主题3 函数-【初中五大科核心考点一本全】2026年初中数学考点练习

主题 函数 函数 函数 次函数 二次函数 反比例 锐角三角 函数 函数 函数值 y x≠0明 函数自变量 函数图象及表示方法 正比例函数 一次函数 确定一次函数解析式 利用一次函数解决实际 问题的一般步骤 一次函数的图象和性质 一次函数图象的平移 实际问题与二次函数 反比例函数 学 反比例函数的图象和性质 实际问题与反比例函数 锐角三角函数 测量物体高度的常见类型 第11节 函数 核心考点 考点1 函数自变量3年364考 类型 举例 自变量的取值范围 函数自变量的取值范围是指使函数有意义时 整式型 y=2x2+3x+1 全体实数 自变量的取值的全体 1 分母不为0，即 (1)求自变量的取值范围通常从两个方面考 分式型 y= x-1 x≠1 虑：一是要使函数的解析式有意义；二是符合 实际意义 被开方数大于或 二次根式型 y=x-3 等于0，即x≥3 (2)自变量的取值范围可以是无限的，也可 以是有限的，还可以是单独一个（或几个） 零指数幂型 y=x°或 底数不为0，即 数，在一个函数关系式中，同时有分式、二次 或负整数指 y=x-2 x≠0 根式等，函数自变量的取值范围应是各个式 数幂型 子中自变量取值范围的公共部分 使各部分都有意义的自变量取值 综合型 范围的公共部分 常见函数自变量取值范围的确定如下表. 086 主题三函数 工速记口诀分式分母不为0，偶次根下 续表 负不行.零次幂底数不为0，整式奇次 表示 定义 优点 缺点 根全能行 方法 把一系列自 一 目 了 ·考点2 函数图象及表示方法3车28考 变量的值和 然，对表 列出的对应 格中已有 值是有限 1.描点法画函数图象的一般步骤 对应的函数 自变量的 的，而且在 例表法 值列成一个 每 一 个 表格中也不 列表 表中给出一些自变量的值及其对应 表格来表示 函数关系的 值，可直 容易看出自 的函数值 接得出与 变量与函数 方法叫作列 之间的变化 在平面直角坐标系中，以自变量的 它对应的 表法 描，点 值为横坐标，其对应的函数值为纵 函数值 规律 坐标，描出表格中数值对应的各，点 直观、形 所画的图象 连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所 用图象来表 象地反映 是近似的、 描出的各，点用平滑曲线连接起来 图象法 示函数关系 出自变量 局部的，从 数 的方法叫作 与函数的 图象上观察 2.函数的表示方法 图象法 关系的变 的结果也是 学 化趋势 近似的 表示 方法 定义 优点 缺点 注意：(1)函数的三种表示方法有时可以互 用关于自变 从函数解析 相转化.(2)并不是所有的函数都可以用这 能准确地 式很难直观 量的数学式 三种方法表示出来.例如，气温与时间的函数 子表示函数 反映整个 地看出函数 解析 变化过程 的变化规 关系，只能用列表法和图象法表示，而不能用 与自变量之 式法 中自变量 律，而且有 解析式法表示 间的关系的 方法叫作解 与函数的 些函数不能 关系 用解析式法 智易错警示 析式法 函数表示两个变量之间的 表示出来 种关系，函数值是一个数值 高频考法 考法① 函数自变量的取值范围 A地的路程y(单位：km)与时刻t之间的对 应关系如图所示，下列结论错误的是( 中考母题12025·云南中考 函数y= y/km x一的自变量x的取值范围为( 1 300 A.x≠4 B.x≠3 C.x≠2 D.x≠1 中考母题22023·广安中考 甲 在函数y= 06:007:008:30100011:00 Yx+2中，自变量的取值范围是 A.乙车先到达B地 B.A,B两地相距300km 考法②从函数图象中获取信息 C.甲车的平均速度为100km/h 中考母题2025·青海中考甲、乙两车从 D.在8：30时，乙车追上甲车 A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开 【答案】考法1：Dx≥-2且x≠1考法2：C /087 初中五大科核心考点一本全 第12节 一次函数 核心考点 ·考点正比例函数 3年356考 次函数y=x+b的图象与性质如下： 一般地，形如y=x(k是常数，k≠0)的函数， k>0 k<0 叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.例 b>0 b<0 b>0 b<0 如，y=-2x,y= 5等都是正比例函数 正比例函数y=x的图象与性质如下： 图象 0% 学 k>0 k<0 第 一、 第 一、 第一、 第二、 经过的 图象 二、 三 三、四 二、四 三、四 象限 象限 象限 象限 象限 经过的 第一、三象限 第二、四象限 y随x的增大而 y随x的增大而 象限 性质 增大 减小 y随x的增大而 y随x的增大而 性质 ·考点3 增大 减小 确定一次函数解析式3车2考) 1.用待定系数法求函数解析式的一般 注意：(1)正比例函数中自变量x的取值范 步骤 围是全体实数.(2)正比例函数的比例系数 设一次函数的解析式为y=x+b 的符号决定其增减性，同时决定函数图象所 设 (k,b为常数，k≠0) 经过的象限.（3)正比例函数y=x(k≠0) 列 把已知条件代入解析式，列出 中，k|越大，直线y=x越靠近y轴，即直线 关于k,b的方程（组) 与x轴的夹角越大；IkI越小，直线y=kx越 靠近x轴，即直线与x轴的夹角越小 解 解方程（组)，求出k,b的值 考点2一次函数3车6考 将k,b的值代入所设的一次函 一般地，形如y=x+b(k,b是常数，k≠0)的 数的解析式 函数，叫作一次函数.当b=0时，y=x+b即 了速记口诀求函数，细分析，用待定，分 y=x,所以说正比例函数是一种特殊的一次 四步.一步设，二步列，三求解，四回代 函数 088 主题马函数 2.用平移法求函数解析式的一般步骤 考点4 利用一次函数解决实际问题 y=kx+b+a 的一般步骤3年412考 向上平移a个单位长度 仔细审题，理解题意 找 找出实际问题中的变量和常量，明 y=k(x+向左平移y=kx+b向右平移y=k(x a)+ba个单位 (k≠0)a个单位a)+b 确它们之间的关系 长度 长度 列 列出一次函数解析式，弄清自变量 向下平移 a个单位长度 的取值范围 根据题目中的已知条件，由一个变 y=kx+b-a 解 量求另一个变量，也就是解方程的 过程 注：上图中a>0. 验 检验结果，得出符合实际的结论 数 高频考法 学 考法① 一次函数的性质 (2)m≥1.提示：当m=1时，如图，易知 中考母题2024·长沙中考 对于一次函 直线y=x与直线y=x-1平行，且当x> 数y=2x-1,下列结论正确的是( 2时，x>x-1,且x>-x+3.将直线y=x A.它的图象与y轴交于点(0，-1) 绕点0逆时针旋转，旋转角小于45°，在此 B.y随x的增大而减小 期间，旋转得到的直线对应的函数满足题 C.当x>2时，y<0 意.综上可知，m的取值范围为m≥1. D.它的图象经过第一、二、三象限 Y=X-] 考法②一次函数的解析式 中考母题2024·北京中考 在平面直角 坐标系xOy中，函数y=x+b(k≠0)与y= =-x+3 -x+3的图象交于点(2,1) 考法③利用一次函数解决实际问题 (1)求k,b的值； 中考母题2024·山西中考生物学研究 (2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值， 表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(单 也大于函数y=-x+3的值，直接写出m的 位：cm)是尾长x(单位：cm)的一次函数，部 分数据如下表所示，则y与x之间的关系式 取值范围： 为( ) 【解析】(1)将(2,1)代入y=-x+3,得 尾长x/cm 6 8 10 -2k+3=1,解得k=1. 体长y/cm 45.5 60.5 75.5 将(2,1)代入y=x+b,得2+b=1,解得 A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5 b=-1. C.y=15x D.y=15x+45.5 【答案】考法1：A考法3：A /089 初中五大科核心考点一本全 第13节 二次函数 核心考点 ·考点1 二 次函数的图象和性 ·考点2 二次函数图象的平移3年258考 质3年416考专 函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线， 它可以理解成由抛物线y=ax2向右平移h 函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) (h>0)个单位长度，再向上平移k(k>0)个 a>0 a<0 单位长度得到的.具体平移方法如下： 向上（>0)或 学 图象 向下(k<0) y=ax 平移个单位长度 y=ax2+h 外 向右 计 2a 卡 >0 卡 或向左 0 在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧， 4 b 即当x<- 2a 时，y 即当x<一 b 平移个单位长度 2a 时，y 再向上(k>0)或向下(k<0) 平移个单位长度 <0) 可 随x的增大而减 随x的增大而增 * Y 增减性 小；在对称轴的右 大；在对称轴的右 向上(>0)或 侧，即当x>- b 侧，即当x>一 =a(x-h)2 向下（k<0) -y=a(x-h)2+k 2a 2a 平移附个单位长度 时，y随x的增大 时，y随x的增大 ·考点3 实际问题与二次函数3车39考 而增大 而减小 利用二次函数解决实际问题的一般步骤 抛物线有最低点， 抛物线有最高点， 如下 当x=-2时，y有 当x=一 找出问题中的常量与变量，并分析 审 它们之间的关系.若有图形，则要注 最值 时有 最小值，y最小值= 最大值，y最大位= 意结合图形进行分析 4ac-b2 4ac-b2 设 设适当的未知数 Aa Aa 用二次函数表示出变量之间的关系， X速记口决 列 建立二次函数模型，写出二次函数 的解析式及自变量的取值范围 二次函数抛物线，图象对称是关键， 开口、顶，点和交点，共同确定图象现 解 按题目要求，结合二次函数的性质 解答相应的问题 开口方向由a断，c与y轴来相见. b的符号较特别，符号与a相关联 验 检验所得解是否符合实际 顶点坐标最重要，一般式配方它就现， 答 确定实际问题的答案 090 主题马函数 高频考法 华一仪三 考法①求二次函数解析式 数图象的对称轴为直线x=m. 