2026年重庆中考数学专题突破训练 -整式操作（第10题）

**基本信息** 聚焦整式概念综合应用，通过分类讨论与枚举法系统突破系数、次数、项数的关联问题，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式概念综合应用|21题，涵盖单项式/多项式、系数和/次数和等|分类讨论、枚举法、系数次数关系分析|从整式基本概念（系数、次数、项数）到综合条件应用，构建“概念生成-条件限制-逻辑推理”链条|

重庆市中考数学专项练习--整式操作（第10题） 1．已知整式（），其中n为正整数，（i为整数，）均为整数，，记，且，下列说法中，正确的个数为（    ） ①在所有满足条件的整式M中，有且只有4个单项式； ②当，时，所有满足条件的整式M之和的最小值为； ③当时，满足条件的整式M共有12种． A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知整式M：，其中，，，，为自然数，n，为正整数，且，．下列说法： ①当，时，M的最小值为6； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，均为整数，若，下列说法正确的个数有（   ） ①没有满足条件的单项式； ②时，有最小值为； ③所有满足条件的整式有10个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知整式：，规定：中各项系数之和为，中各项次数之和为，，其中为自然数，为正整数，且．例如，当，时，整式：，则，，．下列说法： （1）当时，满足条件的整式共有4个； （2）当时，满足条件的所有整式的和为； （3）满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知整式，其中n，为正整数，，，…，，为自然数，且，下列说法： ①在所有满足条件的整式M中，单项式共有4个； ②存在一个n，使得满足条件的整式M有且只有6个； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有1个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知整式，，其中n为正整数，，，…，为整数且均不为0，从，，…，这n个数中，任意选择个数作变换，将选中的数变换成，其余各数保持不变，这样得到的新多项式称为M的一个“替差式”．如：多项式，若选择，变换得到的“替差式”为，若选择、，变换得到的“替差式”为下列说法中，正确的个数是（    ） ①若，则M的“替差式”只有1个； ②当时，不存在多项式M，使它所有的“替差式”之和的三次项为； ③当时，若M的所有“替差式”的和为，则； A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知整式，其中为正整数，每个数只能取中的一个，．下列说法： ①当时，满足条件的整式有：； ②当时，满足条件的整式共有6种； ③若，且当时，；则． 其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．已知整式，此时，其中n，为正整数且，若，下列说法： ①若，满足条件的整式M之和为； ②若，满足条件的二次三项式M共有4个； ③若，满足条件的整式M共有8个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 10．已知整式M：，其中，为正整数，，，，均为自然数，下列说法中正确的有（   ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式M唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有30个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．关于x的多项式：，其中n为自然数，含x各项的系数均不为0且各不相同，下列说法中：①若多项式，则；②若多项式，则；③若，且为整数，则满足条件的多项式共有6个．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．已知整式，其中，，，，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（   ） ①若，则多项式M可以为二次三项式； ②若，满足条件的所有整式M的和为； ③当且时，记满足条件的整式分别为，，，，则关于x的方程的解为或． A．3 B．2 C．1 D．0 13．