主题1 数与式-【初中五大科核心考点一本全】2026年初中数学考点练习

数学 主题一数与式 数与式 有理数 代数式 整式的运 实数 分式 二次根式 及其运算 和整式 算与因式 分解 总的2 0 器 9 』变 3.的，a.c 鱼 心o 正数和负数 有理数 有理数的运算 代数式 篝 同类项 整式的运算 乘法公式 因式分解 方 立方根 轰 分式的相关概念 分式的运算 二次根式的加减及 混合运算 数 一次根式的概念 次根式的乘除 可以写成分 和算术平方根 数形式的数 第1节 有理数及其运算 核心考点 ·考点1 正数和负数 3年186考 2.具有相反意义的量 1.定义 对于两个具有相反意义的量，我们通常把 其中一种意义的量规定为正，与它具有相 定义 补充 大于0的数叫作正数，有 反意义的量就为负.习惯上把“零上、前 时，为了明确表达与负数 正数前面的 进、盈利”等规定为正，把“零下、后退、亏 数 的相反意义，在正数的前 “+”号可以 面加上符号“+”（读作 省略 损”等规定为负， “正”) 负数前面的 在正数前加上符号“-” 考点2有理数 3年394考 数 “一”号不能 的数叫作负数 省略 1.有理数的分类 0既不是正数，也不是 0是正数和负 正整数 0 负数 数的分界线 整数 0 易错警示 有“-”号的数不一定是负数 有理数 负整数 正分数 如-a,当a为负数时，-a为正数 分数 负分数 /065 初中五大科核心考点一本全 正整数 续表 正有理数 正分数 方法 方法介绍 有理数 0 负整数 设a,b为任意正数，若号>1，则a>b 负有理数 求商法 负分数 若号=1，剥a=b:若号<1，则a<6 反之也成立 2.数轴 倒数 如果两个数都大于0，那么倒数大的反 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫 比较法 而小 作数轴。 单位长度 原点 正方向 考点3 有理数的运算 3年268考 -2 -10 名称 内容 学 3.相反数 同号两数相加，和取相同的符号，且和 的绝对值等于加数的绝对值的和 只有符号不同的两个数，互为相反数. 般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相 绝对值不相等的异号两数相加，和取 绝对值较大的加数的符号，且和的绝 反数是0. 加法 对值等于加数的绝对值中较大者与较 4.绝对值 小者的差 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距 互为相反数的两个数相加得0 离叫作数a的绝对值，记作Ial. 一个数与0相加，仍得这个数 a,a>0, 减去一个数，等于加这个数的相反数， 减法 对于任何有理数a,都有lal= 0,a=0, 即a-b=a+(-b) -a,a<0. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积 5.有理数的大小比较 乘法 的绝对值等于乘数的绝对值的积.任 何数与0相乘，都得0 方法 方法介绍 除以一个不等于0的数，等于乘这个 在向右（或上）为正方向的数轴上表示 除法 数的倒数，即a÷b=a· 数轴法 的两个数或几个数，左（或下）边的数 石60) 总比右（或上）边的数小 求n个相同乘数的积的运算，叫作乘 同正：绝对值大的数大 乘方 方，乘方的结果叫作暴.在a”中，a叫 两数同号 同负：绝对值大的数反而小 作底数，n叫作指数 法则 两数异号 正数大于负数 科学 比较法 把一个大于10的数表示成a×10的形 正数大于0 记数法 式（其中a≥1，且a<10,n是正整数） 个数为0 负数小于0 X速记口诀同号相加一边倒，异号相加 设a,b为任意数，若a-b>0,则a>b; 作差法 若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则 “大”减“小”，符号跟着“大”数跑，与0 a<b.反之也成立 相加得原数，相反数相加0正好. 066 主题一数与式 高频考法 考法①有理数的有关概念 考法③有理数的运算 中考母题12025·河南中考 在学校足球 中考母题]2024·吉林中考 若(-3)× 比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4 口的运算结果为正数，则口内的数字可以为 个，那么该队失3个球记作( A.