第5章二次函数单元检测题（1）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年北师大版九年级上期二次函数单元检测题（1） 一．选择题（共10小题） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝x2﹣1 B． C． D． 2．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4） 3．二次函数y＝x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）化为一般形式是（　　） A．y＝x2﹣5x+5 B．y＝x2+5x+5 C．y＝x2+5x﹣5 D．y＝x2+5 4．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论中错误的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4a+2b+c＞0 D．c+8a＞0 6．二次函数的部分图象如图所示，当x＞0时，y的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+b的图象可能为（　　） A． B． C． D． 8．如图是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象，则b，c的值可能为（　　） A．b＝﹣3，c＝4 B．b＝﹣3，c＝﹣4 C．b＝3，c＝﹣4 D．b＝3，c＝4 9．已知点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在二次函数y＝x2﹣4x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④a﹣b+c＞0，⑤a+b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共5小题） 11．二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为_________ ． 12．把抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________________ ． 13．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0），则m的值为 _____ ． 14．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），则m﹣n＝_____ ． 15．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，当0≤x≤2时，函数y的取值范围为 ___________ ． 三．解答题（共5小题） 16．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，0），（2，1）． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点M（4，﹣3）是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 17．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B、与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标； （2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． 20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 2026-2027学年北师大版九年级上期二次函数单元检测题（1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：y＝x2﹣1符合二次函数的定义， yx，y，y不符合二次函数的定义，它们不是二次函数， 故选：A． 2．【解答】解：∵根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象的顶点坐标为（h，k）， ∴抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（3，﹣4）， 故选：D． 3．【解答】解：由题知， y＝x2﹣2（3x﹣2）+（x+1） ＝x2﹣6x+4+x+1 ＝x2﹣5x+5， 所以二次函数y＝x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）化为一般形式是：y＝x2﹣5x+5． 故选：A． 4．【解答】解：A、a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B、对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C、顶点坐标为，说法正确，符合题意； D、当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．【解答】解：观察图象可得c＞0，抛物线开口向下，则a＜0， 对称轴为直线x＝1，则b＞0，且， 则abc＜0，b+2a＝0，故A、B选项正确； 当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故C选项正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴当x＝﹣2时，y＜0， 即4a﹣2b+c＜0，代入b＝﹣2a， 则4a+4a+c＝8a+c＜0， 故D选项错误， 故选：D． 6．【解答】解：二次函数yx2+2x+3，a0，开口向上， x2， 当x＞0时，y随x增大而增大， 当x＝0，y＝3，因此x＞0时，y＞3， 选项里只有4满足y＞3， 故选：D． 7．【解答】解：因为一次函数和二次函数的解析式分别为y＝ax+b和y＝ax2+b， 不难发现，当x＝1时，两个函数的函数值都是a+b； 当x＝0时，两个函数的函数值都是b． 所以两个函数图象的交点坐标为（1，a+b）和（0，b）． 因此只有B选项符合题意． 故选：B． 8．【解答】解：如图所示： 由图象可知c＞0， 满足条件的是AD； ∵抛物线的对称轴， ∴b＞0， 满足条件的是D； 故选：D． 9．【解答】解：由解析式可知： 当x＝﹣1时，， 当x＝2时，， 当x＝3时，， ∴y1＝5+c，y2＝﹣4+c，y3＝﹣3+c， ∵5＞﹣3＞﹣4， ∴5+c＞﹣3+c＞﹣4+c， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 10．【解答】解：由图象可得，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴c＜0，a＞0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①正确，符合题意； ∵抛物线图象与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确，符合题意； 由图象可得，x＝2时，y＜0，故4a+2b+c＜0，故③错误，不符合题意； 由图象可得，当x＝﹣1时，y＞0，故a﹣b+c＞0，故④正确，符合题意； 由图象可得，当x＝1时，二次函数有最小值为a+b+c， ∴m为任意实数，am2+bm+c≥a+b+c，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意； 由图象可得，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥正确，符合题意； 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 12．