已知整式，其中，为正整数，均为自然数，下列说法中正确的有（    ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式不唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有27个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（   ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．关于的多项式，其中系数和均为自然数，且． ①当时，满足条件的多项式共有9种； ②当是二次三项式，，则多项式有最小值为； ③当是二次三项式，且．方程有解，当取最小值时，方程的两根满足； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．已知整式，满足，若，其中、．．．，为整数，且、、不为零，下列说法正确的有（    ）个． ①当时，不存在使得为单项式； ②当时，满足条件的有2个； ③当时，满足条件的共有4个． A．0 B．1 C．2 D．3 17．已知整式，其中为正整数，，为自然数，若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有3个三次三项式； ②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 18．已知整式，其中n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式Q中，n的最大值为24； ②当时，满足条件的整式Q有且只有2个； ③满足条件的所有整式Q共有17个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．已知整式，其中n为正整数，，，…，，均为绝对值小于2的整数且．若M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，满足且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有12个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．已知整式，其中n为正整数，为自然数，且．下列说法： ①当时，满足的整式Q共有5个； ②当时，满足条件的所有整式Q的所有项的系数总和为120； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意数时，其值一定为非负数的整式Q共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．已知整式，其中，为正整数，，，…，为非负整数，并且满足，下列说法： ①所有满足条件的M中，的多项式共有4个； ②所有满足条件的M中，常数项为0的多项式共有5个； ③若规定，，…，均为正整数，则m的可能取值只有1种． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．D 【分析】根据条件得到系数为严格递增整数，结合平方和条件，分情况讨论逐一验证三个说法即可． 【详解】解：①∵是单项式，则只有一个非零系数， ∵，故仅，其余． 当时，，不满足，排除； 当时，仅，则，满足， ∴，， ∴正整数或2或3或4，共4个单项式，故①正确； ②当，时，，， ∵（i为整数，）均为整数，，且， ∴或或 ∴或或 ∴所有满足条件的整式M之和为 ∵ ∴抛物线开口向上 ∴二次函数的最小值为，故②正确； ③当时，，， ∵（i为整数，）均为整数，， ∴或或或或或或或或或或或， ∴满足条件的整式M共有12种，故③正确． 综上，正确个数为3． 2．C 【分析】根据题干给出的次数系数条件，按每个说法的要求分类枚举所有符合条件的整式，再逐一验证说法即可． 【详解】解：由题干条件可知，为正整数，，，，，为自然数，为正整数，满足，且． 验证说法①：， ， ，且． 当时，． ， ， 为正整数， 最小为，此时最小值为． 最小值不是，①错误； 验证说法②：， ， ，且 枚举所有符合条件的整式： ，得； ，得； ，得； 无其他符合条件的整式，求和得：，②正确； 验证说法③：二次整式即， ， ， ，且， 枚举所有整式并判断非负性： 时，，对任意实数都有，符合要求； 时，，当时，，不符合； 时，，当时，，不符合； 时，恒成立，符合要求； 满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个，③正确． 综上可知，② ③正确，正确的个数是2． 3．C 【分析】先根据条件列举所有可能的n和系数组合，再逐一验证三个说法即可． 【详解】解：∵，，为自然数，为正整数， ∴取1，2，3，6， ①若是单项式，则除最高次项外其余系数均为0，乘积， 因此没有满足条件的单项式，①正确． ②当时，， ∴， 所有满足的有：或或， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，最小值为， ∴时，有最小值为，②正确； ③枚举所有满足条件的整式： 时，，满足条件的整式有，，共2个； 时，由②得：满足条件的整式有3个； 时，，即，满足条件的整式有，，，共3个； 时，，即，满足条件的整式有，，，，共4个， 总共有个，③错误． 综上，正确的说法有2个． 4．D 【分析】对于说法（1），当时，整式为常数，此时，，结合和为正整数的条件，直接确定的取值，从而统计满足条件的整式个数；对于说法（2），当时，按最高次项次数从开始分类，先确定、、时的可能情况，时因、导致，不符合条件，再列出所有符合条件的整式并求和；对于说法（3），按最高次项次数从到分类，分别讨论、、、时各项系数的取值范围，统计每类下满足的整式个数，最后求和得到总个数． 【详解】解：对于（1）：当时，整式，其中为正整数， 此时，，； 正整数可取，对应4个整式，故说法（1）正确； 对于（2）：当即时，按最高次项次数分类讨论： 当时，，则，整式； 当时，，则， 若，则，整式； 若，则，整式； 当时，最高次项次数为2，，，则， 只有，整式； 当时，，，，无符合条件的整式． 故所有整式的和：，故说法（2）正确； 对于（3）：当时，由（1）整式共有4个； 当时，， 若，∵， ∴，对应整式，共3个； 若，，即， 解为，，， 对应整式，共3个； 当时， 若，则，，，对应整式，共2个； 若，则，， 即，解为，对应整式，共1个； 若时，，，无符合条件的整式； 当时，最高次项次数为3，∵，， ∴，只有，其余系数为0，对应整式，共1个； 当时，，，，无符合条件的整式． 综上总个数为，故说法（3）正确． 综上，三个说法均正确，正确的个数为3． 5．D 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键． 根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为；共个整式． 当时， ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，整式为； ，，整式为； ，，整式为； 时，： ，，整式为； ，，整式为； 时，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，，整式为； ，，，整式为； ，，，整式为； 时，，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 则，，整式为，共个整式． 对于说法①，满足条件的单项式有时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ），共个单项式，说法①正确． 对于说法②，当时，满足条件的整式有个，说法②正确． 对于说法③，满足条件的二次三项式为，此时， 即当取任意实数时，其值一定为非负数的二次三项式共有1个，说法③正确， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查对新定义“替差式”的理解与应用，整式的加减，需根据定义逐项分析说法是否正确．说法①通过计算“替差式”即可判断；说法②通过求出所有“替差式”三次项系数和，判断与整数系数矛盾即可；说法③求出所有“替差式”，得到它们的和，再结合所给的所有“替差式”的和，得到系数分别相同，从而求出各个系数，即可判断． 【详解】解：说法①：中，，，，． 选，，则“替差式”为； 选，，则“替差式”为； 选，，则“替差式”为； 综上所述，“替差式”都为，只有1个． 故说法①正确． 说法②：当时，存在多项式M，使它所有的“替差式”之和的三次项为，这个多项式可以是； 它所有的“替差式”为“”和“”， 所以，， 所以，它们和的三次项系数为， 故说法②错误． 说法③：当时，， 选，“替差式”为； 选，“替差式”为； 选，“替差式”为； 选，“替差式”为； 选，，“替差式”为； 选，，“替差式”为； 选，，“替差式”为； 选，，“替差式”为； 选，，“替差式”为； 选，，“替差式”为； 选，，，“替差式”为； 选，，，“替差式”为； 选，，，“替差式”为； 选，，，“替差式”为； 选，，，，“替差式”为； ∴M的所有“替差式”的和为， ∵M的所有“替差式”的和为， ∴，解得， ∴， 故说法③正确． 综上所述，说法正确的是①③，共2个． 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查整式的相关知识，解题的关键是理解含义，进行分类讨论计算． 根据已知条件分别对三个说法进行分析判断即可． 【详解】解：当时，整式， ， ，即， ，，，每个数只能取1，0，中的一个， ，；，；，， 所以满足条件的整式有：，，，即①正确； 当时，根据题意知， 所以符合题意的有：，，； ，，； ，，； ，，； ，，； ，，； ，，； ，，， 故符合题意的整式共有8种，即②错误； 当时，， 即， ，，，每个数只能取1，0，中的一个， ， 则③正确． 故选：C． 8．A 【分析】 本题主要考查了整式的定义、系数条件限制下多项式构造等知识点，合理分析给定条件是解题的关键． 当时，满足条件的整式M包括常数项和一次、二次多项式，求和后应为，即可判断①；当时，满足条件的二次三项式M有4个，即可判断②；当时，满足条件的整式M有8个，即可判断③． 【详解】解：由题意可知： N为系数乘积，此时，其中n，为正整数且，且序列非递减， ①若时， 当时，； 当时，； 求和得，故①正确； ②若，二次M∶ ，， 、，共4个，故②正确．   ③若， 当时，，即有1个整式M； 当时，，即有3个整式M； 当时，，即有3个整式M； 当时，，即有1个整式M． 所以整式M共有8个，即③正确． 综上，正确的有3个． 故选A． 9．C 【分析】本题主要考查了多项式，一元二次方程的根的判别式等知识，根据题意得，得，即可求出方程的解为；方程整理得，根据方程有两个不等实根，则且，所以且，然后分若，若， 若时，进行求解；求得，然后分四种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且，为自然数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 若，则， ∵方程， ∴， ∴， ∵方程有两个不等实根， ∴且， ∴且， ∵，为自然数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则， 又∵， ∴，此时， ∴， ∵， ∴最大为， ∴最大为，故正确； ∵均为自然数，且， ∴均从最小的数取起，则（舍去）， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵是整系数多项式， ∴， ∴时，或或，有个整系数多项式； 时，或，有个整系数多项式； 时，，有个整系数多项式； 故当时, 共个整系数多项式； 当时，， ∴时， ，或，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； 故当时，共个整系数多项式； 当时，， 只有，，，，这种； 同理，当时，， 只有，，，，，这种； 综上，共有整系数多项式（个），故错误， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查整式的性质，不等式的性质，熟练掌握整式的性质及不等式的性质是关键． ①根据为正整数，可得不等式，即，再结合，，，均为自然数，即可得到结论； ②当时，确定整式M的形式，再结合不等式的情况判断整式是否唯一； ③根据三次三项式的条件，确定各项系数的取值，然后计算满足条件的整式个数即可． 【详解】解∶①， ， 为正整数， ， ， ， 又，，，都为自然数， ，，，中至少有一个为0， ， 故①正确； ②当时，整式，不等式，即， 因为不等式有且只有1个正整数解，且为正整数，为自然数， 当时，，即，要使不等式有且只有1个正整数解，则， 解得， 又因为为自然数， 所以，此时整式， 当时，不等式的没有正整数解， 所以满足条件的整式唯一，故②正确； ③是三次三项式， ， 整式，且，， 是三次三项式，且为正整数， ，，中有且只有1个为0， 当时，满足条件的组合有共个， 当时，满足条件的组合有共9个， 当时，满足条件的组合有共3个， 所以满足条件 和 的三次三项式共有（个）， 故③正确． 故选：D． 11．C 【分析】本题考查了整式的运算，以及多项式的项、项数或次数的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式中x的取值． 说法①利用多项式系数和为时的值验证正确；说法②通过计算、和时的值，得到部分系数和为121，与123不符；说法③中多项式的系数条件可得共有6个． 【详解】解：对于说法①：，令，则， 即系数和，说法①正确； 对于说法②：， 令，得①； 令，得； 令，得； 得：，即， 则，说法②错误； 对于说法③：多项式，含x项系数和均不为0且互异， 且，，， 又∵含x各项的系数均不为0且各不相同，且为整数， 则， ∴时，或，共2个； 当时，，共1个； 当时，，共1个； 时，或，共2个； 则满足条件的多项式共有6个，说法③正确． 综上，说法①③正确． 故选：C． 12．A 【分析】本题考查整式定义、分类讨论思想、绝对值方程求解，对三个说法逐一验证即可． 【详解】解：验证说法①： 若，为二次三项式，则，需三个不同正整数，乘积为， ，满足，对应是二次三项式， 说法①正确． 验证说法②： 当，按的不同分类枚举所有满足条件的整式： 时，需两个不同正整数，乘积，可得，或，或，，对应整式为，，； 时，需三个不同正整数，乘积，可得，，或，，，对应整式为，； 时，最小的个不同正整数乘积为，无满足条件的整式； 将所有整式相加，与题目结论一致， 说法②正确． 验证说法③： 当，，根据两个不同正整数，可得，或，， 则满足条件的整式为，，方程为， 分段讨论： 当时，原方程化为，解得，符合； 当时，原方程化为，解得，不符合，故舍去； 当时，原方程化为，解得，符合； 方程的解为或，说法③正确． 综上可知：正确的个数是3个． 13．A 【分析】①根据为正整数，可得不等式，即，再结合，，，均为自然数，即可得到结论；②当时，确定整式M的形式，再结合不等式的情况判断整式是否唯一；③根据三次三项式的条件，确定各项系数的取值，然后计算满足条件的整式个数即可． 【详解】解：①， ， 为正整数， ， ， ， 又，，，都为自然数， ，，，中至少有一个为0， ，故①错误； ②当时，整式，不等式，即， 因为不等式有且只有1个正整数解，且为正整数，为自然数， 当时，，即，要使不等式有且只有1个正整数解，则， 解得， 又因为为自然数， 所以，此时整式， 当时，不等式没有正整数解， 所以满足条件的整式唯一，故②错误； ③是三次三项式， ， 整式，且，， 是三次三项式，且为正整数， ，，中有且只有1个为0， 当时，此时，且，，中恰有一个为0，另两个为正整数； 分情况讨论（如时，的正整数解有6组），则共有个， 当时，同理，满足条件的组合共有9个， 当时，同理，满足条件的组合共有3个， 所以满足条件 和 的三次三项式共有（个）， 故③错误． 14．D 【分析】根据题目给定条件，逐个验证三个说法，利用枚举法、代入法计算即可得到结果． 【详解】解：由题知，为正整数，为自然数，为正整数，满足．验证①： 当时，， ， 是正整数， ， 又，或， 当，仅， 此时，， 当， 正整数解共3种：， 此时，每个． 所有的值总和为，①正确； 验证②： 若所有均为正整数，共有个系数，每个系数至少为1， ． ， ，解得． 是正整数， ，共3种可能，②正确． 验证③ ∵， ∴的所有奇次项系数之和为， 令，∴， 即（1）， 令，∴， 即（2）， 得， ∴的所有奇次项系数之和为，∴③正确； 综上，正确的说法共3个． 15．A 【分析】根据多项式的概念，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，二次函数的最值，通过枚举所有符合条件的情况，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：①当时，按项数枚举所有情况 当时，仅，此时是单项式，不符合题意，舍去； 当时，， ∵， ∴，（此时是单项式，不符合题意，舍去）；，；，；，，共3种； 当时，， ∵， ∴，，；，，；，，；，，，共4种； 当时，， ∵， ∴，，，，共1种； 当时，最小和为，无符合条件的情况； ∴ 总共有种，故①错误； 判断②：A是二次三项式，故，且， ∴，，；，，， ∵二次多项式， ∴当时，二次多项式取最小值，最小值为， 当，，时，；当，，时，，都不等于，故②错误； 判断③：A是二次三项式，，方程有解，故，满足， 当时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，此时， ∴， ∴， 又是自然数， ∴，符合条件， 此时， ∴， ， ∴≠，故③错误； 综上，三个说法都错误，正确个数为0． 16．D 【分析】本题结合整式的概念，根据系数严格递减、系数和为非零完全平方数的条件，对三个说法逐一分类讨论验证，得到正确说法的个数。 【详解】解：∵ 所有系数为整数，，且不为零，系数和等于，对三个说法逐一判断： ① 若为单项式，所有低于次的系数均为，系数和为，即，不存在整数满足条件，因此不存在这样的，①正确； ② 当时，，满足，系数和， ∵ ， ∴ ，小于的正完全平方数只有和， 当时，，符合条件；当时，，符合条件；共个满足条件的，②正确； ③ 当，对分类讨论： ：，满足，系数和，仅时符合条件，共个； ：，满足，系数和，最大系数和为，仅符合条件，得，符合条件的为，共个； ：，满足，系数和，仅符合条件，得，符合条件的只有，共个； ：系数和的最大值为，由于，为正整数，故不存在满足条件的M； 因此总个数为，③正确； 综上，个说法都正确，正确个数为. 17．D 【分析】根据整式的次数、项数定义．结合给定等式，分别对三个说法逐一分析验证，判断其正确性． 【详解】①当（三次）时，等式为， 即， 为正整数， 时，，要为三次三项式（项数为3），需恰好两个低次系数非零、一个为0： ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； 时，无法构造出三次三项式，故满足条件的三次三项式共3个，①正确； ②当时，等式为，即 为正整数， 时，，对应整式（）、（）；时，，对应整式，共3个整式，故存在满足条件，②正确； ③取满足条件的整式：（时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式），它们的和为，故③正确； 综上，①②③均正确，正确个数为3个． 18．B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，对于①，结合题意可得要使n最大，则的值都要为1，据此求解即可；对于②，可推出8个正整数的平方和为25时，这8个正整数只能是1，1，1，1，2，2，2，3，据此求解即可；对于③，把25分解成几个正整数的平方和，能分解成多少组正整数，则整式Q就有多少个，据此求解即可． 【详解】解：∵为正整数， ∴， ∵要使n最大， ∴的值都要为1， ∵， ∴， ∴，即n的最大值为24，故①正确； ∵，，，，，， ，，，，， ∴8个正整数的平方和为25时，这8个正整数只能是1，1，1，1，2，2，2，3， ∵， ∴当时，， ∴当时，满足条件的整式Q有且只有1个，故②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴满足题意的整式Q一共有18个，故③错误； 故选：B． 19．D 【分析】本题考查多项式的系数与次数，整式的加减，先由题意可得为或，，…，，均为或或0，，结合且，根据的值分情况讨论即可． 【详解】解：∵，，…，，均为绝对值小于2的整数且， ∴为或，，…，，为或或0， ∵M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B， ∴， 各项系数都不为0时，， 当时，，，由得，此时，，； 当时，， 若，，由得，即，，中有两个，一个1， 此时满足条件的共有三个多项式，分别为，，， 若，，由得，即，中有一个，一个1， 此时满足条件的共两个多项式，分别为，， 满足条件的所有整式M的和为； 当时，， 若，，，由得，即，，，都等于，满足条件的只有一个多项式 ； 若，，，由得，此时，，满足条件的只有一个多项式 ； 若，，，由得，此时，，满足条件的只有一个单项式 ； 若，，，由得，此时，满足条件的只有一个多项式 ； 综上，当时，满足条件多项式为，，，； 当时，，由可得，和中至少有一个为0， 若，，，，由得，此时，满足条件的只有一个多项式 ； 若，，，，由得，此时，满足条件的只有一个多项式 ； 若，，，，由得，没有满足条件的多项式； 综上，当时，满足条件多项式为，； 当时，，由可得，即； 若，，，由得，此时没有满足条件的多项式； 若， ，，由得，此时没有满足条件的多项式； 综上，当时，没有满足条件的多项式； 当时，，由可得，即，此时，没有满足条件的多项式； ∴①满足条件的所有整式M中单项式有，，原说法正确； ②当时，满足条件的所有整式M的和为，原说法正确； ③满足条件的整式M共有个，原说法正确． ∴说法正确的有3个， 故选：D． 20．A 【分析】本题综合考查了整式，完全平方公式，正确进行计算是解题关键． 根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：①当时，， ，且为自然数， 有，，此时， 有，，，此时， 有，，，此时， 有，，，此时， 有，，，，此时， 有，，，，此时， 共6个，故①错误； ②当时，， 为自然数， 有，，，，的组合， 有3种顺序， 有6种顺序， 有6种顺序， 有3种顺序， 有3种顺序， 所以符合条件的整数总共有个， 每个整式的系数和为， 所以满足条件的所有整式Q的所有项的系数总和为，故②错误； ③需要二次三项式， ， ， 需要三项， ， 可以是，此时不一定为非负数， ，此时不一定为非负数， ，此时一定为非负数， ，此时一定为非负数， ∴当x取任意数时，其值一定为非负数的整式Q共有2个，故③错误； 综上，其中正确的个数是0个， 故选：A． 21．C 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用．通过分析m的可能取值及系数和条件，列举所有满足条件的整式M，从而判断各说法的正误． 【详解】解：①∵，， ∴，， 当时，，∴，或，， 当时，，∴， ∴所有满足条件的M中，的多项式共有3个；故①不正确， ②当时，， ∴， 当时，，，有一种情况； 当时，，，、可能的组合有：，，，共三种情况； 当时，，，有一种情况． 综上所述：所有满足条件的M中，常数项为0的多项式共有5个；故正确． ③若规定，，…，均为正整数，∵， 当时，，有符合条件的M， 当时，，没有符合条件的正整数、、，故没有符合条件的M， 综上所述：若规定，，…，均为正整数，则m的可能取值只有1种．即结论③正确， 正确的说法有②③，共2个，故选C． 学科网（北京）股份有限公司 $