+3个B.-3个C.+4个D.-4个 A.2 B.1 C.0 D.-1 中考母题22024·江西中考 -5的相反 中考母题22024·长春中考 根据有理数 数是( 加法法则，计算2+(-3)的过程正确的是 A.5 B.-5 c D.-1 ( A.+(3+2) B.+(3-2) 数 中考母题32024·河南中考 如图，数轴上 C.-(3+2) D.-(3-2) 学 点P表示的数是( 考法④科学记数法 -1 01 2 中考母题新考向·航天工程2024年6月 A.-1 B.0 C.1 D.2 6日，嫦娥六号在距离地球约380000km外 考法②有理数的大小比较 上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对 接.数据“380000”用科学记数法表示 中考母题2024·贵州中考 下列有理数 为() 中最小的数是( A.3.8×104 B.3.8×10 A.-2B.0 C.2 D.4 C.3.8×10 D.0.38×10 第2节 代数式和整式 核心考点 ·考点1 代数式3年269考 2.反比例关系 1.代数式 两个相关联的量，一个量变化，另一个量 我们称用运算符号把数或表示数的字母 也随着变化，且这两个量的乘积一定，这 连接起来的式子为代数式.单独的一个数 两个量就叫作成反比例的量，它们之间的 或一个字母也是代数式 关系叫作反比例关系。 易错警示 3.代数式的值 代数式中不能含有等号 一般地，用数值代替代数式中的字母，按 （=),不等号（≠，≤，≥，<，>），约等 照代数式中的运算关系计算得出的结果， 号（≈），但可以有绝对值符号。 叫作代数式的值.当字母取不同的数值 时，代数式的值一般也不同. 【答案】考法1：BAA考法2：A考法3：DD考法4：B /067 初中五大科核心考点一本全 ·考点2 整式3年247考 ·考点3同类项 3年264考 1.多项式的项数 名称 单项式 多项式 整式 多项式里，单项式的个数就是多项式的项 如a2,0.9p, 写0A,这装代 数，一个多项式含有几项，就叫几项式 2.多项式的次数 数式都是数 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这 或字母的积， 几个单项 单项式与 个多项式的次数， 像这样的代 定义 式的和叫 多项式统 数式叫作单 3.同类项 作多项式 称整式 项式。单独的 所含字母相同，并且相同字母的指数也相 同的项叫作同类项.几个常数项也是同 一个数或一 个字母也是 类项. 学 单项式 4.合并同类项 一 般地， 定 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合 单项式中的 用数值代 并同类项 多项式里， 数字因数叫 替整式中 每个单项 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类 作这个单项 的字母， 项的系数的和，字母连同它的指数不变 式叫作多 相关 式的系数，所 按照整式 项式的项， 找 找出同类项，当项数较多时，通常在 概念 有字母的指 的运算关 同类项的下面做相同的标记 不含字母 数的和叫作 系计算得 的项叫作 步 运用加法交换律、结合律将多项式中 这个单项式 出的结果 放 的同类项放在一起 常数项 的次数 叫作整式 合 利用合并同类项法则合并同类项 的值 写 写出合并后的结果 注意：多项式的每一项都是单项式，每一项都 了速记口决合并同类项，法则不能忘。 包括它前面的符号 只求系数和，字母、指数不变样 高频考法 考法① 代数式 考法③ 同类项 中考母题2024·新疆中考 若每个篮球 中考母题2024·河南中考 请写出2m的 30元，则购买n个篮球需 元 个同类项： 考法②整式的概念 考法④ 合并同类项 中考母题2024·长春中考 单项式-2a2b 中考母题2023·株洲中考 计算：3a2- 的次数是 2a2= 068 【答案】考法1：30n考法2：3考法3：m(答案不唯-）考法4：a2 主题一数与式】 第3节 整式的运算与因式分解 核心考点 ·考点整式的运算 3年365考 3.整式的混合运算 1.