中考母题2023·上海中考 一个二次函 (1)求m的值 数y=ax2+bx+c图象的顶点在y轴正半轴 (2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图 象上，将该二次函数的图象向上平移5个单 上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这 位长度，得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4 个二次函数的解析式可以是 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和， 考法②二次函数的图象与性质 中考母题2024·陕西中考已知一个二 【解析】(1)点P(2,-3)在二次函数 次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y y=ax2+bx-3(a>0)的图象上，.4a+ 2b-3=-3,.b=-2a,.抛物线的对称 数 的几组对应值如下表： 学 -4 -2 0 5 轴为直缘x=-202n=1,·m=1 2a 24 -8 0 -3 -15 (2)由(1)得，y=ax2-2ax-3,Q(1, 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的 -4),.-4=a-2a-3,解得a=1,.y= 是( x2-2x-3,∴.平移后新的二次函数的解 A.图象的开口向上 析式为y=x2-2x+2,其对称轴为直线 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 x= 2录10E≤4当=1时， D.图象的对称轴是直线x=1 函数取最小值，最小值为12-2×1+2=1； 考法③二次函数的平移 当x=4时，函数取最大值，最大值为42 2×4+2=10.∴.当0≤x≤4时，新的二次 中考母题2024·山东中考节选在平面 函数的最大值与最小值的和为10+ 直角坐标系xOy中，点P(2,-3)在二次函数 1=11. y=ax2+bx-3(a>0)的图象上，记该二次函 第14节 反比例函数 核心考点 考点1 反比例函数3年32考 是函数.自变量x的取值范围是不等于0 1.定义 的一切实数 一般地，形如y=(为常数，k≠0)的函 。易错警示 在描述反比例函数的增减性 时，必须指明是“在每一个象限内” 数，叫作反比例函数，其中x是自变量，y 【答案】考法1：y=-x2+1(答案不唯一)考法2：D 091 初中五大科核心考点一本全 2.用待定系数法求反比例函数的解析： 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中 式的一般步骤 心对称图形.其对称轴为直线y=x和y= 根据题意， 设反比例函数的解析 -x,对称中心为原点 式为y= (k≠0)》 工速记口诀反比例函数有特点，双曲线 列 把x,y的一对对应值代入=套中 相背离得远.飞为正时图一三，k为负 得到一个关于k的方程 时图二四.图在一三函数减，图在二四 解 解方程，求出k的值 正相反.曲线越长越近轴，永远与轴不 将k的值代入所设解析式中，即 沾边， 写 可写出该反比例函数的解析式 考点2 反比例函数的图象和性 ·考点3 实际问题与反比例函 质 3年368考 学 数3车213考 k的 k>0 k<0 用反比例函数解决实际问题的一般步骤 符号 如下 图象 审 审清题意，找出题目中的常量、变量 并理清常量与变量之间的关系 根据常量与变量之间的关系，设出函 图象 图象分别位于第 图象分别位于第 设 数解析式，待定的系数用字母表示 位置 一、第三象限 二、第四象限 列 由题目中的已知条件列出方程，求出 增减性 在每一个象限内，y 在每一个象限内，y 待定系数 随x的增大而减小 随x的增大而增大 写 写出函数解析式，并注意解析式中自 (1)图象是关于直线y=x或y=-x 图象 对称的双曲线.（2)图象是关于原点 变量的取值范围 特征 对称的双曲线.(3)图象无限接近坐 解 由反比例函数的图象和性质解决实际 标轴，但不与坐标轴相交 问题 高频考法 考法①反比例函数的图象与性质 考法② 利用反比例函数解决实际问题 中考母题2024·广西中考 已知点M(x1, 中考母题新考向·机器狗如图， ),N(x,)在反比例函数y=2的图象 机器狗是一种模拟真实犬只形态和 部分行为的机器装置，其最快移动速度v(/s) 上.若x1<0<x2,则有( 是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一 A.y1<0<y2 款机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快 B.y2<0<y1 移动速度v=6m/s;当其载重后总质量m= C.y1<y2<0 90kg时，它的最快移动速度v= m/s. D.0<y1<y2 092【答案】考法1：A考法2：4 主题马函数 第15节 锐角三角函数 核心考点 考点1 锐角三角函数3年32考 ·考点2测量物体高度的常见 1.