问题解决活动 利用相似三角形测高&综合与实践3 神奇的A4纸-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第三章图形的相似 ☆问题解决活动 利用相似三角形测高 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025梧州期末]用无人机送快递是一种新型配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山 区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵.如图，身高1.8m的 小王(AB)站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长(AC)为2，无人机的影子到他的距 离(AE)为10m.此时无人机高度(AD)是 () A.8.5m B.8m C.9.5m D.9m 0 D 电视塔 B 4 BC (第1题) (第2题) 2.[2025济南济阳期末]如图，从某测量工作人员的角度看，标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直 线上.已知该工作人员的眼睛离地面的高度AB=1.6m,标杆的长度FC=3.2m,且BC=1m, CD=5m,则电视塔的高ED= m. 3.[2025巴中期末]小明对足球比赛球门的高度萌生了探究欲，趁着赛前球员热身训练的间隙，开 启了对球门的测量实践 (1)测量一：如图①，小明从球门AB后退24步到点M,将随身所带的一面小镜子平放在地面上 的点M处，继续后退直到他在镜子中刚好看到球门横梁下沿A时停止，此时他共后退了39步. 已知小明眼睛离地面的高度EF=1.5m,请求出球门高度AB. (2)测量二：如图②，爸爸从球门A'B'后退20步到点C处站立不动，小明从C点继续后退5步 到点E处(，点B',C,E在同一直线上)，此时小明眼睛F'、爸爸头顶D、球门横梁下沿A'三点共线， 已知爸爸身高CD=1.7m,小明目高EF'=1.5m,请求出球门高度A'B'.(小明和爸爸步长相等) 4 E'C ① ② (第3题) 幻二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.[2025深圳福田期末]如图，A,B,C是地面上同一直线上的三个点，小童、标杆、旗杆分别立于上 述三点处.今在标杆顶部点F处平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶 71 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 点D,已知小童眼睛的高度EA=1.6m,标杆的高度FB=1m,AB=0.9m,BC=6m,则旗杆高 CD为 m. C ▣▣ (第4题) (第5题) 5.*一题多解[2025惠州期末]如图，小聪在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长1.5m,在 同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测 得落在地面上的影长BD=21m,留在墙上的影高CD=2m,则旗杆的高度为 m. 6.★数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量步骤如下：①如图，树与 地面垂直，在地面上的点C处放置一面镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看 到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD=2m,小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5; ②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10m到点F处，当小明向后移动到，点H处时，小明 的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A,这时测得小明到镜子的距离FH一3m.请你根据得 到的测量数据计算树的高度AB. G CD FH (第6题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 7.[2025安国期末]测量学校旗杆上旗帜的宽度MN.如图，点P,G,C,A在同一水平直线上，且 MG⊥PA,小红在点C处竖立一根标杆BC(BC⊥PA),地面上的点A、标杆顶端B和点N在一 条直线上（点N在MG上），BC=1.5米，AC=1米，AG=8米；小明手持自制直角三角形纸板 DEF(DF⊥EF),其中EF=0.1米，DF=0.2米，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好 在P点时点D,E,M在一条直线上，DP⊥PA,DP=1.5米，PG=23.6米，请求出旗帜的宽 度MN. B G (第7题) 72 >“答案与解析”见P43 第三章图形的相似 综合与实践3神奇的A4纸 纸张中藏着丰富的数学奥秘.某数学学习小组围绕“神奇的A4纸”开展主题学习. 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性.A4纸是我们常见的矩形打印纸，将A4纸 ABCD沿它的一条对称轴折叠（如图①），展开后，折痕EF两侧的两个小矩形称为A5纸，它们与原 来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形EABFC∽矩形ABCD:将A5纸类似地对折，得到与之 相似的A6纸…A4纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的 功能性与视觉美感， 【初探结论】 (1)如图①，设AD=2a,求A4纸的长AD与宽AB的比值 【作图再探】 (2)如图②，在(1)的条件下，连接BE,过点E作EG⊥BE交CD于点G.求证：G为边CD的中点. 【拓展应用】 (3)如图③，在(1)的条件下，再次折叠纸片，使点B落在AD上的点E处，折痕为MN,连接AC.