5.1-5.2《二次函数的概念与二次函数的图象》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学北师大版九年级上册第5章“二次函数”同步练，以“基础巩固—思维进阶—中考衔接”三层设计，覆盖定义、图象性质等核心知识点，通过概念辨析、性质应用到综合建模，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|二次函数定义、y=ax²与y=a(x−h)²+k性质、平移规律、配方法|23题聚焦单一知识点，如判断二次函数（题型1）、顶点坐标求解（题型3），匹配课本基础，强化抽象能力| |进阶思维题|性质综合判断、平移逆用、最值计算、实际应用|10题整合多知识点，如含参数顶点问题（28题）、销售利润建模（33题），提升推理能力与运算能力| |中考链接题|中考真题改编，涉及图象分析、实际情境（铅球飞行）、综合结论判断|5题对接中考，如抛物线平移（34题）、函数关系式构建（35题），培养模型意识与应用意识|

北师大版九年级上册 第5章 二次函数 5.1 认识二次函数 5.2 二次函数的图象 本节知识点总结 1. 二次函数的定义：形如 y=ax²+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 2. 二次函数的图象：二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，对称轴平行（或重合）于 y 轴。 3. 抛物线 y=x² 与 y=−x²：y=x² 开口向上，y=−x² 开口向下；对称轴都是 y 轴，顶点都是原点(0,0)。y=x² 当 x<0 时 y 随 x 增大而减小，当 x>0 时 y 随 x 增大而增大，x=0 时取最小值 0；y=−x² 的变化情况与最值与之相反。 4. 抛物线 y=ax²：a 的符号决定开口方向：a>0 开口向上，a<0 开口向下；|a| 越大，抛物线的开口越小。顶点是原点，对称轴是 y 轴。 5. 抛物线 y=a(x−h)²+k：顶点坐标为(h,k)，对称轴是直线 x=h。它可以看作由 y=ax² 向左（h<0）或向右（h>0）平移|h|个单位，再向下（k<0）或向上（k>0）平移|k|个单位得到的。 6. 增减性：a>0 时，在对称轴左侧（x<h），y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧（x>h），y 随 x 的增大而增大。a<0 时，变化情况相反。 7. 最大（小）值：a>0 时，抛物线有最低点，当 x=h 时，函数取最小值 k；a<0 时，抛物线有最高点，当 x=h 时，函数取最大值 k。 8. 配方法化顶点式：y=ax²+bx+c=a(x+)²+，即抛物线的对称轴是直线 x=−，顶点坐标为(−a，)。 9. 平移规律：左右平移改变自变量，"左加右减"；上下平移改变常数项，"上加下减"。 分层作业 📅 一、基础过关题 【题型1】二次函数的概念（第1~4题） 考查要点：理解二次函数的定义，能根据定义判断二次函数并列函数关系式。 解题方法：看解析式能否化为 y=ax²+bx+c（a≠0）的形式；列关系式时抓住"二次"的数量关系（如面积=两邻边之积、总量=个数×单量）。 1. 下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（　　）（课本基础知识） A. y=3x+2 B. y=−2x²+1 C. y=3/x D. y=(x−1)²−x² 2. 若函数 y=(m−2)x²+3x−1 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围是______。（课本基础知识） 3. 用长为 40 cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 之间的函数关系式是______（不必写自变量的取值范围）。（2025秋·期中复习） 4. 某果园有苹果树 100 棵，平均每棵产苹果 600 kg。现计划增种 x 棵苹果树，每增种 1 棵，平均每棵减少产量 5 kg。设增种 x 棵后果园的总产量为 y kg，则 y 与 x 之间的函数关系式是______。（2025秋·期末复习） 【题型2】抛物线 y=ax² 的图象与性质（第5~8题） 考查要点：掌握抛物线 y=ax² 的开口方向、对称轴、顶点及|a|与开口大小的关系。 解题方法：a 的符号定开口方向，|a| 越大开口越小；顶点是原点，对称轴是 y 轴；按增减性口答变化情况。 5. 抛物线 y=−2x² 的开口方向和对称轴分别是（　　）（课本基础知识） A. 开口向上，对称轴为 y 轴 B. 开口向下，对称轴为 y 轴 C. 开口向上，对称轴为 x 轴 D. 开口向下，对称轴为 x 轴 6. 抛物线 y=3x² 的顶点坐标是______；当 x=0 时，函数取最______值______。（课本基础知识） 7. 二次函数①、②、③的图象如图所示，则二次项系数从小到大的顺序是（　　）（2025秋·期中复习） A. ①②③ B. ②①③ C. ③①② D. ③②① 8. 二次函数 y=−3x²，当 x<0 时，y 随 x 的增大而（　　）（2025秋·期中复习） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 先增大后减小 【题型3】抛物线 y=a(x−h)²+k 的图象与性质（第9~12题） 考查要点：掌握顶点式的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值与增减性。 解题方法：顶点为(h,k)，对称轴为直线 x=h；a<0 有最大值、a>0 有最小值，都在顶点处取得。 9. 抛物线 y=2(x−1)²+3 的顶点坐标是（　　）（课本基础知识） A. (1,3) B. (−1,3) C. (1,−3) D. (−1,−3) 10. 抛物线 y=−2(x+3)²+4 的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标是______。（2025秋·期末复习） 11. 二次函数 y=−(x+2)²−1，当 x=______时，函数取最______值______。（2025秋·期中复习） 12. 二次函数 y=2(x−1)²−3，当 x<1 时，y 随 x 的增大而（　　）（2025—2026学年单元练习） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定 【题型4】抛物线的平移（第13~16题） 考查要点：掌握抛物线的平移规律并能正用、逆用。 解题方法："左加右减"改变自变量，"上加下减"改变常数项；顶点式可直接平移顶点。 13. 将抛物线 y=2x² 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是______。（课本基础知识） 14. 将抛物线 y=3x² 向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式是（　　）（2025·上海中考） A. y=3x²+2 B. y=3x²−2 C. y=3(x−2)² D. y=3(x+2)² 15. 将抛物线 y=−5x² 向左平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（　　）（2026·中考一轮复习改编） A. y=−5(x−3)²+3 B. y=−5(x+3)²−3 C. y=−5(x+3)²+3 D. y=−5(x−3)²−3 16. 将抛物线 y=2(x−1)²+3 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是______。（2025秋·期末复习） 【题型5】配方法与抛物线 y=ax²+bx+c 的顶点（第17~20题） 考查要点：会用配方法把一般式化为顶点式，求对称轴与顶点。 解题方法：先提二次项系数，再配上一次项系数一半的平方；对称轴为直线 x=−b/2a。 17. 用配方法将 y=x²−4x+5 化为 y=a(x−h)²+k 的形式：y=______。（课本基础知识） 18. 抛物线 y=x²−6x+5 的顶点坐标是（　　）（2025秋·期中复习） A. (3,−4) B. (−3,4) C. (3,4) D. (−3,−4) 19. 抛物线 y=−2x²+4x+1 的对称轴是（　　）（2025秋·期末复习） A. 直线 x=1 B. 直线 x=−1 C. 直线 x=2 D. y 轴 20. 抛物线 y=2x²−8x+7 的顶点坐标是______。（2025—2026学年单元练习） 【题型6】抛物线上的点（第21~23题） 考查要点：判断点是否在抛物线上、由抛物线上的点求参数、比较抛物线上两点函数值的大小。 解题方法：把横坐标代入解析式求纵坐标，或由纵坐标反求参数。 21. 已知点 A(2,4) 在抛物线 y=ax² 上，则 a 的值为（　　）（课本基础知识） A. 1 B. 2 C. −1 D. 22. 已知点 P(1,m) 在抛物线 y=2x² 上，则 m=______；点 P′(−1,2)______（填"在"或"不在"）该抛物线上。（2025秋·期中复习） 23. 二次函数 y=(x−1)²+2 的图象如图所示，图象上有两点 A(0,y₁)，B(3,y₂)，则 y₁ 与 y₂ 的大小关系是（　　）（2025秋·期末复习） A. y₁<y₂ B. y₁>y₂ C. y₁=y₂ D. 无法比较 二、进阶思维题 （一）选择题 24. 关于二次函数 y=−(x+1)²+2 的图象与性质，下列说法错误的是（　　）（2025秋·期中复习） A. 图象开口向下 B. 顶点坐标是(−1,2) C. 对称轴是直线 x=−1 D. 当 x>−1 时，y 随 x 的增大而增大 25. 二次函数 y=2(x−3)²+1 的图象上有三点 A(2,y₁)，B(4,y₂)，C(1,y₃)，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　）（2025秋·期末复习） A. y₃>y₁=y₂ B. y₁=y₂>y₃ C. y₁>y₂>y₃ D. y₃>y₁>y₂ 26. 将一条抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后，得到抛物线 y=2(x−2)²+1，则原抛物线的解析式是（　　）（2026·中考一轮复习改编） A. y=2(x−3)²+4 B. y=2(x−1)²+4 C. y=2(x−3)²−2 D. y=2(x−1)²−2 27. 二次函数 y=−2(x+1)²+3，当 −2≤x≤0 时，函数的最大值与最小值分别是（　　）（2025—2026学年综合练习） A. 最大值为 3，最小值为 1 B. 最大值为 3，最小值为 −1 C. 最大值为 1，最小值为 −3 D. 只有最大值 3，没有最小值 （二）填空题 28. 抛物线 y=x²−4x+k 的顶点在 x 轴上，则 k=______。（2025秋·期末复习） 29. 将抛物线 y=x²−2x+3 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的顶点坐标是______。（2025—2026学年单元练习） 30. 二次函数 y=(x−h)²+2（h 为常数），当 1<x<4 时，y 先随 x 的增大而减小、后随 x 的增大而增大，则 h 的取值范围是______。（2026·中考一轮复习改编） （三）解答题 31. 已知二次函数 y=x²−2x−3。（2025秋·期末复习） (1) 用配方法将它的解析式化为 y=a(x−h)²+k 的形式； (2) 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3) 分别写出当 x<1 和 x>1 时，y 随 x 的变化情况； (4) 画出该二次函数的图象（草图）。 32. 已知抛物线 y=a(x−1)²+k 经过点 (0,5) 和 (1,3)。（2025—2026学年单元练习） (1) 求 a、k 的值，并写出该抛物线的解析式； (2) 该抛物线是由抛物线 y=2x² 经过怎样的平移得到的？ 33. 某商店销售一种商品，进价为每件 40 元。当售价为每件 50 元时，每天可售出 100 件；售价每上涨 1 元，每天少售出 2 件。设售价为每件 x 元（x>50），每天的销售利润为 y 元。（2025秋·期中复习） (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 该函数是二次函数吗？若是，写出它的二次项系数与一次项系数。 三、中考链接题 34. 将抛物线 y=x²+2x 先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的解析式是（　　）（2025·中考真题改编） A. y=(x−1)²−2 B. y=(x+3)²−2 C. y=(x−1)²+2 D. y=(x+3)²+2 35. 某运动员投掷铅球，铅球飞行的高度 y（m）与飞行的水平距离 x（m）之间的函数关系如图所示（图象是抛物线的一部分）。已知铅球出手点 A 的坐标为(0,1.6)，抛物线最高点的坐标为(3,2.5)，落地点为 B。（2025·连云港中考改编） (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 铅球落地点 B 距出手点 A 的水平距离（即图中 OB 的长）是多少米？ 36. 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象如图所示，图象经过点 A(−1,0)和 B(3,0)，与 y 轴交于点(0,3)。给出下列结论：①abc>0；②抛物线的对称轴是直线 x=1；③2a+b=0；④a+b+c>0。其中正确的结论有（　　）（2025·中考真题改编） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 37. 二次函数 y=x²−4x+7 的图象上有两点(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，且 x₁<x₂<2，则 y₁______y₂（填">""<"或"="）。（2026·中考一轮复习改编） 38. 已知二次函数 y=(x+7)²+12。（2025·台湾中考改编） (1) 将该抛物线向右平移 10 个单位，求新抛物线的解析式； (2) 设新抛物线与 y 轴交于点 P，求点 P 的坐标； (3) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第5章 二次函数 5.1 认识二次函数 5.2 二次函数的图象 本节知识点总结 1. 二次函数的定义：形如 y=ax²+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 2. 二次函数的图象：二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，对称轴平行（或重合）于 y 轴。 3. 抛物线 y=x² 与 y=−x²：y=x² 开口向上，y=−x² 开口向下；对称轴都是 y 轴，顶点都是原点(0,0)。y=x² 当 x<0 时 y 随 x 增大而减小，当 x>0 时 y 随 x 增大而增大，x=0 时取最小值 0；y=−x² 的变化情况与最值与之相反。 4. 抛物线 y=ax²：a 的符号决定开口方向：a>0 开口向上，a<0 开口向下；|a| 越大，抛物线的开口越小。顶点是原点，对称轴是 y 轴。 5. 抛物线 y=a(x−h)²+k：顶点坐标为(h,k)，对称轴是直线 x=h。它可以看作由 y=ax² 向左（h<0）或向右（h>0）平移|h|个单位，再向下（k<0）或向上（k>0）平移|k|个单位得到的。 6. 增减性：a>0 时，在对称轴左侧（x<h），y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧（x>h），y 随 x 的增大而增大。a<0 时，变化情况相反。 7. 最大（小）值：a>0 时，抛物线有最低点，当 x=h 时，函数取最小值 k；a<0 时，抛物线有最高点，当 x=h 时，函数取最大值 k。 8. 配方法化顶点式：y=ax²+bx+c=a(x+)²+，即抛物线的对称轴是直线 x=−，顶点坐标为(−a，)。 9. 平移规律：左右平移改变自变量，"左加右减"；上下平移改变常数项，"上加下减"。 分层作业 📅 一、基础过关题 【题型1】二次函数的概念（第1~4题） 考查要点：理解二次函数的定义，能根据定义判断二次函数并列函数关系式。 解题方法：看解析式能否化为 y=ax²+bx+c（a≠0）的形式；列关系式时抓住"二次"的数量关系（如面积=两邻边之积、总量=个数×单量）。 1. 下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（　　）（课本基础知识） A. y=3x+2 B. y=−2x²+1 C. y=3/x D. y=(x−1)²−x² 【答案】B 【解析】本题考查二次函数的定义。形如 y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。 【解答】A 中 y=3x+2 是一次函数；B 中 y=−2x²+1 是二次函数；C 中 y=3/x 不是二次函数；D 中 y=(x−1)²−x²=−2x+1，化简后是一次函数。 故选B。 2. 若函数 y=(m−2)x²+3x−1 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围是__m≠2____。（课本基础知识） 【答案】m≠2 【解析】二次函数的二次项系数不能为 0。 【解答】因为 y=(m−2)x²+3x−1 是关于 x 的二次函数，所以二次项系数 m−2≠0，即 m≠2。 故答案为：m≠2。 3. 用长为 40 cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 之间的函数关系式是__y=−x²+20x____（不必写自变量的取值范围）。（2025秋·期中复习） 【答案】y=x(20−x)=−x²+20x 【解析】先由周长表示出矩形的另一边长，再按"面积=两邻边之积"列式。 【解答】矩形的周长为 40 cm，一边长为 x cm，则另一边长为(40÷2−x)=(20−x)cm。所以 y=x(20−x)=−x²+20x。 故答案为：y=−x²+20x。 4. 某果园有苹果树 100 棵，平均每棵产苹果 600 kg。现计划增种 x 棵苹果树，每增种 1 棵，平均每棵减少产量 5 kg。设增种 x 棵后果园的总产量为 y kg，则 y 与 x 之间的函数关系式是___y=(100+x)(600−5x)=−5x²+100x+60000___。（2025秋·期末复习） 【答案】y=(100+x)(600−5x)=−5x²+100x+60000 【解析】增种后棵数为(100+x)棵，平均每棵产量为(600−5x)kg，总产量=棵数×单棵产量。 【解答】由题意，增种 x 棵后果园共有(100+x)棵苹果树，平均每棵产(600−5x)kg。所以 y=(100+x)(600−5x)=60000−500x+600x−5x²=−5x²+100x+60000。 故答案为：y=−5x²+100x+60000。 【题型2】抛物线 y=ax² 的图象与性质（第5~8题） 考查要点：掌握抛物线 y=ax² 的开口方向、对称轴、顶点及|a|与开口大小的关系。 解题方法：a 的符号定开口方向，|a| 越大开口越小；顶点是原点，对称轴是 y 轴；按增减性口答变化情况。 5. 抛物线 y=−2x² 的开口方向和对称轴分别是（　　）（课本基础知识） A. 开口向上，对称轴为 y 轴 B. 开口向下，对称轴为 y 轴 C. 开口向上，对称轴为 x 轴 D. 开口向下，对称轴为 x 轴 【答案】B 【解析】a<0 时抛物线开口向下；y=ax² 型抛物线的对称轴是 y 轴。 【解答】因为 a=−2<0，所以抛物线开口向下；又因为它是 y=ax² 型，对称轴是 y 轴。 故选B。 6. 抛物线 y=3x² 的顶点坐标是__(0,0)____；当 x=0 时，函数取最__小____值___0___。（课本基础知识） 【答案】(0,0)；小；0 【解析】a>0 时抛物线开口向上，顶点是最低点。 【解答】y=3x² 中 a=3>0，开口向上，顶点为原点(0,0)，是抛物线的最低点，当 x=0 时取最小值 0。 故答案为：(0,0)；小；0。 7. 二次函数①、②、③的图象如图所示，则二次项系数从小到大的顺序是（　　）（2025秋·期中复习） A. ①②③ B. ②①③ C. ③①② D. ③②① 【答案】C 【解析】本题考查|a|与开口大小的关系：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，开口越大。 【解答】由图可知，抛物线②的开口最小，其|a|最大；抛物线③的开口最大，其|a|最小；抛物线①居中。所以开口从大到小的顺序是③①②。 故选C。 8. 二次函数 y=−3x²，当 x<0 时，y 随 x 的增大而（　　）（2025秋·期中复习） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 先增大后减小 【答案】A 【解析】a<0 时，在对称轴（y 轴）左侧，y 随 x 的增大而增大。 【解答】y=−3x² 中 a=−3<0，开口向下，对称轴为 y 轴。当 x<0（对称轴左侧）时，y 随 x 的增大而增大。 故选A。 【题型3】抛物线 y=a(x−h)²+k 的图象与性质（第9~12题） 考查要点：掌握顶点式的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值与增减性。 解题方法：顶点为(h,k)，对称轴为直线 x=h；a<0 有最大值、a>0 有最小值，都在顶点处取得。 9. 抛物线 y=2(x−1)²+3 的顶点坐标是（　　）（课本基础知识） A. (1,3) B. (−1,3) C. (1,−3) D. (−1,−3) 【答案】A 【解析】顶点式 y=a(x−h)²+k 的顶点坐标为(h,k)。 【解答】由顶点式可知，h=1，k=3，所以顶点坐标为(1,3)。 故选A。 10. 抛物线 y=−2(x+3)²+4 的开口方向是___向下___，对称轴是__直线 x=−3____，顶点坐标是___(−3,4）___。（2025秋·期末复习） 【答案】向下；直线 x=−3；(−3,4) 【解析】顶点式 y=a(x−h)²+k 中，a 的符号定开口，对称轴为直线 x=h，顶点为(h,k)。 【解答】y=−2(x+3)²+4 中 a=−2<0，开口向下；y=−2(x+3)²+4 即 y=−2[x−(−3)]²+4，所以对称轴是直线 x=−3，顶点坐标为(−3,4)。 故答案为：向下；直线 x=−3；(−3,4)。 11. 二次函数 y=−(x+2)²−1，当 x=___−2___时，函数取最__大____值___−1___。（2025秋·期中复习） 【答案】−2；大；−1 【解析】a<0 时抛物线有最高点，当 x 等于顶点横坐标时取最大值。 【解答】y=−(x+2)²−1 中 a=−1<0，抛物线开口向下，顶点坐标为(−2,−1)。所以当 x=−2 时，函数取最大值 −1。 故答案为：−2；大；−1。 12. 二次函数 y=2(x−1)²−3，当 x<1 时，y 随 x 的增大而（　　）（2025—2026学年单元练习） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定 【答案】B 【解析】a>0 时，在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小。 【解答】y=2(x−1)²−3 中 a=2>0，对称轴是直线 x=1。当 x<1（对称轴左侧）时，y 随 x 的增大而减小。 故选B。 【题型4】抛物线的平移（第13~16题） 考查要点：掌握抛物线的平移规律并能正用、逆用。 解题方法："左加右减"改变自变量，"上加下减"改变常数项；顶点式可直接平移顶点。 13. 将抛物线 y=2x² 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是___y=2(x−1)²+3___。（课本基础知识） 【答案】y=2(x−1)²+3 【解析】平移规律："左加右减、上加下减"。 【解答】向右平移 1 个单位，自变量 x 变为(x−1)；再向上平移 3 个单位，解析式加上 3。所以所得抛物线为 y=2(x−1)²+3。 故答案为：y=2(x−1)²+3。 14. 将抛物线 y=3x² 向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式是（　　）（2025·上海中考） A. y=3x²+2 B. y=3x²−2 C. y=3(x−2)² D. y=3(x+2)² 【答案】B 【解析】本题考查抛物线的上下平移："上加下减"。 【解答】向下平移 2 个单位，只需把解析式中的常数项减 2，得 y=3x²−2。 故选B。 15. 将抛物线 y=−5x² 向左平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（　　）（2026·中考一轮复习改编） A. y=−5(x−3)²+3 B. y=−5(x+3)²−3 C. y=−5(x+3)²+3 D. y=−5(x−3)²−3 【答案】C 【解析】平移规律："左加右减"改变自变量，"上加下减"改变常数项。 【解答】向左平移 3 个单位，x 变为(x+3)；再向上平移 3 个单位，解析式加上 3。所以所得抛物线为 y=−5(x+3)²+3。 故选C。 16. 将抛物线 y=2(x−1)²+3 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是__y=2(x+1)²____。（2025秋·期末复习） 【答案】y=2(x+1)² 【解析】平移规律："左加右减、上加下减"，在顶点式中可直接对 h、k 作相应加减。 【解答】顶点为(1,3)。向左平移 2 个单位，顶点横坐标变为 1−2=−1；向下平移 3 个单位，顶点纵坐标变为 3−3=0。所以所得抛物线的解析式为 y=2(x+1)²。 故答案为：y=2(x+1)²。 【题型5】配方法与抛物线 y=ax²+bx+c 的顶点（第17~20题） 考查要点：会用配方法把一般式化为顶点式，求对称轴与顶点。 解题方法：先提二次项系数，再配上一次项系数一半的平方；对称轴为直线 x=−b/2a。 17. 用配方法将 y=x²−4x+5 化为 y=a(x−h)²+k 的形式：y=___y=(x−2)²+1___。（课本基础知识） 【答案】(x−2)²+1 【解析】配方时，把二次项、一次项配成完全平方式，常数项移到另一侧。 【解答】y=x²−4x+5=x²−4x+4+1=(x−2)²+1。 故答案为：y=(x−2)²+1。 18. 抛物线 y=x²−6x+5 的顶点坐标是（　　）（2025秋·期中复习） A. (3,−4) B. (−3,4) C. (3,4) D. (−3,−4) 【答案】A 【解析】先用配方法化成顶点式，或用顶点公式求顶点。 【解答】y=x²−6x+5=x²−6x+9−4=(x−3)²−4，所以抛物线的顶点坐标为(3,−4)。 故选A。 19. 抛物线 y=−2x²+4x+1 的对称轴是（　　）（2025秋·期末复习） A. 直线 x=1 B. 直线 x=−1 C. 直线 x=2 D. y 轴 【答案】A 【解析】对称轴为直线 x=−，也可用配方法求。 【解答】由 y=−2x²+4x+1 得 a=−2，b=4，所以对称轴为直线 x=− ==1。 故选A。 20. 抛物线 y=2x²−8x+7 的顶点坐标是__(2,−1)____。（2025—2026学年单元练习） 【答案】(2,−1) 【解析】把一般式配方成顶点式：先提二次项系数，再配完全平方式。 【解答】y=2x²−8x+7=2(x²−4x)+7=2(x²−4x+4−4)+7=2(x−2)²−8+7=2(x−2)²−1。所以顶点坐标为(2,−1)。 故答案为：(2,−1)。 【题型6】抛物线上的点（第21~23题） 考查要点：判断点是否在抛物线上、由抛物线上的点求参数、比较抛物线上两点函数值的大小。 解题方法：把横坐标代入解析式求纵坐标，或由纵坐标反求参数。 21. 已知点 A(2,4) 在抛物线 y=ax² 上，则 a 的值为（　　）（课本基础知识） A. 1 B. 2 C. −1 D. 【答案】A 【解析】把点的坐标代入解析式即可求 a。 【解答】把 x=2，y=4 代入 y=ax²，得 4=4a，解得 a=1。 故选A。 22. 已知点 P(1,m) 在抛物线 y=2x² 上，则 m=___2___；点 P′(−1,2)__在____（填"在"或"不在"）该抛物线上。（2025秋·期中复习） 【答案】2；在 【解析】点的坐标满足解析式，则该点在图象上。 【解答】把 x=1 代入 y=2x²，得 m=2×1²=2；把 x=−1 代入，得 y=2×(−1)²=2，所以点 P′(−1,2) 在该抛物线上。 故答案为：2；在。 23. 二次函数 y=(x−1)²+2 的图象如图所示，图象上有两点 A(0,y₁)，B(3,y₂)，则 y₁ 与 y₂ 的大小关系是（　　）（2025秋·期末复习） A. y₁<y₂ B. y₁>y₂ C. y₁=y₂ D. 无法比较 【答案】A 【解析】分别把两点的横坐标代入解析式求出 y₁、y₂ 再比较。 【解答】当 x=0 时，y₁=(0−1)²+2=3；当 x=3 时，y₂=(3−1)²+2=6。因为 3<6，所以 y₁<y₂。 故选A。 二、进阶思维题 （一）选择题 24. 关于二次函数 y=−(x+1)²+2 的图象与性质，下列说法错误的是（　　）（2025秋·期中复习） A. 图象开口向下 B. 顶点坐标是(−1,2) C. 对称轴是直线 x=−1 D. 当 x>−1 时，y 随 x 的增大而增大 【答案】D 【解析】按开口方向、顶点、对称轴、增减性逐项核对。 【解答】y=−(x+1)²+2 中 a=−1<0，开口向下，A 正确；顶点坐标为(−1,2)，B 正确；对称轴是直线 x=−1，C 正确；a<0 时，在对称轴右侧（x>−1），y 随 x 的增大而减小，D 错误。 故选D。 25. 二次函数 y=2(x−3)²+1 的图象上有三点 A(2,y₁)，B(4,y₂)，C(1,y₃)，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　）（2025秋·期末复习） A. y₃>y₁=y₂ B. y₁=y₂>y₃ C. y₁>y₂>y₃ D. y₃>y₁>y₂ 【答案】A 【解析】先求对称轴 x=3，按各点到对称轴的距离结合开口方向比较，或直接代入求值。 【解答】当 x=2 时，y₁=2(2−3)²+1=3；当 x=4 时，y₂=2(4−3)²+1=3；当 x=1 时，y₃=2(1−3)²+1=9。所以 y₃>y₁=y₂。 故选A。 26. 将一条抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后，得到抛物线 y=2(x−2)²+1，则原抛物线的解析式是（　　）（2026·中考一轮复习改编） A. y=2(x−3)²+4 B. y=2(x−1)²+4 C. y=2(x−3)²−2 D. y=2(x−1)²−2 【答案】A 【解析】逆向思考：把新抛物线向右平移 1 个单位、再向上平移 3 个单位即得原抛物线。 【解答】将 y=2(x−2)²+1 向右平移 1 个单位，得 y=2(x−3)²+1；再向上平移 3 个单位，得 y=2(x−3)²+4。所以原抛物线的解析式为 y=2(x−3)²+4。 故选A。 27. 二次函数 y=−2(x+1)²+3，当 −2≤x≤0 时，函数的最大值与最小值分别是（　　）（2025—2026学年综合练习） A. 最大值为 3，最小值为 1 B. 最大值为 3，最小值为 −1 C. 最大值为 1，最小值为 −3 D. 只有最大值 3，没有最小值 【答案】A 【解析】先看对称轴 x=−1 是否在取值范围内：在对称轴处取最大（小）值，最值在端点处比较产生。 【解答】抛物线开口向下，对称轴是直线 x=−1，且 −2≤−1≤0。当 x=−1 时，函数取最大值 3；当 x=−2 时，y=−2(−2+1)²+3=1；当 x=0 时，y=−2(0+1)²+3=1。所以最小值为 1。 故选A。 （二）填空题 28. 抛物线 y=x²−4x+k 的顶点在 x 轴上，则 k=__4____。（2025秋·期末复习） 【答案】4 【解析】先配方求出顶点坐标，顶点在 x 轴上即顶点纵坐标为 0。 【解答】y=x²−4x+k=x²−4x+4+k−4=(x−2)²+k−4，顶点坐标为(2,k−4)。因为顶点在 x 轴上，所以 k−4=0，解得 k=4。 故答案为：4。 29. 将抛物线 y=x²−2x+3 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的顶点坐标是____(−1,1)__。（2025—2026学年单元练习） 【答案】(−1,1) 【解析】先配方求出原抛物线的顶点，再把顶点按平移规则移动。 【解答】y=x²−2x+3=(x−1)²+2，顶点坐标为(1,2)。向左平移 2 个单位，顶点横坐标变为 1−2=−1；向下平移 1 个单位，顶点纵坐标变为 2−1=1。所以所得抛物线的顶点坐标为(−1,1)。 故答案为：(−1,1)。 30. 二次函数 y=(x−h)²+2（h 为常数），当 1<x<4 时，y 先随 x 的增大而减小、后随 x 的增大而增大，则 h 的取值范围是__1<h<4____。（2026·中考一轮复习改编） 【答案】1<h<4 【解析】先减后增说明对称轴（顶点）在取值范围内部。 【解答】抛物线开口向上，对称轴是直线 x=h。当 1<x<4 时 y 先减后增，说明对称轴在 1 与 4 之间，即 1<h<4。故答案为： 1<h<4。 （三）解答题 31. 已知二次函数 y=x²−2x−3。（2025秋·期末复习） (1) 用配方法将它的解析式化为 y=a(x−h)²+k 的形式； (2) 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3) 分别写出当 x<1 和 x>1 时，y 随 x 的变化情况； (4) 画出该二次函数的图象（草图）。 【答案】(1) y=(x−1)²−4；(2) 开口向上，对称轴为直线 x=1，顶点坐标为(1,−4)；(3) 当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大；(4) 图象如图所示。 【解析】本题综合考查用配方法研究二次函数的图象与性质，以及用描点法画抛物线草图。 【解答】(1) y=x²−2x−3=x²−2x+1−4=(x−1)²−4。 (2) 因为 a=1>0，所以抛物线开口向上；对称轴为直线 x=1，顶点坐标为(1,−4)。 (3) 因为 a>0，所以在对称轴左侧，即当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小； 在对称轴右侧，即当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大。 (4) 列表：取 x=−1，0，1，2，3，对应的 y 值分别为 0，−3，−4，−3，0，描出各点并用平滑曲线顺次连接，得到抛物线如图所示。 32. 已知抛物线 y=a(x−1)²+k 经过点 (0,5) 和 (1,3)。（2025—2026学年单元练习） (1) 求 a、k 的值，并写出该抛物线的解析式； (2) 该抛物线是由抛物线 y=2x² 经过怎样的平移得到的？ 【答案】(1) k=3，a=2；(2) y=2(x−1)²+3 可以由抛物线 y=2x² 向右平移 1 个单位、再向上平移 3 个单位得到。 【解析】顶点式中含两个待定字母 a、k，把两个已知点分别代入即可；平移关系按"左加右减、上加下减"反过来叙述。 【解答】(1) 把(1,3)代入 y=a(x−1)²+k， 得 a×0²+k=3，即 k=3； 把(0,5)代入 y=a(x−1)²+3，得 a+3=5， 解得 a=2。 所以该抛物线的解析式为 y=2(x−1)²+3。 (2) 抛物线 y=2(x−1)²+3 与 y=2x² 的二次项系数相同， 可以看作把 y=2x² 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的。 33. 某商店销售一种商品，进价为每件 40 元。当售价为每件 50 元时，每天可售出 100 件；售价每上涨 1 元，每天少售出 2 件。设售价为每件 x 元（x>50），每天的销售利润为 y 元。（2025秋·期中复习） (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 该函数是二次函数吗？若是，写出它的二次项系数与一次项系数。 【答案】(1) y=−2x²+280x−8000；(2) 是二次函数，二次项系数为 −2，一次项系数为 280。 【解析】利润=（售价−进价）×销售量；销售量随售价的变化而变化。列出关系式后再对照二次函数的定义判断。 【解答】(1) 售价为每件 x 元时，每件的利润为(x−40)元；每天的销售量为 100−2(x−50)=(200−2x)件。所以 y=(x−40)(200−2x)=−2x²+80x+200x−8000=−2x²+280x−8000。 (2) 该函数符合 y=ax²+bx+c（a≠0）的形式，是二次函数，其二次项系数为 −2，一次项系数为 280。 三、中考链接题 34. 将抛物线 y=x²+2x 先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的解析式是（　　）（2025·中考真题改编） A. y=(x−1)²−2 B. y=(x+3)²−2 C. y=(x−1)²+2 D. y=(x+3)²+2 【答案】A 【解析】先配方化成顶点式，再按"左加右减、上加下减"平移。 【解答】y=x²+2x=x²+2x+1−1=(x+1)²−1。向右平移 2 个单位，得 y=(x+1−2)²−1=(x−1)²−1；再向下平移 1 个单位，得 y=(x−1)²−2。 故选A。 35. 某运动员投掷铅球，铅球飞行的高度 y（m）与飞行的水平距离 x（m）之间的函数关系如图所示（图象是抛物线的一部分）。已知铅球出手点 A 的坐标为(0,1.6)，抛物线最高点的坐标为(3,2.5)，落地点为 B。（2025·连云港中考改编） (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 铅球落地点 B 距出手点 A 的水平距离（即图中 OB 的长）是多少米？ 【答案】(1) y=−0.1(x−3)²+2.5；(2) OB 的长为 8 m。 【解析】由顶点坐标可设顶点式 y=a(x−3)²+2.5，再用出手点 A 的坐标求 a；落地即高度 y=0，解方程求水平距离。 【解答】(1) 因为抛物线的顶点为(3,2.5)，所以设 y=a(x−3)²+2.5。 把(0,1.6)代入，得 9a+2.5=1.6，解得 a=−0.1。 所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y=−0.1(x−3)²+2.5。 （2） 铅球落地时 y=0，即 −0.1(x−3)²+2.5=0，整理得(x−3)²=25， 解得 x₁=8，x₂=−2（不合题意，舍去）。 所以 OB 的长为 8 m。 36. 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象如图所示，图象经过点 A(−1,0)和 B(3,0)，与 y 轴交于点(0,3)。给出下列结论：①abc>0；②抛物线的对称轴是直线 x=1；③2a+b=0；④a+b+c>0。其中正确的结论有（　　）（2025·中考真题改编） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】本题考查由抛物线的图象读取信息：开口方向定 a 的符号，y 轴交点定 c 的符号，对称轴定 a 与 b 的关系。 【解答】由图象开口向下，得 a<0；由抛物线与 y 轴交于点(0,3)，得 c=3>0； 由对称轴 x=−=1，得 b=−2a>0，所以 a、b 异号。 ①abc=(−)(+)(+)<0，①错误； ②由 A(−1,0)、B(3,0)关于对称轴对称，得对称轴为直线 x=1，②正确； ③由 −=1 得 b=−2a，即 2a+b=0，③正确； ④当 x=1 时，y=a+b+c，此时对应抛物线的顶点(1,4)，所以 a+b+c=4>0，④正确。正确的是②③④，共 3 个。 故选C。 37. 二次函数 y=x²−4x+7 的图象上有两点(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，且 x₁<x₂<2，则 y₁___>___y₂（填">""<"或"="）。（2026·中考一轮复习改编） 【答案】> 【解析】先求对称轴，再利用增减性比较。 【解答】y=x²−4x+7=(x−2)²+3，抛物线开口向上，对称轴是直线 x=2。当 x<2 时，y 随 x 的增大而减小。 因为 x₁<x₂<2，所以 y₁>y₂。 故答案为：>。 38. 已知二次函数 y=(x+7)²+12。（2025·台湾中考改编） (1) 将该抛物线向右平移 10 个单位，求新抛物线的解析式； (2) 设新抛物线与 y 轴交于点 P，求点 P 的坐标； (3) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 【答案】(1) y=(x−3)²+12；(2) 点 P 的坐标为(0,21)；(3) 当 x<3 时，y 随 x 的增大而减小。 【解析】平移按"左加右减、上加下减"处理；与 y 轴的交点即 x=0 时的点；增减性由开口方向与对称轴确定。 【解答】(1) 将 y=(x+7)²+12 的图象向右平移 10 个单位，即把解析式中的 x 换成(x−10)，得 y=(x−10+7)²+12=(x−3)²+12，所以新抛物线的解析式为 y=(x−3)²+12。 (2)把 x=0 代入 y=(x−3)²+12，得 y=(0−3)²+12=9+12=21， 所以新抛物线与 y 轴的交点 P 的坐标为(0,21)。 (3) 新抛物线开口向上，对称轴是直线 x=3， 所以当 x<3 时，y 随 x 的增大而减小。 学科网（北京）股份有限公司 $