锐角三角函数 B 斜边c ∠A的 类型3年428考 ∠A的正弦、余弦、正切 对边a 1.利用水平距离测量物体的高度 都是∠A的锐角三角 ∠A的邻边b 函数 数学模型及应测数据 数量关系 名称 定义 数学语言 tan a= tan 数 在Rt△ABC中，∠C= ox1%2 B a 学 90°，把锐角A的对边 在Rt△ABC中， tana·tanB a,B,水平距离a l=a· ∠C=90°， tan a tan B 正弦 与斜边的比叫作∠A 的正弦，记作sinA,即 sin A=a tan a=- sinA=∠A的对边 +x 斜边 a tan B=- x tana·tanB 在Rt△ABC中，∠C= l=a a,B,水平距离a tan B-tan a 90°，把∠A的邻边与 在Rt△ABC中， 2.测量底部不可到达的物体的高度 余弦 斜边的比叫作∠A的 ∠C=90°， 余弦，记作c0sA,即 cos A=b 数学模型及应测数据 数量关系 cosA=∠A的邻边 h 斜边 tan a=- ,tan B=a 在Rt△ABC中，∠C= h=a+h1=a+anc。 90°，把∠A的对边与 在Rt△ABC中， a(1+tan a tan Ba= 正切 邻边的比叫作∠A的 ∠C=90°， 仰角a,俯角B,高度a tan B 正切，记作tanA,即 tan A=a hy tan o= tan A ∠A的对边 +x’ ∠A的邻边 h hy tan B=- 2.特殊角的锐角三角函数值 a a,tana·tanB h,= tanB-tana’ 30° 45° 60° 仰角&，仰角B,水平 h = a2+h1 sin A 2 √3 距离a1,高度a2 2 a,tana·tanB 2 2 a2+ tan B-tan a cos A ③ 2 2 2 2 h tan a=- tan A 3 1 3 3 tan B= h-a X速记口诀1,2,3；3,2,13,9,27；弦比2， X atan a 仰角，仰角B,高度a h= 切比3，分子根号别忘添 tan a-tan B 093 初中五大科核心考点一本全 高频考法 考法① 锐角三角函数 ∠ADC=45°， 中考母题新考向·卫星发射如图，2024 .AH=DH=CD+CH=(4+33)m, 年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫 星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射. ∴.AB=AH-BH=4+3√3-3=1+ 当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达 35≈6.2(m): 测得点R到点A的距离为akm,仰角为0，则此 答：杨树AB的高度约为6.2m. 时火箭距海平面的高度AL为( 中考母题2新角度·综合与实践【实践 课题】如图1，测量湖边观测点A和湖心岛上 鸟类栖息点P之间的距离. 学 B 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况， A.asin 0 km B.- a km sin 6 在岸边选取合适的点B,测量A,B两点间的 C.acos 0 km D.akm 距离以及∠PAB和∠PBA,测量三次取平均 cos 0 值，得到数据：AB=60m,∠PAB=79°， 考法②解直角三角形 ∠PBA=64°.画出示意图，如图2. 中考母题12024·通辽中考 在“综合与 【问题解决】计算A,P两点间的距离 实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树（如 (参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98， 图1)的高度.如图2，从C点测得杨树底端B cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75) 点的仰角是30°，BC长6m,在距离C点4m P。 处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45， 求杨树AB的高度.（精确到0.1m,AB,BC, CD在同一平面内，点C,D在同一水平线上， 图1 图2 参考数据：3≈1.73) 【解析】如图，过点B作BH⊥ AP于点H.在Rt△ABH中， B AB=60m,∠HAB=79°， Hh.--B D45o 145· 309 D .AH=AB·cos79°≈60×0.19=11.4(m), 图1 图2 BH=AB·sin79°≈60×0.98=58.8(m). .∠PAB=79°，∠PBA=64°， 【解析】如图，延长AB 交DC的延长线于点H, .∠P=180°-79°-64°=37°， 则∠AHD=90°. PH=B明。58,8=78.4(m), D445°30 tan37°0.75 .∠BCH=30°，BC=6m, C H .AP=AH+PH=11.4+78.4=89.8(m). .BHBC=3 m,CHBC=3/3m. 答：A,P两点间的距离约为89.8m. 2 094 【答案】考法1：A