整式的加减 含有整式的加减、乘除以及乘方的多种运 几个整式相加减，如果有括号就先去括 算叫作整式的混合运算， 号，然后再合并同类项.整式加减的实质 是去括号、合并同类项. 整式的混合运算的顺序：先算乘方，再算 2.整式的乘法 乘除，最后算加减.同级运算，从左到右进 名称 法则 字母表示 行.如果有括号，先算括号里面的.去括号 数 am·a= 同底数幂 时，一般先去小括号，再去中括号，最后去 学 底数不变，指数相加 的乘法 am+(m,n都 是正整数) 大括号 (am)n=amn …考点2 乘法公式 3年428考 幂的乘方 底数不变，指数相乘 （m,n都是 正整数) 名称 公式 把积的每一个因式 (ab)"=a"b" 积的乘方 分别乘方，再把所得 (n是正整 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 的幂相乘 数) 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 单项式 用单项式去乘多项 p(a+b+c)= 与多项式 式的每一项，再把所 pa +pb pc 相乘 得的积相加 (p,a,b,c都 速记口快平方差公式：两数和乘两数 是单项式) (a+b)(p+ 差，等于两数平方差，同项平方被减 先用一个多项式的 多项式与 q）=叩+ 数，相反平方作减数.完全平方公式： 多项式 每一项乘另一个多 ag+bp+bg 相乘 项式的每一项，再把 首平方，尾平方，二倍乘积在中央。 所得的积相加 （a,b,P,q都 是单项式) am÷a"= ·考点3 因式分解3年397考 同底数幂 底数不变，指数相减 am-"(a≠0， 的除法 1.因式分解 m,n都是正 整数，m>n) 把一个多项式化成了几个整式的乘积的 任何不等于0的数的 形式，像这样的式子变形叫作这个多项式 零指数幂 0次幂都等于1 a°=1(a≠0) 的因式分解，也叫作把这个多项式分解 先把这个多项式的 (am+bm)÷ 多项式 每一项除以这个单 因式 除以 m=a+b(a, 单项式 项式，再把所得的商 b,m都是单 相加 项式，m≠0) a2-b2 因式分解（变形）(a+b)(a-b) 整式乘法（计算) /069 初中五大科核心考点一本全 2.提公因式法 b2,(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互 一般地，如果多项式的各项有公因式，可 换，就得到a2+2ab+b2=（a+b)2,a2 以把这个公因式提取出来，将多项式写成 2ab+b=(a-b)2,即两个数的平方和加 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种 上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这 分解因式的方法叫作提公因式法 两个数的和（或差）的平方. 提公因式法的一般步骤：第一步是找出各 4.因式分解的一般步骤 项都含有的公因式；第二步是提取公因式 看有无公因式，若有，则先提公 提 并确定另一个因式，具体就是把公因式提 因式 到括号外面，另一个因式是多项式除以公 考虑是否可用公式法分解，两项 考虑平方差公式，三项考虑完全 因式所得的商. 平方式 3.公式法 检查是否分解彻底，若没有则继 三查 学 (1)用平方差公式分解因式：由于整式的 续分解 乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 易错警示 (1)公因式要提“全”提“净” 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)= 使系数不含公因数，字母不含公因式。 a2-b2的等号两边互换，就得到a2-b2= (2)当多项式的首项系数为负数时，要 (a+b)(a-b),即两个数的平方差，等于 把“-”号提出来，使括号内的首项系数 这两个数的和与这两个数的差的积， 变为正数 (2)用完全平方公式分解因式：把整式乘 法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+ 高频考法 考法① 整式的运算 中考母题22024·甘肃中考 先化简，再 中考母题12024·辽宁中考 下列计算正确 求值： 的是( ) [(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中 A.a2+a3=2a B.a2.a3=a6 a=2,b=-1. C.