写 出线段MN与AC的关系. >“答案与解析”见P44 73☆问题解决活动利用相似三角形测高 1D限超悠意得光-被：AE=10mAB=18m AC=2m80解得AD=9m此时无人机商 度(AD)是9m. 2.11.2过点A作AH⊥ED于点H,交FC于点G.设 EH=xm.由题意，易得AG=BC=1m,GH=CD=5m, CC=AB=HD=1.6m,△APGO△AEH..A点= 即7h321.6=9.6÷EH=8.6mED EH+HD=9.6+1.6=11.2(m). 3.(1)由题意知∠ABM=∠FEM=90°，∠EMF= ∠BMA△ABMO△FEM.0设BM= 24xm,则BE=39xm,,∴.EM=39x-24.x=15.x(m). :F=15m得器解得AB=24m球门商 度AB为2.4m.(2)如图，连接A'E交CD于点Q,由题 知Ag/c/ErB瓷-高-}，△racn △EA,△A0△AFE.是-A0=台 Ag-E=55.CD=1.7m,EF=1.5m &%=专，解得DQ=1,2m.·QC=DC-DQ 0.5 m.A'B 0.5 =5,解得A'B=2.5m.∴.球门高度A'B 为2.5m. F D Q E'C B (第3题) 4.5过点F作FH⊥CD于点H,延长HF交AE于点 G,,AE∥BF∥CD,.HG⊥AE..AG=BF=CH= 1m,FG=AB=0.9m,BC=FH=6m.由题意得，∠EFG ∠DFH,.·∠FGE=∠FHD=90°，∴.△FGEc∽△FHD. ÷器-器品-9DH-4mD DH十CH=5m..旗杆高CD为5m. 5.16解法一：连接AC,设BD与AC的延长线相交于点 E同-时刻物商与影长的比为品能士=号 :CD=2mE=DE=三得DE=3mBE=BD+ ,AB_2 DE=21+3=24(m.“BE=3旗杆的高度AB= 号E=2x号 =16(m).解法二：过C点作CE⊥AB, 垂足为E,可知BD=CE,CD=BE,同一时刻物高与影长 的比为能==号AE=号CE=号0=14m ∴.旗杆的高度AB=AE+BE=AE+CD=14+2=16(m). 方法归纳 影子拐弯问题的解决策略 利用影长测高，若地面长度不够，则影子会落在其 他物体上，即影子会拐弯.此时通过添加辅助线，或延长 光线，或截物高，或画光线的平行线，从而构造三角形及 特殊四边形，利用它们的性质及相似三角形的对应边成 比例的性质即可求解.特别地，若影子所落的物体与地 面垂直，则其上的影长对应着所测物体的一段实际高度. 6.设AB=xm,BC=ym.由题意，易得∠ABC=∠EDC= 0,∠ACB=∠ECD.△ABCn△EDC..9C,即 ①.同理，可得△ABFn△GHE.·G品，即 AB BF 1.5=2 1.5 ②，由0②，得x=15.·树的高度AB 方法归纳 相似三角形的实际应用技巧 利用相似三角形得到不可直接测量的物体高度的 原理：借助光线或视线到达物体顶端，将光线或视线作 为三角形的一边所在的直线，构造相似三角形，再利用 相似三角形的对应边成比例求物体的高度，注意有时需 构造两对或多对相似三角形，再分别由它们的对应边成 比例列方程，联立组成方程组，解方程组即可解决问题 7.延长DF交MG于点Q,则DQ⊥MG,DQ=PG= 23.6米，QG=DP=1.5米，·BC⊥AP,MG⊥AP,∴.BC∥ MG△A△AG,%-C即2=g .NG=12米.同理得△DEF∽△DMQ,.O=0./ EF=0.1米，DF=0.2米，.DF=2EF.∴.MQ 2D0-2×28.6=1.8米).MN=Q+QG-GN 11.8+1.5一12=1.3（米）..旗帜的宽度MN是1.3米. 综合与实践3神奇的A4纸 (1)设AB=x.,AE=ED=a,矩形EABF∽矩形 AB0D福-8兰-云=2x.“>0 已x=2a.AB=么=2，(2)：四边形ABCD是 矩形，.∠A=∠D=90°.，EG⊥BE,∴.∠BEG=90° ,.∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB+∠DEG=90°. :∠ABE=∠DEG.&△ABEn△DEG.能怎 8a-说G-9:AB-CD=EDG CG.G为边CD的中点。(3)MN/AC,-是连 接BE交AC于点O.由翻折变换的性质可知BM=EM, MN⊥BE,设BM=EM=y,在Rt△AME中，AM+ AE=EM(2a-y)2+a2=y,解得y=32。 4a. BN=39。:∠BAE=∠D=08S-号 .△ABE△DAC..∠ABE=∠DAC.·∠ABE+ ∠AEB=90°，.∠DAC+∠AEB=90°.∴.∠AOE=90°. BE LAC.MN LBE.MN/AC.MN-BM_ AC BA 3w2 4a3 2a4 第三章拔尖自主测评 1A设x=k,则y=3k,2三3k,故2x十y=2k+3k 2 x一y 15 7 2.B设较小三角形的周长为xcm,则较大三角形的周长 为(48一x)cm,,:两个相似三角形的最长边分别是10cm 和6cm,.x:(48-x)=6:10,解得x=18,即较小三角 形的周长为18cm. 3.C如图，分别连接OA,DB,EC,其所在直线交于点 G(4,2),则点G为所求的位似中心，故位似中心的坐标为 (4,2). A(21X 012345x (第3题) 4.C四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴.AB= BC=4,∠A=∠B=90.:E是AB的中点，∴.AE=BE= ?AB三2，在Rt△BCE中，由勾股定理得CE √BC2+BE=J42+22=25.∠A=∠B=90°， EF⊥EC,∴.∠BCE+∠BEC=9O°，∠AEF+∠BEC= 0.∴.∠BCE=∠AEF..△BCED△AEF..CF= EF-CECAE-25X2-5.△CBF的面积 BC 4 为2cE·EF=2×25×5=5. 1 5.D由折叠可得DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC,AM= MD=DP=PC,∴.MN∥DE∥PQ∥BC.故A正确，不符 合题意.△ADED△ACBD△AMN.-是 2'DE-AD2.BC-2DE,DE=2MN.BC= 1 MN AM 1 4MN.'.BC=2DE=4MV.故B正确，不符合题意， :MNPQ器兴 8器阳=-AN=AB.QN=专AB.AN=Q= NQ.故C正确，不符合题意.：△ADED△ACBn △ANo△AQ.e-A0-号，需-0-号 设化-子深焉误故D错误符合题意 6.D如图，根据题意，易得△AFH△ADE.、.S△= S△ADE （)°=()°=6设Swm=9,则Swe=16.