，PN/C△APNO△ABC.. 即-80，解得x=202x-49:这个矩形 120 80 零件的两条边长分别为 480 mm, 7 mm. 专题特训六相似三角形的常考模型 1.(1)BC2=BF·BA,∴.BC:BF=BA:BC.又 ∠ABC=∠CBF,.△ABC△CBF.DE∥BC, ∴.△CBF△GDF.∴.△ABCO△GDF.(2)如图，过 点A作AH∥BC,交CF的延长线于点H.:'DE∥BC, ∴.AH∥DE.E为AC的中点，∴.易得GE是△AHC 的中位线.∴.AH=2EG.:AH∥DG,∴.△AHF∽ △a提品瓷品 Hs- (第1题) 2(1):DA=DB,EB=C,·路=哭.又 EB ∠ADB=∠BEC,.△DAB∽△EBC.∴.∠DAB= ∠RC,器-：AD∥ER.:∠DMF-∠EB, ∠ADF=∠DBE,△ADrO△EBF.器-器 -PF.DF·BC=BF·AB.(2)由(ID,得 △DABD△EBC,.∠DBA=∠ECB.:∠FAB= ∠EAC,∴△ABF∽△ACE.·A5-BF. AC CE AC-正，即B “m=0E6-=由0.0器是 AC DF AC “贺以=1+需易特德 AB·BC AB 2 船-=设DF=5+1z,则F=2a DF DF (5+1)x=5+1_5-1 .BD-BF+DF-2x+5+1)x5+3 2 小號的价为5 3.(1)①由题意，得∠A=∠DEF=∠B=90°， ∴.∠ADE+∠AED=∠BEF+∠AED=90°， ∴.∠ADE=∠BEF.∴.△AED∽△BFE. ②△AED∽△BFE,∴.AD:BE=AE:BF.:E为 AB的中点.AE=BE=2AB=5.6:5=5:BR. &BF=答 (2)∠ACB=90,AC=BC, 38 ∴.∠CAB=∠CBA=45°.∠CEF=45°，.∠ACE+ ∠CEA=∠BEF+∠CEA=135°..∠ACE=∠BEF】 .△ACEc∽△BEF...AC:BE=CE:EF..'AC= BC,AB=4,.AC=BC-AB-2W2.:△CEF为等腰三 √2 角形且∠ECF≠90°，∴.分三种情况讨论：当EC=EF时， 则BE=AC=2√2：当FC=FE时，又∠CEF=45°，∴.易 知△CEF是以∠CFE为直角的等腰直角三角形.∴.易知 CE:EF=2..AC BE=CE EF=2...BE= C=2.当CE=C下时，显然不成立.综上所述，BE的长为 √ 2√2或2. 4.(1)BD=√3CE,BD⊥CE在题图①中，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=√15，AC=√5，.AB=√5AC. :D,E分别是AB,AC的中点，AD=2AB,AE= 2AC.AD-5AE.如图①，延长BD与CE相交于点 F,与AC相交于点H.∠BAC=∠DAE=90°，.易得 ∠BAD=∠CA.又：把=0=原，△BAD☑ △CE.·器-提-5，即BD=5CE,∠ABD ∠ACE.:∠AHB=∠CHF,∴.△ABH∽△FCH. .∠CFH=∠BAH=90°..BF⊥CE,即BD⊥CE (2)氵如图@，连接BD.由(I)可知，△BAD△CAE. 80-根=8.CE=Bm=a又：M是AB 的中点，N是CD的中点MN=2BD=多 D M ② (第4题) 22.5简单的位似图形 1.D选项D图中两个图形对应边不平行，不符合位似图 形的定义，故不是位似图形，符合题意 方法归纳 判断两个图形是否是位似图形的思路 两个图形是位似图形，必须同时满足下面的条件： 首先，两个图形必须相似且对应边平行或在一条直线 上；其次，每组对应顶点的连线交于一点.这两个条件缺 一不可 D 2(2.2或(-6-2》在y=x+1中，当x=0时y 1;当y=0时，x=-2,∴.A(-2,0),B(0,1)..OB=1, OA=2.:△BOC与△B'O'C是以点A为位似中心的位 OB OA 1 似图形，且相似比为2心OB一OA-2小0B'-2, OA=4.点B的对应点B的坐标为(2,2)或（一6，一2）. 3.(1)(一5，一1).(2)如图，△OA2B2即为所求. (3)(2m,2n). (第3题) 4.D如图，画出△OA,B1,由图可得，点B,的坐标为(4， 0),故A正确.△OA,B,与△OAB位似，相似比为2， .A,B1∥AB,△OA,B1与△OAB的周长之比为2：1， △OA1B1与△OAB的面积之比为4：1，故B,C正确，D 不正确. 0 B B. (第4题) 5.2√3如图，易知当位似中心为点D时，点A,与点B 间的距离最大.正方形ABCD的边长为4，正方形 A,BCD,∽正方形ABCD,相似比为分正方形 A,B,C,D1的边长为2.∴.A,B=√AA+AB= √6+4=23，即点A,与点B间的最大距离为 2√/13. C D(D,) A (第5题) 39