(a2)3=a D.a(a+1)=a2+a 【解析】原式=[4a2+4ab+b2-(4a2- 中考母题22024·德阳中考若一个多项 62)]÷2b 式加上y2+3y-4,结果是3+2y2-5,则 =(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b 这个多项式为 =(4ab+2b2)÷2b 考法②乘法公式与因式分解的运用 =2a+b. 当a=2,b=-1时， 中考母题12024·甘肃中考 因式分解： 原式=2×2+(-1)=4+(-1)=3， 2x2-8= 070 【答案】考法1：Dy2-1考法2：2(x+2)(x-2) 主题一数与式 第4节 实数 核心考点 考点1 平方根和算术平方根3年7者 开立方与立方互为逆运算. 2.立方根和平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 一般地，如果一个 正数a有两 平方根 立方根 数x的平方等于 个平方根， 存在 a,即x2=a,那么 其中正的平 非负数 任意数 定义 条件 这个数叫作a的 方根√a叫作 数 平方根或二次 a的算术平 表示 ±√a,根指数 a,根指数“3” 学 方根 方根 贪 方法 “2”可以省略 不可以省略 表示 方法 ±a a 正数有两个平 任意一个实数只 个数、 区别 正数的算术 方根，它们互为 有一个立方根， 正数有两个平方 个数、 平方根只有 正负性 且与被开方数的 根，它们互为相 相反数 符号一致 正负性 反数 一个，且一 定是正数 运算 都与相应的乘方运算互为逆运算 关系 一个正数的平方根包含其算术平 包含 系 方根，而一个正数的算术平方根 0的平方根和立方根均为0,1的算 关系 特殊值 是其正的平方根 术平方根和立方根均为1 联系 存在 只有非负数才有平方根和算术平 工名师点拨(1)互为相反数的两个数 条件 方根 的立方根也互为相反数.(2)被开方 特殊值 0的平方根和算术平方根均为0 数越大，对应的立方根也越大 易错警示 平方根等于它本身的数只有 ·考点3 实数3年427考 0,算术平方根等于它本身的数有0和1. 1.实数 考点2」 立方根③车384考 无限不循环小数叫作无理数.有理数和无 1.立方根 理数统称实数. 一般地，如果一个数x的立方等于a,即 令易错警示 无理数都是无限小数，但无限 x=a,那么这个数x叫作a的立方根或三 小数不一定是无理数，只有无限不循环 次方根， 小数才是无理数 求一个数的立方根的运算，叫作开立方： /071 初中五大科核心考点一本全 2.实数的分类 续表 (1)按定义分类 一个正实数的绝对值是它本身；一个 正有理数 有限小数或无 绝对值 负实数的绝对值是它的相反数；0的绝 有理数 限循环小数 对值是0 实数 负有理数 正无理数 倒数 无限不循环 任意非零实数a的倒数为 a 无理数 负无理数 小数 工名师点拨(1)任意实数a的绝对值都 (2)按符号分类 是非负数，即|al≥0；互为相反数的两 正实数 个数的绝对值相等，即Ia1=|-a. 实数 0 (2)若a与b互为倒数，则ab=1. 数 负实数 学 3.实数与数轴上的点的关系 5.实数的运算顺序 实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减 实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过 同级运算按照从左到右的顺序进行.有括 来，数轴上的每一个点都表示一个实数 号的要先算括号里面的， 4.实数的性质 注意：实数的运算顺序与有理数的运算顺 数a的相反数是-a,这里a表示任意 相反数 一个实数.若实数a与b互为相反数， 序相同，有理数范围内的运算律、运算法 则a+b=0 则和大小比较方法同样适用于实数. 高频考法 考法① 实数的相关概念和运算 A.3 B. C.-1 D.-2 中考母题12024·福建中考 下列实数中， 中考母题32024·广西中考 写出一个比 为无理数的是( √3大的整数： A.-3 B.0 D.5 考法③实数的混合运算 中考母题22025·广州中考 下列四个选 中考母题)2025·乐山中考 计算：-31+ 项中，是负无理数的是( w25-2sin30. A.-2 B.-1 C.0 D.3 考法②实数的大小比较 【解析】原式=3+5-2×}=7。 中考母题12025·湖南中考 下列四个数 中，最大的数是( 中考母题22024·河南中考节选 计算： A.3.5 B.√2 C.0 D.-1 2×√50-(1-5)°. 中考母题22024·枣庄中考 下列实数中， 平方最大的数是( 【解析】原式=√100-1=10-1=9 072 【答案】考法1：DA考法2：AA2(答案不唯-) 主题数与式 第5节分式 核心考点 ·考点1 分式的相关概念③车1 5.通分与最简公分母 1.分式的三要素 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式 分别化成与原来的分式相等的同分母的分 (1)形如合的式子。 式，叫作分式的通分.几个分式通分时，通常 (2)A,B均为整式. 取各分母的所有因式的最高次幂的积作公 (3)分母B中含有字母. 分母，这样的分母叫作最简公分母. 数 令易错警示 ·考点2分式的运算3车7围 学 ()当B≠0时，分式合有意 1.分式的运算法则 义(2)当B=0时，分式音无意义 分式乘分式，用分子 分式的乘 的积作为积的分子， a. (3)当A=0且B≠0时，分式8的值为0 b d 法法则 a·c 分母的积作为积的 b·d 分母 2.分式的基本性质 分式除以分式，把除 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等 a C ÷ 分式的除 式的分子、分母颠倒 于0的整式，分式的值不变式子表示为 a d 法法则 位置后，与被除式 b AA·CAA÷C a·d B-B·C'B-B÷C 相乘 b·c 其中A,B,C(C≠0)是整式. 3.分式的符号变号法则 分式的 分子、分母分别乘方 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变 乘方 6,其中n 其中任何两个，分式的值不变.式子表示为 是正整数 同分母分式相加减，分 ￥6 a -B 母不变，把分子相加减 a±b 分式的加 a C 4.约分与最简分式 减法法则 异分母分式相加减， 6 先通分，变为同分母 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与 6d±6d= 分母的公因式约去，叫作分式的约分.分子 的分式，再加减 ad±bc bd 与分母没有公因式的分式，叫作最简分式 /073 初中五大科核心考点一本全 2.分式的混合运算 3.整数指数幂 (1)分式的混合运算 (1)负整数指数幂 含有分式的乘除、乘方、加减的多种运算 任何不等于0的数的-n(n为正整数)次 幂，等于这个数的n次幂的倒数.用式子 叫作分式的混合运算 (2)混合运算的顺序 表示为”=。（a≠0n为正整数. 先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号 (2)整数指数幂的运算性质 的要先算括号里面的. 同底数幂的乘法 am·a"=am+n (3)分式的化简求值 同底数幂的除法 a"÷a”=am-"(a≠0) 先按照分式混合运算法则化简分式，然后 幂的乘方 (am）"=am 代入相应的数，求分式的值（代数过程中 积的乘方 (ab)"=a"b" 要注意使分式有意义，即所代的数不能使 分式的乘方 学 分母为0) 注：表中的m,n是整数. 高频考法 考法①分式有意义的条件 B.6÷x3=x C.(a2)3=a7 中考母题2025·常州中考 若分式 x+1 D.(ab)3=ab3 有意义，则实数x的取值范围是( 中考母题22024·河北中考 已知A为整 A.x≠-1 B.x=-1 式，若计算A 2y的结果为，则 C.x≥-1 D.x>-1 A=( 考法②根据分式的值求未知数 A.x B.y 中考母题T新角度·发散性试题 当分式 C.x+y D.x-y 中1的值为正数时，写出一个清足条件的： 考法④分式的化简求值 的值： 中考母题2024·湖南中考先化简，再求 3 中考母题22024·济南中考 若分式x] x十2+子其中x=3。 2x 的值为0，则实数x的值为 【解析】原式=(x+2)(x-2).龙 x2 考法③分式的运算 3=-2+3=x+1 中考母题12024·云南中考 下列计算正 确的是( 当x=3时，原式=3+1-4 3 A.x3+5x3=6x4 074 【答案】考法1：A考法2：1（答案不唯一）1考法3：DA 主题一数与式 第6节 二次根式 核心考点 ·考点1 二次根式的概念6年363考 ·考点2 二次根式的乘除 3年219考 1.定义：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式 1.二次根式的乘除法则 子叫作二次根式，“√一”称为二次根号， 二次根 两个二次根式相乘， 二次根号下的a叫作被开方数 √a√b=√ab 式的乘 把被开方数相乘，根 (a≥0，b≥0) 。易错警示 法法则 指数不变 数 在判断二次根式时，注意是看 学 式子本身而不是看它计算或化简后的 积的算 化为积中各因数或 √ab=√a. 术平 因式的算术平方根 结果 √b(a≥0， 方根 的积 b≥0) 2.二次根式有无意义的条件 二次根 两个二次根式相除， a 式的除 把被开方数相除，根 条件 字母表示 法法则 指数不变 (a≥0，b>0) 二次根式 被开方数 √a有意义←→a≥0 商的算 a-√a 有意义 是非负数 化为被除式与除式 术平 的算术平方根的商 二次根式 被开方数 方根 (a≥0，b>0) √a无意义←→a<0 无意义 是负数 2.化简二次根式 (1)将被开方数中能开得尽方的因数或因 3.(√a)2(a≥0)与√2的区别与联系 式进行开方： (√a)2(a≥0) √辰 (2)化去根号下的分母.若被开方数中含 表示的 非负数a的算术 实数a的平方 有带分数，应先将带分数化成假分数；若 意义 平方根的平方 的算术平方根 被开方数中含有小数，应先将小数化成 运算 分数 别 先开方再平方 先平方再开方 顺序 (3)被开方数是多项式的要先进行因式 取值 a≥0 a为任意实数 分解。 范围 注意：在二次根式的运算中，一般要把最 (1)结果都是非负数.(2)当a≥0 联系 后结果化为最简二次根式，并且分母中不 时，(Wa)2=√a=a 含二次根式 /075 初中五大科核心考点一本全 考点3 二次根式的加减及混合运 2.二次根式的加减运算的一般步骤 算③年224考) (1)化：将每个二次根式都化成最简二次 根式 1.二次根式的加减 (2)找：找出化简后被开方数相同的二次 般地，二次根式加减时，可以先将二次 根式 根式化成最简二次根式，再将被开方数相 (3)合：类似于合并同类项，将被开方数相 同的二次根式进行合并. 同的二次根式合并成一项， 名师点拨二次根式的加减实质上就 3.二次根式的混合运算 是合并被开方数相同的最简二次 先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减有 根式 括号的先算括号里面的（或先去掉括号）： 学 高频考法 考法① 二次根式有意义的条件 B.(-a)=-a 中考母题12024·绵阳中考 若式子：在 C.a3.(-a)2=a D.(-a2)3=a 实数范围内有意义，则x的取值范围为 中考母题22024·成都中考 若m,n为实 () A.x<0 B.x≤0 数，且(m+4)2+√n-5=0,则(m+n)2的 C.x>0 D.x≥0 值为 中考母题22025·广州中考 要使代数式 考法③ 根据二次根式的运算法则 x+有意义，则x的取值范围是 求值 x-3 中考母题12025·河北中考 计算：(w10+ 中考母题32024·北京中考若√x-9在 实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 6)(√10-6)=( A.2 B.4 C.6 D.8 考法②根据根式的性质求值 中考母题22025·湖北中考 计算：1-61- 中考母题12025·安徽中考 下列计算正 √2×8+22. 确的是( 【解析】原式=6-√16+4=6-4+4=6. A./(-a)2=-a 076 【答案】考法1：Cx≥-1且x≠3x≥9考法2：B1考法3：B