5.3 第1课时利用二次函数解决抛物线形问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第五章二次函数 3二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决抛物线形问题 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025绥化期末]竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+ bt,其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最大 高度的是 () A.第2.5秒 B.第3秒 C.第3.5秒 D.第4秒 h/m 2.5m 茶几 026/s 地面 A (第1题) (第2题)》 2.如图所示为一款抛物线形落地灯的结构，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面 2.25m,最高点C距灯柱AB的水平距离为1.5m,灯柱AB=1.5m,若茶几摆放在灯罩的正下 方，则茶几到灯柱的距离AE为 m. 3.如图所示为某隧道横截面，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.隧道底部宽12米，高8米，建 立平面直角坐标系， (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆 车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽 3米、高3.5米的两辆车并排行驶，则能否安全通过？请说明理由， y/米 x/米 (第3题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为1.5m的A处抛 出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前 后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次 着地前抛物线对应的函数表达式为y=a(x一1)+2，在B处着地 (第4题) 后弹起的最大高度为着地前的最大高度的，则弹力球第二次着地点C距第一次抛出点的水平 距离OC是 A.4.75m B.4.5m C.5m D.5.5m 97 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 5.[2025保定阜平期末]阜平县近年来将非遗文化与旅游、节庆活动相结合， y 推出了多种展览和表演形式.某次非遗文化展览活动中设置的拱门内、外边 界线（分别记为L1,L2)都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示的平面直 角坐标系.若OM=OA=OB=5米，AC=BD=0.5米，则L1的最大高度 AC 0 DB花 (第5题) 为米 6.[2025陕西中考]某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面如图所示，桥拱L,钢缆L1,L2均呈 抛物线形，线段BC为桥面，线段OA为立柱，OA⊥BC,OA=2m,L1,L2关于OA所在直线对 称.L1的最低点到C的距离为m,到OA的距离为2m以0为原点，以BC所在直线为x 轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求L1所在抛物线对应的函数表达式. (2)现要悬挂两条灯带M1N1,M2N2来增加夜景效果，M1N1,M2N2均与BC垂直，点M1,M2 分别在L1,L2上，点N1,N2在L上，点M1,M2到OA的距离均为3m.已知L所在抛物线的 函数表达式为)=一6，求这两条灯带的总长 M2 L B C (第6题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 7.游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱呈抛物线形 状，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且从各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的 装饰物处汇合.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系， ()求水柱所在抛物线（第一象限部分）对应的函数表达式. (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水头意外喷水，为了不被淋湿，身高为1.8米的王师傅 必须移动到离水池中心多少米以内的地方站立？ (3)经检修和评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下， 把水池的直径扩大到32米，从各个方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变） 处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度. y/米 -30 3 8x/来 (第7题) 98 >“答案与解析”见P57方法归纳 根据已知点的坐标，设二次函数表达式的方法 （1)已知任意三，点，设一般式 (2)当已知，点中有两，点的纵坐标都为0时，设交 点式 (3)已知顶，点的坐标，设顶，点式. (4)已知，点中有两点的纵坐标相等，此时可利用抛 物线的对称性求得顶，点的横坐标，设顶点式」 (2)存在.如图，连接CB,交抛物线的对称轴于点Q,连接 AQ.由图象可知对称轴为直线x=1.,AC的长度为固定 值，∴.当AQ十CQ有最小值时，△ACQ的周长最小.，点 A与点B关于直线x=1对称，.AQ=QB.∴.AQ十CQ =BQ+CQ..当点C,Q,B在一条直线上时，AQ+CQ有 最小值.设直线BC对应的函数表达式为y=kx十b.将点 b=3, B,C的坐标代入，得 k=、3 解得 4’.直线 4k+b=0, b=3. BC对应的函数表达式为y=一年x十3.将x=1代入，得 3 y=-3 4 +3=9 ·点Q的坐标为(1是) y C B 0 D (第8题) 3二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决抛物线形问题 1.D由小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，可得 抛物线的对称轴为直线x=4,即当第4秒时小球达到最大 高度 2.2.25如图，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据题意知，抛物线的顶点C的坐 标为(1.5,2.5)，设抛物线对应的函数表达式为y=a(x 1.5)2十2.5，将B(0,1.5)代入，得2.25a十2.5=1.5，解得 -号抛物线对应的函数表达式为y=一号(x一 1.5)+2.5当y=2.25时.-号x-1.59+2.5=225, 5 解得x1=0.75(舍去)，x2=2.25,.茶几到灯柱的距离 AE为2.25m. OD 2.5m (茶几 地面 E (第2题) 3()由题意，得抛物线的顶点坐标为（号.8.即(6,8）。 设抛物线对应的函数表达式为y=a(x一6)2+8(a≠0). 2 将点(12,0)代入，得a×(12-6)2+8=0,解得a=-9 “范物线对应的函数表达式为y=一号（一6>+8(0< x≤12).(2)能安全通过.理由：如图，由题意，得xA= 122 2-3=2.将x=2代入y=二号(x一6)2+8，得 号×2-6+8=9：9-85=是米). 17>0.5· 能安全通过. y/米 甲 车 车 x/米 (第3题) 4.C:点A(0,1.5)是抛物线y=a(x-1)2+2的起点， 1 ·1.5=a(0-1)2+2.a=-2第一次着地前抛物 1 线对应的函数表达式为y=一2(x一1)2+2.当y=0时， 2（x1)2+2=0,解得心1=3，x2=-1(舍去)，.点正 的坐标为(3,0).，两条抛物线的形状相同，且着地后抛物 线的高度是着地前抛物线高度的号，“设弹力球第一次着 地后的抛物线对应的函数表达式为y=一（ú一小）十 号·将点B的坐标代入该表达式，得-号3-A)+号 0,解得h1=4,h2=2(舍去)..弹力球第一次着地后的抛 物线对应的函数表达式为y=一名：一+号：弹力 球第一次着地后的抛物线的对称轴为直线x=4,且点B 的横坐标为3，.点B到第一次着地后的抛物线的对称轴 的距离为4一3=1.∴.点C的横坐标为3十1+1=5.∴.点 C(5,0).∴.弹力球第二次着地点到点O的距离为5m 5.4.05OM=OA=OB=5米，.M(0,5),A(-5,0) B(5,0).又.AC=BD=0.5米，.C(-4.5,0),D(4.5, 0).设L2对应的函数表达式为y=a.x2十5，把A(一5,0》 代入，得25a+5=0.解得a=一号∴L:对应的函数表达 1 式为y=一5x2+5,:L1与L:形状相同，故二次项系数 同为-号可设L对应的函数表达式为y=一行十 m.又，抛物线过点C(一4.5,0)，.m=4.05.∴.最大高 度为4.05米 6.(①)由题意知，山，所在抛物线的顶点为(2,2)，且过点 A(0,2),.设其对应的函数表达式为y=a(x一2)2+2， 且有2=a(0-2)+号，解得a=令dL1所在抛物线对 应的函数表达式为y=(红-2)+2 3 ,(2),点M1, M,到OA的距离均为3m,.把x=3代入y=8(x 3 2+号得y=又：y=6×3=-6MN= MN,=名-（是）-器m以.器×2-号(m.即这两条 灯精的总长为号 7.(1)根据题意，设水柱所在抛物线（第一象限部分）对应 的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a≠0).将(8,0)代入 y=a(x-3)+5,得0=a×(8-3)2+5,解得a=- 1 ,.水柱所在抛物线（第一象限部分）对应的函数表达式为 y=-号-3)2+50<r<8.(2)令y=1.8,得 -号x-3+5=1.8,解得=-1（不合题意，舍去）. x2=7.令x=0,得y=3.2..为了不被淋湿，身高为 1.8米的王师傅必须移动到离水池中心7米以内的地方站立 (3)对于y=- 号-3+5，当x=0时y=-号×0 3》+5-总设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）对 应的函数表达式为y=一号十6：十吕由题意，易得该 抛物线过点16.00=一号×16+16+9解得6 3.∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）对应的函数表达 式为y=+3x+5=-君(-)'+ 5 289 0品当工5时y有最大值，最大值为0 ,、扩建政造后喷水池水柱的最大高度为20米 第2课时利用二次函数解决面积问题 1.A过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N,则 AN⊥DE.设AN=a.:DE∥BC,∴.△ADE∽△ABC -即5=告E= 86 3a.S△DEr= 号DEMN=号×a·(6-a)=- 3a2+4a= -号a-3yr+6:-号<0当a=8时Sam取得 最大值，为6. 2.12延长NP交EF于点G,设PG=x,则PN=4-x. :rGBF△APGO△ABF,Ae-路即 2 千解得AG=2.·MP=BG=EA+AG=2+2z. .S矩形PNDM=PM·PN=(2+2x)(4-x)=-2x2+ 6a+8=-2(-2)°+20≤≤.-2<0， x≤BF=1,∴.抛物线开口向下，当x=1时，S矩形PvDM= 2×(1-）广+空-12，函数有最大值为12 方法归纳 用二次函数解决几何图形最值问题的方法 此类题目最常见的是图形面积最值问题，常含有两 个变化的未知量，解决此类题目的方法通常如下： (1)将其中一个设为自变量，再利用图形中存在的 等量关系，将另一个变化的未知量用这个自变量表示出 来，这里的等量关系常用的有周长公式、由相似图形得 到的比例式、勾股定理等， (2)利用相关图形的面积公式等列出二次函数的表 达式 (3)利用二次函数的图象、性质求出最值.