5.3《二次函数的应用》同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

5.3《二次函数的应用》同步练习 一、选择题 1．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 2．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 3．中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 6．如图，将一根长的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A． B． C． D． 8．小华用黑、白两个小球开展模拟实验．如图①所示，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同时向右运动，黑球在A处开始减速，黑球的运动速度与运动时间满足，白球在B处开始以的速度匀速运动．设运动时间为x（单位：），黑白两球之间的距离为y（单位：）．如图②所示，y关于x的函数图象（已包含此函数图象的全部信息）成二次函数关系，与y轴交于点C，最低点，且经过点．下列说法正确的是（    ） A． B．点在二次函数图象上 C．A，B两点相距 D．两个小球会发生碰撞 9．如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 10．新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（     ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 二、填空题。 11．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 12．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 13．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    14．如图，某学校大门的形状是一条抛物线，其函数表达式为，现有一货车，它的车身宽为米，车厢面距离地面的高度为米，准备拉一车学习用品从大门的正中间进入校园，为了安全通过学校大门，则该车堆放学习用品的高度应不高于__________米．（假设堆放学习用品的宽度与车身宽度一致） 15．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 16．某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则的值为______． 三、解答题． 17．在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 18．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 19．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 20．今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 21．为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 22．城市便民驿站日常储备A型便民补给箱、B型便民医疗箱．现有信息如下： 信息1：2个满载A型箱和3个满载B型箱总质量为；3个满载A型箱和2个满载B型箱总质量为． 信息2：A型箱单价50元/个，B型箱单价48元/个；驿站一共储备两类箱子共30个； 储备要求：A型箱数量不少于B型箱的，且B型箱最多储备15个． 信息3：日常运维中，B类医疗物资需要恒温收纳，收纳成本随储备数量变化：只储备1个B型箱时，收纳费为1元/个，每多储备1个B型箱，每个B型箱的收纳单价增加元；A型箱无额外收纳费用． 问题解决 (1)求单个A型箱、B型箱满载后的质量； (2)设储备B型箱个，总费用（采购收纳）为元，求与的函数关系式； (3)求总费用最低的储备方案及最低总费用． 23．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 24．某电子屏上下边缘距离为，点P在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为t秒，点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，d由两部分组成：为常数，与t的平方成正比，且有如下表格中的数据． t d (1)用含t的代数式表示d，直接写出最高点M的坐标； (2)若，用分别表示点P的横坐标x、纵坐标y，求y与x之间的关系式，并求点P在电子屏左边缘时的坐标； (3)甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点M，若乙点比甲先出发，，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出m的最小值． 参考答案 一、选择题 1．B 解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 2．B 解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 3．A 解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 4．C 解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵水流是关于轴对称的两条抛物线， ∴点A，B关于y轴对称， ∴点， ∴． 5．C 解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选：C． 6．A 设矩形的一边长为，面积为 矩形的另一边长为， ， 围成的矩形的最大面积为 7．C 解：由图象可知，抛物线开口向上， 从18和72可以看出对称轴约为， 从18和54可以看出对称轴约为， 所以最终对称轴的范围是， 即对称轴位于直线与直线之间， 所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为． 故选：C． 8．C 解：根据题意得，当两球的速度相等时，两球距离最小， ∴此时A球的速度为 ∴将代入得， 解得， ∵y关于x的函数图象成二次函数关系，最低点， ∴ ∴设二次函数的解析式为 将代入得， 解得 ∴二次函数的解析式为 当时， 解得，即，故A错误； 将代入，故B错误； 当时， ∴A，B两点相距，故C正确； 当时， ∴ ∴二次函数与x轴没有交点， ∴两个小球不会发生碰撞，故D错误． 9．C 解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 10．C 解：由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴方案一抛物线的函数表达式为：，故A正确， 由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ，故B正确， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，故C错误 把代入得：， 解得：， ∴ ∴，故D正确 二、填空题。 11．5 解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 12．5 解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 13．6 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 14． 解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于G， ∵函数表达式为， ∴抛物线的对称轴直线为：，即点G的横坐标为， ∵， ∴点A的横坐标为：， 如图：延长交抛物线于点H，则点H的横坐标为3， ∴点H的纵坐标为，即， ∴米， ∴则该车堆放学习用品的高度应不高于米． 故答案为：． 15．不能 解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 16．20 解：设销售单价为元时，利润为， 根据题意，得， ∵， ∴当时，有最大值， 此时，销量为（件）， 则降价促销后，售价为元，销售量为件． 根据题意，得， 设， 则方程为，即， 解得或， 则或， 为使销量尽可能大，则． 故答案为：20． 三、解答题． 17．（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 18．（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 19．（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 20．（1）解：设燕子型风筝售价为元时，销售量为个， 根据题意可知：)， 销售量与售价之间的函数关系式为)； （2）解：设锁大爷获得的利润为元， 则， 令，则， 解得：，， ∵锁大爷为了让利给孩子， ∴， 答：售价应定为元； （3）解：∵， ， 当时，取最大值，最大值为． 答：当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元． 21．（1）解：设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得， 解得， ∴兴趣小组最多能制作个水轮发电机； （2）解：当时，每个发电机每秒的发电功率， ∴； 当时，， ∵，， ∴时，总发电功率最大值：（焦耳秒）， 当时，最大总发电功率（焦耳秒）， ∵， ∴模型的总发电功率最大是每秒焦耳． 22．（1）解：设单个A型箱满载质量为，单个B型箱满载质量为， 根据题意列方程组得， 解得， 答：单个A型箱满载质量为，单个B型箱满载质量为． （2）解：由题意得，储备A型箱个， 根据储备要求可得：，且，为正整数， 又储备两类箱子，因此， 解得：，且为正整数， 采购总费用为：， 个B型箱的收纳单价为元， 总收纳费用为， 因此总费用， 整理得（，且为正整数）． （3）解：对于二次函数，，抛物线开口向上，故有最小值， 对称轴为， ∵，且为正整数，和到对称轴的距离相等且最近， 当时，， 此时A型箱数量为个， 当时，， 此时A型箱数量为个， 答：最低总费用为元，储备方案为A型箱28个B型箱2个，或A型箱27个B型箱3个． 23．（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 24．（1）解：∵与t的平方成正比 ∴设，则：， ∵当时，，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，在最高点，， ∵某电子屏上下边缘距离为，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，竖直方向与电子屏上边缘距离为 ∴当运动至点M时达到最高点，距左边缘，距下边缘， ∴； （2）解：∵点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，， ∴点P的横坐标，纵坐标， 由可得， 把代入得， 当时，， ∴点P在电子屏左边缘时的坐标为． （3）解：m的最小值为，理由如下： ∵乙点比甲先出发，， ∴在下落过程中，，，， ∵当甲点恰好处于乙点正上方时，，则， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ∴， ， ∵某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴，即m的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $