2026年九年级中考数学一轮复习函数重难点专项强化训练

2026年初三函数重难点专项强化训练 一．平面直角坐标系（共12题） 1．如图，在平面直角坐标系中有点A（1，0），第1次点A跳动至点A1（﹣1，1），第2次点A1跳动至点A2（2，1），第3次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第4次点A3跳动至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，则点A2025与点A2026之间的距离是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 2．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2025的坐标为（　　） A．（﹣1012，0） B．（1014，0） C．（2，﹣507） D．（1，506） 3．规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），⋯按这样的规律，则点A2026的坐标为（　　） A．（4050，0） B．（4050，﹣4） C．（4052，0） D．（4052，﹣4） 4．如图，点P1的坐标为（1，0），P2为y轴正半轴上一点，且∠OP2P1＝30°，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从P1跳到P2处，第二步从P2跳到P3处，且P1P2＝P1P3，第三步从P3跳到P4处，且P2P3＝P2P4，第四步从P4跳到P5处，且P3P4＝P3P5，…，按此规律一直跳下去，则P10的坐标为（　　） A． B． C．（27，0） D．（0，81） 5．光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从A0（﹣2，﹣1）出发，经过A1（2，1）第1次全反射到达A2（6，﹣1），在A2经过第2次全反射到达A3（10，1），在A3经过第3次全反射到达A4（14，﹣1），依此类推，经过第2025次全反射到达A2026，则A2026的坐标为（　　） A．（8098，﹣1） B．（8098，1） C．（8102，﹣1） D．（8102，1） 6．如图，在平面直角坐标系中，点M（2，0），点A（0，2），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2026的横坐标是　 　 ． 8．如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数 y＝x与y＝﹣x之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，a1坐标为（0，0），根据这个规律，a2026的坐标是　 　 ． 9．为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形POMN是充电站的平面示意图，矩形A1B1C1D1是第一个停车位，矩形A2B2C2D2是第二个停车位…，所有车位长宽相同，按图示并列划定．若∠A1B1O＝60°，B1点坐标为（3，0），B2点坐标为（5，0），则D20的坐标为　 　 ． 10．如图，数轴上A点表示数﹣4，B点表示数6． （1）点P从A点出发，以每秒5个单位长度沿坐标轴匀速向右运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度沿坐标轴匀速向左运动： ①经过几秒，线段PB长度为2． ②经过几秒，线段PQ长度为2． （2）点P从A出发，以每秒5个单位长度在线段AB匀速往返运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度在线段BA匀速往返运动： ①点P往返一次，与点B相遇几次？时间是多少？ ②点P与点Q相遇第二十一次时，点P一共运动了多长时间？ 11．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即A（0，0）→A1（1，3）→A2（2，0）→A3（3，﹣2）→A4（4，0）→A5（5，3）→A6（6，0）→…，按这样的运动规律，完成下列任务： （1）直接写出下列各点的坐标： ①A199：　 　 ；②A2026：　 　 ； （2）在动点A的运动过程中，若有连续四点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），请写出y1，y2，y3，y4之间满足的数量关系，并说明理由． 12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A出发沿A→B方向运动，速度为1cm/s，到达点B停止运动；点Q从点B出发沿B→C→A方向运动，速度为2cm/s，到达点A停止运动．它们同时出发，设出发时间为x秒． （1）BP＝　 　 （用含x的代数式表示）； （2）当x＝　 　 秒时，PQ∥AC； （3）设△PQB的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 二．基础函数知识（共7题） 1．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着A﹣B﹣C，A﹣D﹣C运动，则△APQ的面积y与运动时间x之间的函数图象是（　　） A．B． C． D． 2．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P、Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿路线B→A→C向终点C运动，点Q沿路线B→C向终点C运动，记点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t之间的函数关系图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分）所示，则点Q的运动速度为（　　） A．1cm/s B．1.5cm/s C．2cm/s D．2.5cm/s 3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，点P从点C出发，沿C→E→D→A的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为xcm，图2是点P运动时，△AEP的面积s（cm2）随x（cm）变化的图象，则a的值为（　　） A．2.5 B．4 C．5 D．10 4．如图，在矩形ABCD中，PQ＝6cm，AC与BD交于点O，M是BC的中点．P，Q两点沿着B→C→D方向分别从点B，点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积S随时间t变化的图象最接近的是（　　） A．B． C．D． 5．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE＝x，CF＝y，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则： （1）AB＝　 　 ； （2）连接AF，若S△ADF＝8.8，则x＝　 　 ． 6．在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P．从点A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，如图，三角形PAC的面积为y，请结合图象分析： （1）当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为　 　 ； （2）当x＝2026时，y的值为　 　 ． 7．一个函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出函数的自变量x的取值范围． （2）当x的值逐渐变大时，函数值y怎样变化？ （3）求线段AB的长． （4）求△AOB的面积． 三．一次函数（共9题） 1．若a＞2，则一次函数y＝（1﹣a）x+a2﹣3（a为常数）的图象可能是（　　） A．B． C． D． 2．一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x﹣b分别与y轴交于点A、B，交点为（2，﹣1），在同一坐标系中图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．b＜0 B．点A、B关于x轴对称 C．k1＜0＜k2 D．当x＞2时，y1＞y2 3．如图，直线y＝﹣3x+b与直线y＝kx﹣2相交于点A（2，1），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线a的解析式为，直线b的解析式为直线a交y轴于点A，以OA为边作第一个等边三角形OAB，交直线b于点B，过点B作y轴的平行线交直线a于点A1，以A1B为边作第二个等边三角形A1BB1，交直线b于点B1，…顺次这样作下去，第2026个等边三角形的边长为（　　） A．22026 B．22025 C．4050 D．4052 5．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，四边形OE1C1D1，D1E2C2D2，D2E3C3D3，D3E4C4D4，…都是矩形，顶点D1，D2，D3，D4，…都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…都在直线1上，对角OC1，D1C2，D2C3，D3C4，•••都与直线l垂直，设矩形OE1C1，D1E2C2D2，D2E3C3D3，D3E4C4D4，…的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，依此规律，则S2026＝　 　 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯，都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，⋯，均在直线上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯的面积分别为S1，S2，S3，⋯，依据图形所反映的规律，S2026＝　 　 ． 7．如图，点A，B，C在一次函数b的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是　 　 ． 8．三八时节，花香满径，正是人间好时节．某花店老板做完市场调研后，决定多批发一些卡布奇诺玫瑰和佛洛伊德玫瑰．已知卡布奇诺玫瑰的批发价是每把40元，零售价是每把60元，佛洛伊德玫瑰的批发价是每把38元，零售价是每把50元．老板计划购进卡布奇诺玫瑰和佛洛伊德玫瑰共100把，且购进佛洛伊德玫瑰的数量不少于卡布奇诺玫瑰的数量的．设购进佛洛伊德玫瑰x把，出售这批卡布奇诺玫瑰和佛洛伊德玫瑰获得的总利润为y元． （1）求y与x的函数表达式． （2）当x取何值时，出售这批玫瑰获得的利润最大？最大利润是多少元？ 9．随着洗车服务需求的不断增长，智能洗车行业迎来了更加广阔的发展空间．已知某智能洗车店的洗车费用为30元/次，为回馈客户，该智能洗车店推出以下两种优惠方案： 方案一：按次收费，每次洗车打八折，没有额外费用； 方案二：办理年卡，年卡收费120元，每次洗车打六折． 若张叔叔一年洗车的次数为x（x为正整数）次，所需总费用为y元．（只选其中一种方案） （1）分别求出张叔叔选择两种优惠方案所需的总费用y与洗车次数x之间的函数关系式； （2）若张叔叔计划一年的洗车总费用为552元，请你分析他选择哪种方案更划算，并说明理由 三．反比例函数（共11题） 1．如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M、N不重合）．（　　） 甲、乙两位同学给出了下面的结论： 甲：△COM与△CON的面积一定相等； 乙：若AM：OB＝1：3，则S△MON＝4． A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 2．如图，在函数（k是常数且k＞0，x＞0）的图象上任取两点A和C（A在C左侧），分别过A、C作两条坐标轴的平行线，得到矩形ABCD（B在D左侧），连接BD、OB、OA，作直线AC分别交x轴、y轴于点E、F．在下列说法中，一定正确的是（　　） ①O、B、D三点共线；②AF＝CE；③若BD＝2OA，则∠AOB＝2∠BOE；④四边形ABOF和四边形BCEO的面积都等于k． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，在函数的图象上取三点A、B、C，由这三点分别向x轴、y轴作垂线，设矩形AA1OA2、BB1OB2、CC1OC2的面积分别为SA、SB、SC，则下列正确的是（　　） A．SA＜SB＜SC B．SA＞SB＞SC C．SA＝SC＝SB D．SA＜SC＜SB 4．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，AO＝AB，点C为OA的中点，若△ABC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣6 D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，6），B（m，1）是直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线的交点．现将线段AB及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为　 　 个． 6．如图，反比例函数的图象交Rt△OAB的直角边AB于点C，点B在x轴上，若A（3，4），OC平分∠AOB，则k的值是 　 　 ． （6题）（7题）（8题） 7．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于A，B两点．已知点A的横坐标为1，点B的横坐标为，连接OA，OB，则的长为　 　 （结果保留π）． 8．如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为2，则k的值为　 　 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+2与反比例函数的图象相交于A（1，3a），B（b，﹣1）两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点E位于A，D两点之间． （1）求a，b和k的值； （2）当△ACD面积为3时，求点D的坐标； （3）将△ADE沿着射线AB的方向平移后得到△A′D′E′，当AE＝DE时，是否存在△A′D′E′两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上有一点A的坐标为（1，m），点C（0，2），反比例函数与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，连接OA，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）点P从点A出发沿射线AB移动，点Q为第三象限双曲线上一点，当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 11．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点M在直线AB上，且位于第二象限，BM＝AB．过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交反比例函数的图象于第三象限的点C，连接OC，△OCN的面积为6． （1）求k值和点C的坐标； （2）如图，点D是直线AB上一动点，连接BC，OM，当△BCD的面积是△OCM面积的2倍时，求点D的坐标． 五．二次函数（共9题） 1．如图，抛物线yx2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（　　） （1题）（2题）（3题） A． B． C． D． 2．抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是C，直线x＝1与抛物线的交点为A，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0），下列结论：①2a+b＜0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，图象对称轴为直线x＝1，与x轴的正半轴交点位于（2，0）与（3，0）之间，对于这个函数有下列四个结论：①对任意实数t，不等式at2+bt+c≤a+b+c恒成立；②若方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则3＜|x1﹣x2|＜4；③若点（﹣2，y1），，（4，y3）在该函数图象上，则y3＜y1＜y2；④关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0的两根之和为4．则结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带．其中箭头的行进路线可看作一条抛物线，如图，是一名男生在投壶时，箭头行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度OA为，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点处．若BC是一个高为的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段），且OB＝3m，则这名男生此次投壶　 　 投中（请填“能”或“不能”）． 5．将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示，当直线y＝x+b与新图象恰有三个公共点时，b的值为　 　 ． 6．2026年3月25日，西安国际青年足球锦标赛中，中国U23国足对阵泰国U23队．比赛第67分钟，中国队球员陈泽仕在中圈弧附近观察到队友李新翔的跑位，送出一记精准的过顶长传，队友李新翔禁区前凌空破门，足球的飞行轨迹可近似看作二次函数抛物线． 以陈泽仕传球站立位置为坐标原点，足球水平前进方向为x轴建立坐标系，单位：米．已知： ①传球瞬间，足球高度为0.2米，即坐标为：（0，0.2）； ②足球飞行水平距离18米时，达到最高点，高度为7米； ③李新翔在点球点附近位置接球凌空射门． （1）求皮球飞行轨迹对应的二次函数表达式； （2）通过计算说明，若李新翔射门时，改为头球攻门，头部触球的高度是1.9米，问足球从传球点水平飞行到头触球的距离是多少米？ 7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点B、与x轴交于A（﹣4，0），C（1，0），点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，连接AE、BE． （1）求抛物线的解析式；（2）当△ABE的面积为3时，请直接写出m的值． 8．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx经过点（3，3），点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1，已知点M（1，1），作点A关于点M的对称点C，作点B关于点M的对称点D，构造四边形ABCD． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当A，B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标； （3）设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，当0＜m＜1时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为，求m的值． 9．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC交BC于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过平面上一点T（3，2）作任意一条直线KQ交抛物线于K，Q两点，过点A作直线AK，AQ，分别交y轴于M，N两点，试探究OM与ON的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 2026年初三函数重难点专项强化训练 参考答案与试题解析 一．平面直角坐标系（共12题） 1．如图，在平面直角坐标系中有点A（1，0），第1次点A跳动至点A1（﹣1，1），第2次点A1跳动至点A2（2，1），第3次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第4次点A3跳动至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，则点A2025与点A2026之间的距离是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【解答】解：由第1次点A跳动至点A1（﹣1，1），第2次点A1跳动至点A2（2，1），第3次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第4次点A3跳动至点A4（3，2）可得： 第1次点A跳动至点A1（﹣1，1）， 第2次点A1跳动至点A2（2，1）， 第3次点A2跳动至点A3（﹣2，2）， 第4次点A3跳动至点A4（3，2）， 第5次点A4跳动至点A5（﹣3，3）， 第6次点A5跳动至点A6（4，3）， ……， 第2n﹣1次跳动至点A2n﹣1（﹣n，n）， 第2n次跳动至点A2n（n+1，n）， ∴点A2025的坐标为A2025（﹣1013，1013）， 点A2026的坐标为A2026（1014，1013）， ∴点A2025与点A2026之间的距离是： 1014﹣（﹣1013）＝1014+1013＝2027， 故选：C． 2．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2025的坐标为（　　） A．（﹣1012，0） B．（1014，0） C．（2，﹣507） D．（1，506） 【答案】B 【解答】解：观察点的坐标变化发现：在x轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在x轴负半轴上的点横坐标每次减少2， 根据点旋转的度数，可看作循环，循环周期为4， ∵2025÷4＝506……1，由图可知A1（2，0），A5（4，0）⋯A4T﹣3（2n，0），T为循环周期， ∴A2025的坐标为（507×2，0），即为（1014，0）， 故选：B． 3．规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），⋯按这样的规律，则点A2026的坐标为（　　） A．（4050，0） B．（4050，﹣4） C．（4052，0） D．（4052，﹣4） 【答案】D 【解答】解：∵A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），A7（14，4），A8（16，4），A9（18，0），A10（20，﹣4），A11（22，﹣4），A12（24，0）， A13（26，4），A14（28，4），A15（30，0），A16（32，﹣4），A17（34，﹣4），A18（36，0）， …， ∴点An（n为正整数）的横坐标为2n，纵坐标为每6个一循环， ∴点A2026的横坐标为2×2026＝4052， ∵2026÷6＝337⋯⋯4， ∴点A2026的纵坐标与A4的纵坐标相同为﹣4， ∴点A2026的坐标为（4052，﹣4）， 故选：D． 4．如图，点P1的坐标为（1，0），P2为y轴正半轴上一点，且∠OP2P1＝30°，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从P1跳到P2处，第二步从P2跳到P3处，且P1P2＝P1P3，第三步从P3跳到P4处，且P2P3＝P2P4，第四步从P4跳到P5处，且P3P4＝P3P5，…，按此规律一直跳下去，则P10的坐标为（　　） A． B． C．（27，0） D．（0，81） 【答案】B 【解答】解：∵P1（2，0）， ∴OP1＝2， ∵∠P1OP2＝90°，∠OP2P1＝30°， ∴P1P2＝2P1O＝4，∠P2P1O＝60°， ∴OP2， ∵P1P2＝P1P3， ∴∠P1P2P3＝∠P1P3P2P2P1O＝30°， ∴OP3＝OP3OP2＝22×（）2，， 同理OP4＝2×（）3，OP5＝2×（）4， ......， ∴P10＝2×（）9＝81， ∴P10的坐标为（0，81）， 故选：B． 5．光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从A0（﹣2，﹣1）出发，经过A1（2，1）第1次全反射到达A2（6，﹣1），在A2经过第2次全反射到达A3（10，1），在A3经过第3次全反射到达A4（14，﹣1），依此类推，经过第2025次全反射到达A2026，则A2026的坐标为（　　） A．（8098，﹣1） B．（8098，1） C．（8102，﹣1） D．（8102，1） 【答案】C 【解答】解：2026＝2×1013， 由题意得下标为奇数的点的纵坐标为1，下标为偶数的点的纵坐标为﹣1， ∴A2026的纵坐标为﹣1， ∵下标为偶数的两个点之间的距离为8， ∴A2026的横坐标为：1013×8﹣2＝8102， ∴A2026的坐标为（8102，﹣1）． 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，点M（2，0），点A（0，2），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：在平面直角坐标系中，点M坐标为（2，0），点A坐标为（0，2），如图，连接MA，延长BM与圆交于C′点，连接AC′， ∴OA＝OB＝2， 在直角三角形AOM中，由勾股定理得：MA2， ∵点D是AC的中点， ∴OD∥BC且ODBC， ∴BC最大时，即当BC为直径（过圆心M）时，OD最大； ∵BC′是直径， ∴BC′＝4 ∵点D′是AC′的中点，OD′∥BC′ ∴OD′BC′＝2． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2026的横坐标是　675　 ． 【答案】675． 【解答】解：∵P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），P7（2，1），P8（3，1），P9（3，0），P10（3，﹣1），…， ∴点P的横坐标从P2的1开始，每过三个坐标，则增加1， ∵（2026﹣1）÷3＝675， ∴点P2026的横坐标为675． 故答案为：675． 8．如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数 y＝x与y＝﹣x之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，a1坐标为（0，0），根据这个规律，a2026的坐标是　（45，﹣45）　 ． 【答案】（45，﹣45）． 【解答】解：设a1＝2为第1层，a2→a3→a4为第2层，a5→a6→a7→a8→a9为第3层，…， 由图知，每一层末尾的点都在直线y＝x或直线y＝﹣x上， 则第1层：a1的坐标为（0，0），1＝12， 第2层：a4的坐标为（1，1），4＝22， 第3层：a9的坐标为（2，﹣2），9＝32， 第4层：a16的坐标为（3，3），16＝42， 第5层：a25的坐标为（4，﹣4），25＝52， …， 第n层：n为奇数时，的坐标为（n﹣1，﹣n+1），n为偶数时，的坐标为（n﹣1，n﹣1）， ∴a2025即的坐标为（45﹣1，﹣45+1），即（44，﹣44）， ∵2026＝2025+1， ∴由点的分布规律可知，a2025和a2026都在直线y＝﹣x上， ∴a2026的坐标为（45，﹣45）， 故答案为：（45，﹣45）． 9．为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形POMN是充电站的平面示意图，矩形A1B1C1D1是第一个停车位，矩形A2B2C2D2是第二个停车位…，所有车位长宽相同，按图示并列划定．若∠A1B1O＝60°，B1点坐标为（3，0），B2点坐标为（5，0），则D20的坐标为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵B1点坐标为（3，0），B2点坐标为（5，0）， ∴OB1＝3，B1B2＝5﹣3＝2， ∵∠A1B1O＝60°，∠A1OB1＝90°， ∴∠OA1B1＝30°， ∴A1B1＝2OB1＝6， ∴， ∵∠A1B1O＝60°，∠A1B1C1＝90°， ∴∠C1B1B2＝30°， ∴C1B2＝1， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴，， ∴D20的坐标为， 故答案为：． 10．如图，数轴上A点表示数﹣4，B点表示数6． （1）点P从A点出发，以每秒5个单位长度沿坐标轴匀速向右运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度沿坐标轴匀速向左运动： ①经过几秒，线段PB长度为2． ②经过几秒，线段PQ长度为2． （2）点P从A出发，以每秒5个单位长度在线段AB匀速往返运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度在线段BA匀速往返运动： ①点P往返一次，与点B相遇几次？时间是多少？ ②点P与点Q相遇第二十一次时，点P一共运动了多长时间？ 【答案】（1）①1.6 秒 或 2.4 秒； ②1秒 或 1.5 秒； （2）①相遇2次，时间是1.25 秒或3.25秒； ②41.25 秒． 【解答】解：（1）①由题意，∵A点表示数﹣4，B点表示数6， ∴AB＝6﹣（﹣4）＝10． 又∵t秒后P点表示的数为﹣4+5t， ∴PB＝|6﹣（﹣4+5t）|＝|10﹣5t|． 当PB＝2时：|10﹣5t|＝2， ∴t＝1.6或2.4秒． 答：经过1.6秒或2.4秒，线段PB长度为2； ②t 秒后，P 点表示的数为﹣4+5t，Q 点表示的数为 6﹣3t， ∴PQ＝|（﹣4+5t）﹣（6﹣3t）|＝|8t﹣10|． 当PQ＝2时：|8t﹣10|＝2， ∴t＝1或1.5． 答：经过1秒或1.5秒，线段PQ长度为2； （2）①P、Q 都在 AB 上往返运动速度和：5+3 ＝ 8， 迎面相遇规律：第 1 次相遇：合走 1 个全程， 第 2 次相遇：合走 3 个全程， 第 3 次相遇：合走 5 个全程，…… 第 n 次相遇：合走 （2n﹣1）个全程， P 往返一次时间：A→B：10÷5 ＝ 2 秒， B→A：10÷5 ＝ 2 秒， ∴往返一次：4 秒． 第 1 次相遇（2×1﹣1）×10 ＝ 10t1＝ 10÷8 ＝ 1.25 秒 （＜4，符合题意）， 第 2 次相遇（2×2﹣1）×10 ＝ 30t2＝ 30÷8 ＝ 3.25 秒 （＜4，符合题意）， 第 3 次相遇（2×3﹣1）×10 ＝ 50t3＝ 50÷8 ＝ 6.25 秒 （＞4，不合题意，舍去）， ∴点P往返一次，与点B 相遇2次，时间是1.25秒或3.25秒； ②由题意，第 n 次迎面相遇：合走路程 ＝ （2n﹣1）×10第 21 次：合走路程 ＝ （2×21﹣1）×10 ＝ 41×10 ＝ 410时间：t ＝ 410÷（5+3）＝ 410÷8 ＝ 41.25 秒． 答：点P与点Q相遇第二十一次时，点P一共运动了41.25秒． 11．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即A（0，0）→A1（1，3）→A2（2，0）→A3（3，﹣2）→A4（4，0）→A5（5，3）→A6（6，0）→…，按这样的运动规律，完成下列任务： （1）直接写出下列各点的坐标： ①A199：　（199，﹣2）　 ；②A2026：　（2026，0）　 ； （2）在动点A的运动过程中，若有连续四点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），请写出y1，y2，y3，y4之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①（199，﹣2）；②（2026，0）； （2）y1+y2+y3+y4＝1； 由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，﹣2，0为周期循环． ∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）为动点A在运动过程中的连续四点， ∴y1+y2+y3+y4＝3+0+（﹣2）+0＝1． 【解答】解：（1）观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∵199÷4＝49…3，2026÷4＝506…2， ∴A2026（2026，0），A199（199，﹣2）， 故答案为：①（199，﹣2）；②（2026，0）； （2）y1，y2，y3，y4之间满足的数量关系：y1+y2+y3+y4＝1． 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，﹣2，0为周期循环． ∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）为动点A在运动过程中的连续四点， ∴y1+y2+y3+y4＝3+0+（﹣2）+0＝1． 12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A出发沿A→B方向运动，速度为1cm/s，到达点B停止运动；点Q从点B出发沿B→C→A方向运动，速度为2cm/s，到达点A停止运动．它们同时出发，设出发时间为x秒． （1）BP＝　（8﹣x）cm （用含x的代数式表示）； （2）当x＝　　 秒时，PQ∥AC； （3）设△PQB的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）（8﹣x）cm； （2）； （3）． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴BP＝（8﹣x）cm， 故答案为：（8﹣x）cm； （2）当PQ∥AC时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）当0＜x≤3时，BQ＝2x，BP＝8﹣x， ＝﹣x2+8x， 当3＜x＜8时，过点Q作QH⊥AH于点H，则QH∥BC， ∴△AHQ∽△ABC， ∴， ∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 二．基础函数知识（共7题） 1．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着A﹣B﹣C，A﹣D﹣C运动，则△APQ的面积y与运动时间x之间的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：①当0＜x≤3时，过点B作BH⊥AD，交AD于点H， ∴AP＝AQ＝x，BH＝x•sin∠A， ∴，为二次函数； ②当3＜x≤4时，过点B作BH⊥AD，交AD于点H，过点P作PE⊥AD，交AD于点E， ∵AB＝3， ∴高为PE＝BH＝3sin∠A， ∴，为一次函数； ③当4＜x＜7时，如图所示，过点Q作QH⊥BC，交BC于点H，反向延长交AD的延长线于点I，过点A作AG⊥CG，交CB的延长线于点G， ∵▱ABCD中，AD∥BC， ∴QI⊥AI， ∵AG＝HI＝3sin∠A，BP＝x﹣3，CP＝CQ＝7﹣x，QH＝（7﹣x）sin∠A，QI＝HI﹣QH＝3sin∠A﹣（7﹣x）sin∠A＝xsin∠A﹣4sin∠A， ∴y＝S▱ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ﹣S△CPQ ， ∴，为二次函数，开口向下， 故选：C． 2．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P、Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿路线B→A→C向终点C运动，点Q沿路线B→C向终点C运动，记点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t之间的函数关系图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分）所示，则点Q的运动速度为（　　） A．1cm/s B．1.5cm/s C．2cm/s D．2.5cm/s 【答案】A 【解答】解：由图2可知，当P与A重合时，t＝4， ∴AB＝2×4＝8cm， ∵BC＝10cm，∠A＝90°， ∴， 过A作AD⊥BC于D， ， ∴， ∴8×6＝10AD， ∴， ∴， ∴， ∴BQ＝4cm， ∴点Q的运动速度为4÷4＝1（cm/s）． 故选：A． 3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，点P从点C出发，沿C→E→D→A的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为xcm，图2是点P运动时，△AEP的面积s（cm2）随x（cm）变化的图象，则a的值为（　　） A．2.5 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【解答】解：结合图形得， 当点P运动到点E处时，运动路程为a，即CE＝acm， ∵E为AB的中点， ∴AB＝2acm， 当点P运动到点D处时，运动路程为（a+3）cm， ∴DE＝3cm， ∵DE为中位线， ∴BC＝6cm， 此时△AEP的面积s为6cm2，即DE•AD＝6， ∴AD＝4 cm， ∴AC＝8 cm， ∴AB10（cm）， ∴CE＝5cm，即a＝5． 故选：C． 4．如图，在矩形ABCD中，PQ＝6cm，AC与BD交于点O，M是BC的中点．P，Q两点沿着B→C→D方向分别从点B，点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积S随时间t变化的图象最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8cm，AD＝12cm，AC与BD交于点O， ∴点O到BC的距离，到CD的距离， ∵点M是BC的中点， ∴， ∵P，Q两点沿着B→C→D方向分别从点B，点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动， ∴点Q到达点C的时间为6÷1＝6（s）， 点P到达点C的时间为12÷1＝12（s）， 点Q到达点D的时间为（6+8）÷1＝14（s）， ①0≤t≤6时，点P，Q都在BC上，PQ＝6cm， △OPQ的面积； ②6＜t≤12时，点P在BC上，点Q在CD上，CP＝12﹣t，CQ＝t﹣6， S△OPQ＝S△COP+S△COQ﹣S△PCQ ， ∴当t＝8时，△OPQ的面积最小，且最小值为10； ③12＜t≤14时，PQ＝6cm， △OPQ的面积； 纵观各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． 5．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE＝x，CF＝y，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则： （1）AB＝　5　 ； （2）连接AF，若S△ADF＝8.8，则x＝　1或3　 ． 【答案】（1）5； （2）1或3． 【解答】解：（1）∵BC＝4，BE＝x， ∴CE＝BC﹣BE＝4﹣x． ∵AE⊥EF， ∴∠AEB+∠CEF＝90°． ∵∠CEF+∠CFE＝90°， ∴∠AEB＝∠EFC． ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△AEB∽△EFC， ∴， 设AB＝m，则， ∴， 由图象可知，抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为， ∵抛物线过点（4，0）， ∴， ∴， ∴， ∴m＝5， ∴AB＝5． 故答案为：5． （2）∵S△ADF＝8.8，AD＝BC＝4， ∴， ∴CF＝CD﹣DF＝0.6， ∴， ∴x＝3或x＝1， 故答案为：1或3． 6．在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P．从点A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，如图，三角形PAC的面积为y，请结合图象分析： （1）当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y＝2x ； （2）当x＝2026时，y的值为　4　 ． 【答案】（1）y＝2x； （2）4． 【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝kx， ∵当x＝4时，y＝8， ∴4k＝8，解得：k＝2， ∴y与x的函数关系式为y＝2x； 故答案为：y＝2x； （2）①当点P在线段AB上移动时，即0≤x≤4，； ②当点P在线段BC上移动时，即4＜x≤8，； ③当点P在线段CD上移动时，8＜x≤12，； ④当点P在线段DA上移动时，12＜x≤16，； ∴点P的运动轨迹是以16为单位循环， ∵2026÷16＝126⋯⋯10， ∴当x＝10时，y＝4， ∴当x＝2026时，y的值为4． 故答案为：4． 7．一个函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出函数的自变量x的取值范围． （2）当x的值逐渐变大时，函数值y怎样变化？ （3）求线段AB的长． （4）求△AOB的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图象知，函数的自变量x的取值范围为：0≤x≤23； （2）当0≤x＜10时，函数值随x增大而增大； 当10≤x＜18时，函数值y不变； 当18≤x＜23时，函数值y随x增大而减小； （3）线段AB＝18﹣10＝8； （4）△AOB的面积8×12＝48． 三．一次函数（共9题） 1．若a＞2，则一次函数y＝（1﹣a）x+a2﹣3（a为常数）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由条件可知1﹣a＜0，a2﹣3＞0， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限． ∴选项D符合题意． 故选：D． 2．一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x﹣b分别与y轴交于点A、B，交点为（2，﹣1），在同一坐标系中图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．b＜0 B．点A、B关于x轴对称 C．k1＜0＜k2 D．当x＞2时，y1＞y2 【答案】C 【解答】解：一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x﹣b分别与y轴交于点A、B，交点为（2，﹣1），在同一坐标系中图象如图所示，则： A．由一次函数y1＝k1x+b与y轴的交点在y轴的负半轴，即b＜0，故A选项正确，不符合题意； B．由题意可得A（0，b），B（0，﹣b），即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意； C．由一次函数y1＝k1x+b，y随x增大而增大，即k1＞0；由一次函数y2＝k2x﹣b，y随x增大而减小，即k2＜0；则k2＜0＜k1，故C选项错误，符合题意； D．由函数图象可得：当x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在y2＝k2x﹣b上方，即y1＞y2，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．如图，直线y＝﹣3x+b与直线y＝kx﹣2相交于点A（2，1），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据一次函数与二元一次方程的关系可知：点A（2，1）的坐标同时满足两个直线的解析式， ∴方程组的解是． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线a的解析式为，直线b的解析式为直线a交y轴于点A，以OA为边作第一个等边三角形OAB，交直线b于点B，过点B作y轴的平行线交直线a于点A1，以A1B为边作第二个等边三角形A1BB1，交直线b于点B1，…顺次这样作下去，第2026个等边三角形的边长为（　　） A．22026 B．22025 C．4050 D．4052 【答案】B 【解答】解：延长A1B交x轴于D，A2B1交x轴于E， 由条件可知OA＝OB，A1B＝BB1，A2B1＝B2B1， ∵直线b的解析式为：， ∴∠BOD＝30°， 对于直线a，，当x＝0时，y＝1， ∴点A的坐标为（0，1）， ∴OA＝OB＝1， ∴，， ∴点B的坐标为， 对于，当时，， ∴点A1的坐标为， ∴， ∴， ∴OB1＝OB+BB1＝3， ∴，， ∴点B1的坐标为， 对于，当时，， ∴， ∴， 同理得：， ……， 以此类推，第n个等边三角形的边长为2n﹣1， ∴第2026个等边三角形的边长为22025． 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，四边形OE1C1D1，D1E2C2D2，D2E3C3D3，D3E4C4D4，…都是矩形，顶点D1，D2，D3，D4，…都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…都在直线1上，对角OC1，D1C2，D2C3，D3C4，•••都与直线l垂直，设矩形OE1C1，D1E2C2D2，D2E3C3D3，D3E4C4D4，…的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，依此规律，则S2026＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可知A（﹣4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB5， ∵OC1⊥AB， ∴S△ABOOC1， ∴OC1， ∵四边形OE1C1D1是矩形， ∴∠C1E1O＝∠E1C1D1＝∠AOB＝90°，OE1＝C1D1 ∴∠E1C1O+∠E1OC1＝∠E1OC1+∠ABO＝90°， ∴∠E1C1O＝∠ABO， ∴△ABO∽△OC1E1， ∴ ∴C1E1，C1D1＝OE1 ∴S1＝C1E1•OE127， ∵D1C2⊥AB，C1D1⊥AO，BO⊥AO， ∴C1D1∥OB，∠D1C2C1＝∠AOB＝90°， ∴∠C2C1D1＝∠ABO， ∴△ABO∽△D1C1C2， ∴， ∴D1C2， 同理，△ABO∽△D1C2E2， ∴， ∴C2E2，D1E2， ∴S2＝C2E2•D1E2， 同理，S3，S4， ……， Sn， ∴S27． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯，都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，⋯，均在直线上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯的面积分别为S1，S2，S3，⋯，依据图形所反映的规律，S2026＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，分别过点P1，P2，P3作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，E， 由条件可知OC＝CA1＝PC1＝3， 设A1D＝a，则P2D＝a，OD＝6+a， ∴P2（6+a，a）， 将P2的坐标代入得：， 解得：， ∴A1A2＝2a＝3，， 同理可得：，， ∴，，， ……， ∴． 故答案为：． 7．如图，点A，B，C在一次函数b的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是　　 ． 【答案】． 【解答】解：点A，B，C在一次函数b的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2， 如图，AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，CH⊥y轴于H，BF⊥CH于F，直线AC交y轴于点G，则BF＝EH， 把xA＝﹣1，xB＝1，xC＝2代入，得， ∴AD＝1，BE＝1，CF＝2﹣1＝1， ∵S阴影＝S△ADG+S△BEG+S△BFC，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．三八时节，花香满径，正是人间好时节．某花店老板做完市场调研后，决定多批发一些卡布奇诺玫瑰和佛洛伊德玫瑰．已知卡布奇诺玫瑰的批发价是每把40元，零售价是每把60元，佛洛伊德玫瑰的批发价是每把38元，零售价是每把50元．老板计划购进卡布奇诺玫瑰和佛洛伊德玫瑰共100把，且购进佛洛伊德玫瑰的数量不少于卡布奇诺玫瑰的数量的．设购进佛洛伊德玫瑰x把，出售这批卡布奇诺玫瑰和佛洛伊德玫瑰获得的总利润为y元． （1）求y与x的函数表达式． （2）当x取何值时，出售这批玫瑰获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣8x+2000（37.5≤x≤100）且x为整数； （2）当x＝38时，出售这批玫瑰获得的利润最大，最大利润是1696元． 【解答】解：（1）设购进弗洛伊德玫瑰x把， 根据题意得：y＝（50﹣38）x+（60﹣40）（100﹣x） ＝12x+2000﹣20x ＝﹣8x+2000， 由题意可得：， 解得x≥37.5， ∵100﹣x≥0， 解得x≤100， ∴37.5≤x≤100， ∴y与x的函数表达式为y＝﹣8x+2000（37.5≤x≤100）且x为整数； （2）∵﹣8＜0， ∴y随x的增大而减少， ∵37.5≤x≤100， ∴当x＝38时，y有最大值，最大值为﹣8×38+2000＝﹣304+2000＝1696， 答：当x＝38时，出售这批玫瑰获得的利润最大，最大利润是1696元． 9．随着洗车服务需求的不断增长，智能洗车行业迎来了更加广阔的发展空间．已知某智能洗车店的洗车费用为30元/次，为回馈客户，该智能洗车店推出以下两种优惠方案： 方案一：按次收费，每次洗车打八折，没有额外费用； 方案二：办理年卡，年卡收费120元，每次洗车打六折． 若张叔叔一年洗车的次数为x（x为正整数）次，所需总费用为y元．（只选其中一种方案） （1）分别求出张叔叔选择两种优惠方案所需的总费用y与洗车次数x之间的函数关系式； （2）若张叔叔计划一年的洗车总费用为552元，请你分析他选择哪种方案更划算，并说明理由． 【答案】（1）方案一：y＝24x；方案二：y＝18x+120； （2）方案二更划算，理由如下： 将y＝552代入y＝24x，可得24x＝552，解得x＝23，即选择方案一，552元可洗车23次．将y＝552代入y＝18x+120，可得18x+120＝552，解得x＝24，即选择方案二，552元可洗车24次．在总费用均为552元的前提下，方案二可洗车次数更多，因此选择方案二更划算． 【解答】解：（1）方案一：折扣后单次费用为30×0.8＝24元，因此y＝24x（x为正整数）． 方案二：折扣后单次费用为30×0.6＝18（元）， 因此y＝18x+120（x为正整数）． （2）将y＝552代入y＝24x，解得x＝23， 即选择方案一，552元可洗车23次． 将y＝552代入y＝18x+120，解得x＝24， 即选择方案二，552元可洗车24次． 在总费用均为552元的前提下，方案二可洗车次数更多，因此选择方案二更划算． 三．反比例函数（共9题） 1．如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M、N不重合）．（　　） 甲、乙两位同学给出了下面的结论： 甲：△COM与△CON的面积一定相等； 乙：若AM：OB＝1：3，则S△MON＝4． A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】C 【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可得：， 由条件可知四边形AOBC是矩形， ∴S△AOC＝S△BOC， ∵S△COM＝S△AOC﹣S△AOM，S△CON＝S△BOC﹣S△BON， ∴S△COM＝S△CON，故甲说法正确； 由AM：OB＝1：3可设AM＝a，OB＝3a， ∴， ∴， ∴S△MON ＝9﹣3﹣2 ＝4； ∴乙的说法也正确； 综上所述：甲乙的结论都是正确的． 故选：C． 2．如图，在函数（k是常数且k＞0，x＞0）的图象上任取两点A和C（A在C左侧），分别过A、C作两条坐标轴的平行线，得到矩形ABCD（B在D左侧），连接BD、OB、OA，作直线AC分别交x轴、y轴于点E、F．在下列说法中，一定正确的是（　　） ①O、B、D三点共线；②AF＝CE；③若BD＝2OA，则∠AOB＝2∠BOE；④四边形ABOF和四边形BCEO的面积都等于k． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：在函数（k是常数且k＞0，x＞0）的图象上任取两点A和C（A在C左侧），分别过A、C作两条坐标轴的平行线，得到矩形ABCD（B在D左侧），连接BD、OB、OA， 设反比例函数（k是常数且k＞0，x＞0）上的点A（x1，y1），C（x2，y2）（A在C左侧，故x1＜x2）， ∵点A、C在反比例函数图象上， ∴x1y1＝k，x2y2＝k，即，， ∵过A、C作坐标轴的平行线，得矩形ABCD（B在D左侧）， ∴矩形顶点坐标为B（x1，y2），D（x2，y1）， ①设直线OB的解析式为y＝mx，将B（x1，y2）代入得： y2＝mx1， ∴，即直线OB：， 将x＝x2代入，得， ∴点D（x2，y1）在直线OB上， ∴O，B，D三点共线； 故①正确； ②设直线AC：y＝px+q，代入A，C得： ， 解得， ∴直线AC：， 令x＝0，得y＝y1+y2，令y＝0，得x＝x1+x2， ∴F（0，y1+y2），E（x1+x2，0）， ∴， ， ∴AF＝CE； 故②正确； ③如图，设AC，BD交于点M， 由题意可得：BD＝AC，对角线互相平分，， ∵BD＝2OA， ∴OA＝AM， ∴∠AOM＝∠AMO， ∵AD∥OE， ∴∠MDA＝∠BOE， 又∵AM＝MD， ∴∠MAD＝∠MDA＝∠BOE， ∵∠AMO＝∠MAD+∠MDA＝2∠BOE，且∠AOM＝∠AMO， ∴∠AOB＝2∠BOE； 故③正确； ④， ， 故④正确． 故选：D． 3．如图，在函数的图象上取三点A、B、C，由这三点分别向x轴、y轴作垂线，设矩形AA1OA2、BB1OB2、CC1OC2的面积分别为SA、SB、SC，则下列正确的是（　　） A．SA＜SB＜SC B．SA＞SB＞SC C．SA＝SC＝SB D．SA＜SC＜SB 【答案】C 【解答】解：设点A的坐标为（x，y）；点B的坐标为（a，b）；点C的坐标为（m，n）， ∵点A在反比例函数解析式上， ∴xy＝1， ∴矩形AA1OA2的面积为1， 同理可得另两个矩形的面积也为1， ∴SA＝SC＝SB， 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，AO＝AB，点C为OA的中点，若△ABC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣6 D． 【答案】B 【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵点C为OA的中点，若△ABC的面积为4， ∴△ABO的面积为8， ∵AB＝AO，AD⊥OB， ∴BD＝DO， ∴△ADO的面积＝4|k|， 又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0， 则k＝﹣8． 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，6），B（m，1）是直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线的交点．现将线段AB及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为　3　 个． 【答案】3． 【解答】解：由条件可知k＝1×6＝6， ∴反比例函数的解析式为； 把B（m，1）代入得， ∴m＝6， ∴B（6，1）， 把A（1，6），B（6，1）代入y＝ax+b（a≠0）得： ， 解得， ∴y＝﹣x+7； ∴图形G是双曲线上方与直线y＝﹣x+7下方之间的部分，且1＜x＜6； 所以，当x＝2时，，﹣2+7＝5， ∴y＝4， ∴点（2，4）是图形G内的整数点； 同理可得，当x＝3时的整数点是（3，3）； 当x＝4时的整数点是（4，2）； 当x＝5时，无整数点； 综上，符合条件的整数点共有3个， 故答案为：3． 6．如图，反比例函数的图象交Rt△OAB的直角边AB于点C，点B在x轴上，若A（3，4），OC平分∠AOB，则k的值是 　4.5　 ． 【答案】4.5． 【解答】解：过点C作CE⊥OA于点E，如图所示： ∴∠OEC＝∠AEC＝90°， 在Rt△OAB中，AB是直角边， ∴∠OBC＝90°， ∴点A的坐标为（3，4）， ∴OB＝3，AB＝4， 设BC＝a， ∴AC＝AB﹣BC＝4﹣a， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA5， ∵OC平分∠AOB， ∴∠EOC＝∠BOC， 在△EOC和△BOC中， ， ∴△EOC≌△BOC（AAS）， ∴OE＝OB＝3，EC＝BC＝a， ∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2， 在△ACE中，∠AEC＝90°， 由勾股定理得：AC2＝AE2+EC2， ∴（4﹣a）2＝22+a2， 解得：a＝1.5， ∴点C的坐标为：（3，1.5）， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴k＝3×1.5＝4.5． 故答案为：4.5． 7．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于A，B两点．已知点A的横坐标为1，点B的横坐标为，连接OA，OB，则的长为　##　 （结果保留π）． 【答案】． 【解答】解：过点A作AE⊥y轴，过点B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图所示， ∵反比例函数在第一象限的图象交于A，B两点． ∴当x＝1时，，当时，y＝1， ∴， ∴， ∴，， ∴∠AOE＝∠BOF＝30°， ∴∠AOB＝∠EOF﹣∠AOE﹣∠BOF＝30°， 又∵， ∴的长为． 8．如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为2，则k的值为　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【解答】解：由条件可得，， ∴， ∴|k|＝5， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣5， 故答案为：﹣5． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+2与反比例函数的图象相交于A（1，3a），B（b，﹣1）两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点E位于A，D两点之间． （1）求a，b和k的值； （2）当△ACD面积为3时，求点D的坐标； （3）将△ADE沿着射线AB的方向平移后得到△A′D′E′，当AE＝DE时，是否存在△A′D′E′两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵b＝﹣3，B（﹣3，﹣1）； （2）； （3）存在，点E的坐标为（3，1）或． 【解答】解：（1）∵直线 y＝ax+2 与反比例函数的图象相交于点A（1，3a）， ∴1•a+2＝3a， 解得a＝1， ∴A（1，3）， ∴k＝1×3＝3， ∴﹣b＝3， ∴b＝﹣3，B（﹣3，﹣1）； （2）如图，作DF∥y轴交直线AB于点F，作 AG∥CH∥x轴交DF于点G，H， 设，则F（m，m+2）（m＞0）， ∴（CH﹣AG）， ＝3， 化简得：m2﹣4m﹣3＝0， 解得，（负值舍去）， ∴； （3）存在， ∵△A′D′E′两顶点同时落在反比例函数图象上， ∴点A'与点B重合， ∴平移方向把点A（1，3）先向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度得到B（﹣3，﹣1）， ①如图①，点A'，E'落在反比例函数图象上， ∵设，则， ∴， 解得e＝3或1（舍去）， ∴E（3，1）（不受点D位置影响）； ②如图②，点A′，D′落在反比例函数图象上， ∵EA＝ED，双曲线和△ADE都是轴对称图形， ∴点E在对称轴：直线 y＝x上， 联立得， 解得（负数舍去）， ∴， 综上所述，点E的坐标为（3，1）或． 10．如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上有一点A的坐标为（1，m），点C（0，2），反比例函数与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，连接OA，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）点P从点A出发沿射线AB移动，点Q为第三象限双曲线上一点，当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1），y2＝x+2； （2）﹣3＜x＜0或x＞1； （3）点Q的坐标为或． 【解答】解：（1）∵点A（1，m），． ∴， ∴m＝3，即A（1，3）， 在反比例函数的图象上有一点A的坐标为（1，3），将点A的坐标代入得： 解得：k＝3， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数y2＝ax+b经过A（1，3），C（0，2），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为y2＝x+2； （2）联立得： 整理得：x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， 当x＝﹣3时，得：， ∴点B为（﹣3，﹣1）， 由图可得，当﹣3＜x＜0时，反比例函数图象在一次函数下方，满足y1＜y2； 当x＞1时，反比例函数图象在一次函数下方，满足y1＜y2． ∴x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞1； （3）点Q的坐标为或．理由如下： ∵点P在射线AB上，点Q为第三象限双曲线上一点， ∴设p≤1，q＜0， ∵当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时， ∴当AQ与OP为平行四边形的对角线时， ∴， 解得：p＝1+q， ∴， ， ∴q2＝3， 解得：或（舍去，不符合第三象限）； ∴此时Q的坐标为； 当AP与OQ为平行四边形的对角线， ∴， 解得：p＝q﹣1， ∴， ∴， ∴q2+4q﹣3＝0， 解得：或（舍去，不符合第三象限）； ∴此时Q的坐标为：， 综上所述，点Q的坐标为或． 11．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点M在直线AB上，且位于第二象限，BM＝AB．过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交反比例函数的图象于第三象限的点C，连接OC，△OCN的面积为6． （1）求k值和点C的坐标； （2）如图，点D是直线AB上一动点，连接BC，OM，当△BCD的面积是△OCM面积的2倍时，求点D的坐标． 【答案】（1）k＝12，点C的坐标为（﹣4，﹣3）； （2）点D的坐标为（8，﹣2）或（﹣8，6）． 【解答】解：（1）由条件可知A（4，0），B（0，2）， 作BE⊥MN于点E， ∵MN⊥x轴， ∴∠BEN＝∠ENO＝∠BON＝90°， ∴EN＝BO＝2，BE＝ON，∠MBE＝∠BAO， ∵BM＝AB， ∴△MBE≌△BAO， ∴EM＝BO＝2，BE＝OA＝4＝ON， ∴， 解得yC＝±3， ∵点C位于第三象限， ∴点C的坐标为（﹣4，﹣3）， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴k＝﹣3×（﹣4）＝12； （2）∵CM＝CN+EN+EM＝3+2+2＝7，ON＝4， ∴，， 由条件可知S△BCD＝2S△OCM＝28， ∴S△MCD＝S△BCD+S△BCM＝42， ∴， 解得xD＝8或﹣8， 当x＝8时，； 当x＝﹣8时，； ∴点D的坐标为（8，﹣2）或（﹣8，6）． 五．二次函数（共9题） 1．如图，抛物线yx2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：将A（﹣1，0）代入yx2+bx﹣2， 得b﹣2＝0， 解得b， ∴抛物线的解析式为yx2x﹣2， ∴顶点D的坐标为（，），C（0，﹣2）． 取点C关于x轴的对称点C′（0，2），连接C′D交x轴于点M，连接CM， 此时MC+MD＝MC'+MD＝C'D，为最小值． 设直线C'D的解析式为y＝kx+b， 将C′（0，2），D（，）代入， 得， 解得， ∴直线C'D的解析式为． 令y＝0，得x， ∴m． 故选：B． 2．抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是C，直线x＝1与抛物线的交点为A，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0），下列结论：①2a+b＜0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：①由题可知抛物线的对称轴在直线x＝1的右侧， 则， 则2a+b＞0， 故①错误，不符合题意； ②∵抛物线开口向下，则a＜0， ∵对称轴在y轴右侧，则b＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0， ∴abc＜0， 故②错误，不符合题意； ③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意； ④∵抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）， ∴抛物线对称轴是直线x＝1，B（4，0）， 抛物线对称轴是直线x＝1，B（4，0） 故④错误，不符合题意． 则有一个正确， 故选：A． 3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，图象对称轴为直线x＝1，与x轴的正半轴交点位于（2，0）与（3，0）之间，对于这个函数有下列四个结论：①对任意实数t，不等式at2+bt+c≤a+b+c恒成立；②若方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则3＜|x1﹣x2|＜4；③若点（﹣2，y1），，（4，y3）在该函数图象上，则y3＜y1＜y2；④关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0的两根之和为4．则结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：∵二次函数图象开口向下， ∴顶点坐标为（1，a+b+c）是最大值点， 故对任意实数t，不等式at2+bt+c≤a+b+c恒成立，①正确； 已知抛物线与x轴的一个交点位于（2，0）与（3，0）之间，对称轴为直线x＝1， 根据对称性，另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间， 设两根为x1，x2，可得﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴|x1﹣x2|＝x2﹣x1＝2x2﹣2， ∴2＜2x2﹣2＜4．即2＜|x1﹣x2|＜4．②错误； ∵二次函数图象的开口向下，抛物线上的点到对称轴x＝1的距离越近， 函数值越大，点（﹣2，y1）到对称轴的距离为3．点到对称轴的距离为， 点（4，y3）到对称轴的距离为3，即y2＞y1＝y3，③错误； 方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0可看作原抛物线向右平移2个单位， 则平移后方程的对称轴为x＝3， ∴两根之和为2×3＝6．④错误， 故选：A． 4．投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带．其中箭头的行进路线可看作一条抛物线，如图，是一名男生在投壶时，箭头行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度OA为，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点处．若BC是一个高为的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段），且OB＝3m，则这名男生此次投壶　不能　 投中（请填“能”或“不能”）． 【答案】不能． 【解答】解：箭头行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度OA为，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点处．则： 由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为， 当x＝3时，， ∵， ∴这名男生此次投壶不能投中． 5．将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示，当直线y＝x+b与新图象恰有三个公共点时，b的值为　1或　 ． 【答案】1或． 【解答】解：令（x﹣1）2﹣4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线y＝（x﹣1）2﹣4与x轴的交点坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）． 将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）． 当直线y＝x+b过点A时，直线y＝x+b与新函数的图象恰有三个公共点， 将A（﹣1，0）代入y＝x+b， 得﹣1+b＝0， 解得b＝1． 当直线y＝x+b与抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与新函数的图象恰有三个公共点， 即方程﹣（x﹣1）2+4＝x+b有两个相等的实数根， 整理得﹣x2+x+3﹣b＝0， ∴Δ＝12﹣4×（﹣1）×（3﹣b）＝0， 解得b． ∴当直线y＝x+b与新图象恰有三个公共点时，b的值为1或． 故答案为：1或． 6．2026年3月25日，西安国际青年足球锦标赛中，中国U23国足对阵泰国U23队．比赛第67分钟，中国队球员陈泽仕在中圈弧附近观察到队友李新翔的跑位，送出一记精准的过顶长传，队友李新翔禁区前凌空破门，足球的飞行轨迹可近似看作二次函数抛物线． 以陈泽仕传球站立位置为坐标原点，足球水平前进方向为x轴建立坐标系，单位：米．已知： ①传球瞬间，足球高度为0.2米，即坐标为：（0，0.2）； ②足球飞行水平距离18米时，达到最高点，高度为7米； ③李新翔在点球点附近位置接球凌空射门． （1）求皮球飞行轨迹对应的二次函数表达式； （2）通过计算说明，若李新翔射门时，改为头球攻门，头部触球的高度是1.9米，问足球从传球点水平飞行到头触球的距离是多少米？ 【答案】（1）二次函数表达式为：y（x﹣18）2+7； （2）足球从传球点水平飞行的距离为18+9米． 【解答】解：（1）由题意，抛物线顶点为（18，7）， 设二次函数表达式为：y＝a（x﹣18）2+7， ∵抛物线过点（0，0.2）， 代入得：0.2＝a×182+7， 0.2＝324a+7， 324a＝﹣6.8， 解得a， ∴二次函数表达式为：y（x﹣18）2+7； （2）令y＝1.9， 则1.9（x﹣18）2+7， x﹣18， ∵水平距离为正，且取前进方向：x＝18+9， 答：足球从传球点水平飞行的距离为18+9米． 7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点B、与x轴交于A（﹣4，0），C（1，0），点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，连接AE、BE． （1）求抛物线的解析式； （2）当△ABE的面积为3时，请直接写出m的值． 【答案】（1）yx2x+3； （2）﹣2或﹣2． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），C（1，0）， ∴抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1）， 即y＝ax2+3ax﹣4a， ∴﹣4a＝3， 解得a， ∴抛物线解析式为yx2x+3； （2）当x＝0时，yx2x+3＝3， ∴C（0，3）， 设直线AB的解析式为y＝px+q， 把A（﹣4，0），B（0，3）分别代入得， 解得， ∴直线AB的解析式为yx+3， ∵l⊥x轴，M（m，0）（﹣4＜m＜0）， ∴D（m，m+3），E（m2m+3）， ∴DEm2m+3﹣（m+3）m2﹣3m， ∵△ABE的面积为3， ∴4×（m2﹣3m）＝3， 解得m1＝﹣2，m2＝﹣2， 即m的值为﹣2或﹣2． 8．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx经过点（3，3），点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1，已知点M（1，1），作点A关于点M的对称点C，作点B关于点M的对称点D，构造四边形ABCD． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当A，B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标； （3）设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，当0＜m＜1时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为，求m的值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x； （2）； （3）或． 【解答】解：（1）由条件可得3＝9+3b， 解得：b＝﹣2， ∴该抛物线所对应的函数解析式y＝x2﹣2x． （2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴， 解得：， ∴点A横坐标为， ∴，即． ∵点C是点A关于点M（1，1）的对称点，设C（x，y）， ∴， ∴，， ∴． （3）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣1），即当x＝1时，最小值为﹣1，， ∵点A，B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m，m+1，0＜m＜1， ∴，，图象G的最小值为﹣1， ∴yA﹣y_B＝﹣2m+1， 当﹣2m+1＞0时，即时，yA＞yB， ∴当时，最大值为yA， 同理可得，当时，最大值为yB， 依题意，当时，， 解得：（舍去）或， 当时，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或． 9．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC交BC于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过平面上一点T（3，2）作任意一条直线KQ交抛物线于K，Q两点，过点A作直线AK，AQ，分别交y轴于M，N两点，试探究OM与ON的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）最大值为，此时； （3）OM与ON的积为定值，定值为2． 【解答】解：（1）由题意的：， ∴， ∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵B（3，0），C（0，﹣3）， 设直线BC的表达式为：y＝kx+b， ∴， ∴， 设直线BC的表达式为：y＝x﹣3， 设P（a，a2﹣2a﹣3）（0＜a＜3），过P作PG∥OC，交BC于G， ∵OB＝OC＝3， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴G（a，a﹣3），∠PGD＝∠OCB＝45°， ∴GP＝（a﹣3）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a， ∴， ∴PD的最大值为，此时； （3）设直线KQ的解析式为：，且直线KQ经过点T（3，2）， ∴2＝3k1+b1， ∴b1＝2﹣3k1， ∴直线KQ的解析式为：y＝k1x+2﹣3k1， ∴联立：， 得x2﹣（2+k1）x+3k1﹣5＝0， ∴m+n＝2+k1，mn＝3k1﹣5， 设直线AK的解析式为：y＝k2x+b2， ∴， ∴y＝（m﹣3）x+（m﹣3）， ∴M（0，m﹣3），OM＝m﹣3， 同理：ON＝3﹣n， ∴OM•ON＝（m﹣3）（3﹣n）＝3（m+n）﹣mn﹣9＝3（2+k1）﹣（3k1﹣5）﹣9＝2， ∴OM与ON的积为定值，定值为2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/16 21:46:13；用户：微信用户；邮箱：orFmNt2XaOr9WnQX9Pu3xO--ahwI@weixin.jyeoo.com；学号：43689588 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $