重点题型专题3 二次函数的图象与性质&重点题型专题4 二次函数含参及新定义问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

重点题型专题③ 1.(2024·达州渠县月考)在平面直角坐标系中，抛物 线y=一(x十1)2+2关于y轴对称所得到的 抛物线所对应的函数表达式为 () A.y=-(x-1)2+2B.y=-(x+1)2-2 C.y=(x+1)2-2D.y=(x-1)2+2 [变式]抛物线y=2x2一4x-6关于y轴对称 所得到的抛物线所对应的函数表达式为() A.y=-2x2+4x十6B.y=2x2+4x-6 C.y=2x2+2x-6D.y=-2x2-2x+6 2.(2024·德阳校级模拟)已知点（一3，y1),(2,y2)都 在二次函数y=ax2十2ax-3(a>0)的图象 上，则y1,y2的大小关系为 ( A.y1>y2 B.y<y2 C.y1=y2 D.无法确定 [变式]若删除第2题中的条件“a>0”,则 y1,y2的大小关系为 ( A.y>y2 B.y<y2 C.y=y2 D.无法确定 3.(2024·南充模拟)若A(a,m),B(b,m),P(a十 b,n)是抛物线y=x2十2x十3上不同的三点， 则n的值为 ( A.3 B.2 C.6 D,不确定 4.(2025·陕西B卷)在平面直角坐标系中，二次函 数y=ax2-2ax十a一3(a≠0)的图象与x轴 有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两 侧，则下列关于该函数的结论正确的是() A.图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于一3 D.当x=2时，y<0 5.如图，抛物线y=ax2十bx十4交y轴于点A, 交过点A且平行于x轴的直线于另一点B,交 x轴于C,D两点（点C在点D右边），对称轴 30一本·初中数学九年级下册HDSD版 二次函数的图象与性质 为直线x=2,连结AC,AD,BC.若点B关于 5 直线AC的对称点恰好落在线段OC上，则下 列结论错误的是 ( A.点B坐标为(5,4) B.AB=AD 1 C.a=- 6 D.OC·OD=16 6.(2024·遂宁射洪期末)如果将抛物线y=x2一2平 移，使平移后的抛物线与抛物线y=x2一8x十 9重合，那么它平移的过程可以是 7.已知抛物线y=x2-2mx十m2一1(m为常数). (1)当m=3时，设点P(x,y1),Q(4,y2)在该 抛物线上，若y1>y2,则x的取值范围是 ； (2)若点A(1,y3),B(4,y4)在该抛物线上，且 y3>y4,求m的取值范围； (3)当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值. 重点题型专题4 二 (本专题有一定难度， 1.(2024·泸州校级二模)将抛物线y=一x2十2x十3 中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图 象的其余部分不变，得到的新图象与直线y= x+m有4个交点，则m的取值范围是() A.m≤-5 B.- 21 4≤m<-5 C、2 <m<-3 D.m≥-3 2.(2024·南充模拟)已知抛物线C1:y1=a.x2十bx十c (a≠0)与抛物线C2:y2=mx2一6mx+9m+ 2(m≠0)关于点P(一1,0)成中心对称.若当一6≤ x≤一2时，y1有最大值4，则m的值为( ) 3 A.一2 B.-6 C.-3 D-6或-号 3.【新考法·新定义】(2024·泸州龙马潭区二模)在 平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标 相等，则称点P为“和谐点”.例如，点(1,1)， (-名》，（一2，-2）…都是“和谐点 若二次函数y=ax2十4x十c(a≠0)的图象上有 且只有-个和谐点（受，引，当0≤≤m时， 函数y=ax2十4x十c- 4(a≠0)的最小值为 一3，最大值为1，则m的取值范围是() A.m<4 B.m≥2 C.2≤m≤4 D.2<m<4 4.(2024·泸州一模)在平面直角坐标系中，已知点 A(-3,1),B(1,5).若二次函数y=mx2+ 3x一2(m≠0)的图象与线段AB无交点，则m 的取值范围是 ( ) A<m<4 4 B.m<3且m≠0 1 4 C.2≤m<3 D.m>4或m<3 .4 次函数含参及新定义问题 请根据学情酌情选用) 5.新定义：若一个点的横、纵坐标之和为6，则称 这个点为“和谐点”.若当一1<x<3时，二次函 数y=x2一2x十c(c为常数)的图象上存在两 个“和谐点”，则c的取值范围是 () 25∠c<7 B.4<e<25 4 C.-1<c<1 25 D.0<c<4 6.已知点A(x1,y1)在直线y=ax(a>0)上，点 B(x2,y2)和点C(x3,y3)在抛物线y=ax2 4ax上.当y1=y2=y3时，有x1<x2<x3,则 x1十x2十x3的值可能是 () A.2 B.4 C.8 D.10 7.对于二次函数y=ax2+bx十c,定义函数y= ax2+bx+c(x≥0)， 是它的相关函数.若一 -ax2-bx-c(x<0) 次函数y=x+1与二次函数y=x2一4x十c 的相关函数的图象恰好有两个公共点，则c的 值可能是 ) A.-1 B.0 c D.2 8.(2024·成都双流区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy中，对于点P(x,y)和点Q(x,y)给出如 y(x≥0)， 下定义：若y'= 则称点Q为点P -y(x<0), 的“可控变点”.例如，点(1,2)的“可控变点”为 点(1,2)，点（一1,3）的“可控变点”为点（一1， -3).若点P在函数y=-x2十16(-5≤x≤ a)的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取 值范围是-16≤y'≤16，则实数a的值 为 第26章二次函数31共点. (2)m 的值为一4或1 14.解：(1)该函数图象的另一部分如图所示. y 3 3 4 (2)-1<x<0 x>1 (3)①3②③\textcircled {<}3<n<1 方法归纳专题2 二次函数 图象与字母系数的关系 【例】 (1)<>(2)>(3) = (4)>=<( (5)≥ 【跟踪训练】 1.D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.A 7.D 8.①②④9.①②④ 重点题型专题3 二次函数的图象与性质 1.A 【变式】B 2.B 【变式】D 3.A 4.D 5.D 6.向右平移4个单位，向下平移5个单位 7.(1)x<2 或 x>4 $$\left( 2 \right) m > \frac { 5 } { 2 }$$ (3)m 的值为一1或5 重点题型专题4 二次函数 含参及新定义问题 重点题型专题5 二次函数几何综合问题 1.4 $$2 . \left( 1 \right) y = x ^ { 2 } - x - 6$$ (2)2PF+PE 的最大值为8，此时点P的坐标为(1， \left.{-6}) $$3 . \left( 1 \right) y = - x ^ { 2 } - 3 x + 4$$ $$^ { 2 } - 3 x + 4 \left( 2 \right) 2 + \frac { \sqrt { 4 1 } } { 2 }$$ $$4 . \left( 1 \right) y = x ^ { 2 } - x - 2 \left( 2 \right) - \frac { 9 } { 4 } \le y \le 0$$ $$\left( 3 \right) \frac { 6 \sqrt 5 } { 5 }$$ 5.(1)抛物线所对应的函数表达式为 $$y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - x -$$ $$\frac { 3 } { 2 } ，$$ 一次函数的表达式为 $$y = \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 }$$ (2)△ACE 积的最大值为 $$t \frac { 2 5 } { 1 6 } .$$ ，点 $$E \left( \frac { 3 } { 2 } ， - \frac { 1 5 } { 8 } \right)$$ $$6 . \left( 1 \right) y = - x ^ { 2 } + 2 x + 8$$ (2)点 的坐标为 (1，9) (3)存在.点M的坐标为 $$\left( \frac { 1 + \sqrt { 1 3 } } { 2 } ， \frac { 1 1 + \sqrt { 1 3 } } { 2 } \right)$$ 或 $$\left( \frac { 1 - \sqrt { 1 3 } } { 2 } ， \frac { 1 1 - \sqrt { 1 3 } } { 2 } \right)$$ $$\left( \frac { 1 + \sqrt { 3 7 } } { 2 } ， \frac { - 1 + \sqrt { 3 7 } } { 2 } \right)$$ $$\left( \frac { 1 - \sqrt { 3 7 } } { 2 } ， \frac { - 1 - \sqrt { 3 7 } } { 2 } \right)$$ ·答案 3 7.(1)抛物线所对应的函数表达式为y=一8x+ 3 4x+3,直线BC所对应的函数表达式为y= 3 4x+3 的最小值为3，此时点P的坐标为 8.(1)y=x2-2x-3 ②a(号，） 1 (3》存在最小值为8 9.(1)y=x2+2x-3 (2)点P的坐标为(1,0)或(-4,5) (3)存在.点N的坐标为(-1，√14)或(-1，一√14) 或(-1，-3+√17)或(-1，-1) 10.(1)y=-x2-2x十3 (2)点D的坐标为(-1,4)或(-2,3) (3)存在.点P的坐标为(0,3)或(25193 18 -7+√193 6 11.(1)y=-x2+2x+3 (2加的值为号 (3)存在.菱形的边长为3√2一2或2 12.(1)y=-x2+x+6 (2)存在.点D的坐标为1,6)或（分，） 13.(1)y=-x2+2x+3 、9 (2)8 (3)点Q的坐标为(-1,0)或(5，-12) 章末复习 1.-22.33.m≥-14.195.y2<y1<y3 6.①②③④⑤ ,5 7解：1y=二2x十4 (2②设点D的坐标为(m,m-3m+）,则点E的 1 坐标为(a,-名m+） D是抛物线上一点，且位于直线BC下方， DE=(-m+)-(m-3m+) 51 =-m+m=(m》广+得 5 当m= 时，线孩DE的长废最大此时点D的生 s为（层）， 8.A9.y=x2-2x10.(2,-5) 11y=gz+6r+4 4·