【解答】解：由题意得，平移后得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣3． 故答案为：y＝2（x+1）2﹣3． 13．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0）， ∴令ax2﹣2ax﹣3＝0，则m，﹣1为方程ax2﹣2ax﹣3＝0的两个根， ∴， ∴m＝3， 故答案为：3． 14．【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，如图所示． ∵点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，且A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0）， ∴点A的坐标为（m，﹣m2+4），点C的坐标为（n，﹣n2+4）， ∴AM＝m，CN＝n． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°． ∵∠CDN+∠DCN＝90°，∠CDN+∠ADM＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DCN＝∠ADM． 在△ADM和△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（AAS）． ∴DN＝AM＝m，DM＝CN＝n． ∴MN＝DN+DM＝m+n＝（﹣n2+4）﹣（﹣m2+4）＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）． ∴m﹣n＝1． 故答案为：1． 15．【解答】解：由函数的图象知，图象过点（0，﹣3）和（2，1），且当0≤x≤2时，函数值y随x的增大而增大， 所以当0≤x≤2时，函数y的取值范围为﹣3≤y≤1． 故答案为：﹣3≤y≤1． 三．解答题（共5小题） 16．【解答】（1）解：二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，0），（2，1）， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3； （2）解：当x＝4时，y＝﹣42+4×4﹣3＝﹣16+16﹣3＝﹣3， ∴点M（4，﹣3）在该二次函数的图象上． 17．【解答】解：（1）由劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田可得： 2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80， ∵S＝xy， ∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x； ∵y≤42， ∴﹣2x+80≤42， ∴x≥19， ∴19≤x＜40； （2）当S＝750时，﹣2x2+80x＝750， x2﹣40x+375＝0， （x﹣25）（x﹣15）＝0， ∴x＝25或x＝15（舍去）， ∴当x＝25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2； （3）将函数解析式化为顶点式可得： S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x）＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800， ∴当x＝20m时，S有最大值800m2． 18．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ∴顶点坐标为：（1，4） （2）由于抛物线的对称轴为：x＝1， ∴0＜x＜3时， ∴0＜y≤4 （3）设P（x，y） ∴△PAB的高为|y|， ∵A（﹣1，0）、B（3，0） ∴AB＝4 ∵S△PAB＝10， ∴4×|y|＝10 ∴y＝±5， 当y＝5时， ∴5＝﹣x2+2x+3 此时方程无解， 当y＝﹣5时， ∴﹣5＝﹣x2+2x+3， 解得：x＝4或x＝﹣2， ∴P（4，﹣5）或（﹣2，﹣5） 19．【解答】解：（1）把A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3， 令y＝0得x2+2x﹣3＝0， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）； （2）设直线BC解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BC解析式为y＝﹣x﹣3， 设P（m，﹣m﹣3），其中﹣3＜m＜0，则Q（m，m2+2m﹣3）， ∴PQ＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0， ∴当m时，PQ取最大值， ∴线段PQ长度的最大值为． 20．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+3）（x﹣1）， 将点C的坐标代入上式得：3＝a（0+3）（0﹣1），解得a＝﹣1， 故抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 设P（t，﹣t2﹣2t+3），且﹣3＜t＜0，则F（t，t+3）， ∵B（1，0）， ∴E（1，4）， ∴BE＝4，PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵BE∥y轴，PF∥y轴， ∴BE∥PF， ∴△BDE∽△PDF， ∴（t）2， ∵﹣3＜t＜0， ∴当t时，取得最大值， ∵S△APD＝kS△ABD， ∴k， ∴k的最大值为， ∴0＜k； （3）如图，过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，则∠MKO＝∠QTO＝90°， 当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时， ∴OM＝OQ，∠MOQ＝90°， ∴∠MOK+∠QOK＝90°， ∵∠QOT+∠QOK＝90°， ∴∠MOK＝∠QOT， ∴△OMK≌△OQT（AAS）， ∴OK＝OT，MK＝QT， 设点M（x，x+3），则OK＝﹣x，MK＝﹣x﹣3， ∴OT＝﹣x，QT＝﹣x﹣3， ∴Q（x+3，﹣x）， ∵点Q在抛物线上， ∴﹣x＝﹣（x+3）2﹣2（x+3）+3， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4， ∴M（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）； 当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q（﹣x﹣3，x）， ∵点Q在抛物线上， ∴x＝﹣（﹣x﹣3）2﹣2（﹣x﹣3）+3， 解得：x1＝﹣5，x2＝0（舍去）， ∴M（﹣5，﹣2）； 当点M（0，3）绕O逆时针旋转90°时，对应点Q（﹣3，0）刚好落在抛物线上； 综上所述，点M的坐标为（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）或（0，3）或（﹣5，﹣2）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $