四川省部分校联考2027届高三上学期学情检测数学试题

高三数学学情检测参考答案 1.C由y=2得=2 所以A∩B={(2,2)}. y=x,y=2, 2.A若四边形ABCD是等腰梯形，则四边形ABCD的对角线相等.若四边形ABCD的对角 线相等，则四边形ABCD不一定是等腰梯形.故“四边形ABCD是等腰梯形”是“四边形 ABCD的对角线相等”的充分不必要条件. 3.Da=e.7>e°=1，b=log70.7<0,0<c=sin0.7<1,故a>c>b. 4.Cy=2e-1-1.当x=1时，y'=1,所以曲线y=2e-1-x在点(1,1)处的切线方程为y- 1=x-1,即y=x. 5.B由√7m十4√7n=2mn≥4√7mn,得mn≥28，当且仅当m=4n=4√7时，等号成立，故mn 的最小值为28. 6.A由韦达定理可得snac0sa-号sm&十casa-行，所以1十2 in-驾解得m2 2 6,此时A=-0>0,则0P0总。-217-号得2am。-5an。十2=0，解得 tan a 2 ma=2或m8=安当ma=2时，m(e+)-=艺女=-3当me=方时am。+ + -=3. 7.C因为函数y=6+6lgx在(2，十∞)上单调递增，所以函数g(x)=-x十ax在 (-∞，2]上单调递增，即对任意的x∈(-o∞，2]，g'(x)=-x3十a≥0恒成立，即a≥ (x3)mx.因为当x∈（-∞，2]时，(x3)mx=23=8,所以a≥8.由g(2)≤6+6log22=12,得-4 十2a≤12，解得a≤8，所以a=8. 8.B如图，设DB=xm,道路管沟的单位造价为a,管线A→D→C的总造价为y, 则y=a(210-x)+3aW400+x2=a(210-x+3√400+x)(0≤x≤210)，则y'=a(-1+ 3x 02,当0<x<5V2时y<0,当5W2<x<210时y>0,所以当x5,V2时y取弱 最小值. B 9.ACD由图可得Sx=号×1AB×1=3,所以AB1=6,所以f(x)的最小正周期为2X6 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 -12,则2=12，解得w=5,A正确.由f(2)=1,得sin(答十）-1，所以5十p=+2元 k∈Z0,解得g=吾+2kxk∈ZD,因为0<g<,所以p=吾，所以fx-4)=sin(否x-号 +)=m(答：-)=-c0s若x,是偶函数，B错误f(20)=sim2--1,C正确因为 f(2x)=sin(x+)=g(x),所以D正确 10.BC 由题意得F(0,),C的准线方程为x=一2，A错误，B正确. 设P到直线x=-2的距离为d,则|PA|十|PF2|=|PA|+d≥3-(-2)=5，C正确， 当P在C1上时，由 y得=2：或=0则P2,),所以P℉，+PF,=2+2+ y2=8x,y=4y=0, 4计日->8，D错误 11.ABD由题意得F'(x)=3[f(x)]f'(x),因为F'(x)>6xF(x),所以3[f(x)]f'(x)> 6x[fx)]3.因为f)>0,所以f'(x)>2xf(x),A正确.设函数g(x)= 则g -ef'(x)-2xef_f(x)-2f(x)>0,所以g(x)为R上的单调递增函数，所以 g(-1)<g(1),即f(-1)<f(1),C错误.由g(0)<g(W2),得ef(0)<f(W2),B正确.若 x∈（至，），则sinx>eosx,得g(sinx)>g(osx,则fsin>fcos2,即 eos2xf(sinx)>f(cosx),D正确. x>0, 12.(0,1)U(1,10] 由10-x≥0，解得0<x<1或1<x≤10，所以f(x)的定义域为(0,1)U lnx≠0， (1,10]. 1(-, 由题意得f(x)的导数f'(x)=(x+1)e-a,f'(x)的导数f"(x)=(x十 2)e.当x<-2时，f"(x)<0,f'(x)单调递减，当x>-2时，f”(x)>0,f'(x)单调递增， 所以f)m=f(-2)=是a.因为f)无极值，所以了)恤=是0≥0，得a< 148由asar=co(ar一)，得casr=十号 sin wr,即sin(ax一)=0，所以 w 吾=x∈刀，解得x=乙十(k∈D.根据三角函数的周期性，不妨取x=乙，则 w 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 T13元=9r,将其代入y=COS w,可得y,一Y x2=60xg=6 2y、3 2y4= 设该菱形的边长为2a,则(2a)-。=(2×)°，解得a=1,所以该菱形的月长为4 √3 ×2=8. 15.解：1)因为2hsnC=ctan B=-c·0B,所以2 o Bsin C=SnB,…2分 由正弦定理得2 sin Bcos Bsin C=sin Csin B,…4分 1 又sinB>0,sinC>0,所以2cosB=1,则cosB= 2 ……5分 因为B∈(0，x),所以B= 3 ,…6分 C 5 (2)在△ABC中，由正弦定理sin Bsin C,得 ……8分 √3 5w3 2 14 解得b=7. 10分 由余孩定理0sB-。十2得} a2+25-49 2ac 10a …12分 即a2-5a-24=0,(a-8)(a+3)=0,解得a=8或a=-3(舍去). 故a=8.…13分 16.(1)证明：连接BD.ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，.BB1DD1,BB1=DD1,·1分 .四边形BB1D1D是平行四边形，∴.BDB1D1.…2分 E,F分别是BC,CD的中点，.EFBD,…3分 ∴.B1D1/EF.… ……4分 ,B1D1平面EFG,…5分 .B1D1/平面EFG.…6分 (2)解：易得DA,DC,DD1两两垂直.设AB=2,以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别 为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2,3,0),F(0,2,0),G(2,0,4), 00……………0…7分 E7=(-2,-1,0),E心=(0，-3,4).…8分 设平面EFG的法向量为n=(x,y,z), 之 D n·EF=-2x-y=0, C G 则 …10分 A n·EG=-3y+4z=0, TB 取x=一2，则y=4,之=3，∴.n=(一2,4,3)是平面EFG的一个法 向量.…12分 易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),…13分 ∴.平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值为|cos〈m,n〉|= 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 m·n 3√29 m n 29· ……15分 [注]第(2)问还可以这样解答： 如图，过G作GH⊥AD,垂足为H.过H作HI⊥EF,垂足为I.连接 D HE,HF,GI. 易证GH∥AA1,AA1⊥平面ABCD,∴.GH⊥平面ABCD.… …7分 ,EFC平面ABCD,∴.GH⊥EF.…8分 .EF⊥HI,GH∩HI=H,.EF⊥平面GHI,…9分 A B ∴.EF⊥GI,∴.平面EFG与平面ABCD的夹角为∠GIH.…10分 设AB=2a,易得BD=25a,EH=3a,HD=2a,得EF=√5a.…12分 在△EFH中，由SmEH,HD=名EF·H1,得HI-EHD_65。 EF 5 ..…13分 得tan∠GIH= GH 25 HI 3 …14分 故c/CIH=3,即平面EC与平面ABCD夹角的余张值为v西 29 29 …15分 a2+b2=c2, 17.解：(1)设M的焦距为2c,由题意得C=√2， 2分 2c=4, 得a=b=2, …4分 c=2, 所以M的方程为多-之1，… 5分 (2)设L1:x=my+1(m>0),l2:x=ny+1,A(x1,y1),B(x2,y2). 由1⊥l2,得.=-1，得m=-… 6分 m n [x=my+1, 油x2y2_1得(m2-1)y2+2my-1=0, 7分 (22=1, m2-1≠0， △=8m2-4>0, 得y1十y2= 2m …8分 m2-1' 1 y1y2=- m2-1’ 所以|AB|=√1+m√y1+y2)2-4y1y2=V√1+m 2m 4 m2 m2 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 2√1+m2√/2m2-1 m2-1 10分 同理可得1CD1=2V1中m√2m三1_2Vm+V2-m ln2-1 11-m2 12分 由AB=21CD1,得21+2m百-m元，得m2-号，得m- 1m2-1 11-m21 2 …13分 当m2=3 时，n2=12 =7m=3,得m2-1≠0,8m2-4>0,m2-1≠0,8m2-4>0,符合题意.… …14分 故l1的方程为2x一√6y-2=0.… 15分 18.解：(1)①因为m1=m4=1,则由F=Gm12-G,可得=1.…1分 2 从六个小球中任选两个，共有C哈=15种不同的选法，……2分 其中这两个小球之间的距离为1米的选法有6种，…3分 ,6=2 故这两个小球之间的万有引力的大小为G的概率为6一行 …4分 ②由题可知，任意两个小球之间的距离可能为1，W3,2,…5分 则X的可能取值为G合，号且P(X=G)=号P(X-号)=是=号，P(x=9)=是 …7分 X的分布列为 X G g G P 2 5 8分 E(X)= 2G2G G 7G 5十15+2012 9分 (2)由对称性可知，去掉哪一个小球都是等价的， …11分 Y的可能取微为G,号且P0Y=6=是-号，P(y-号)=-号，P(Y-9)=忌 GG 1 14分 Y的分布列为 Y G G G P 2 2 1 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 …15分 2G,2G,G_7G E(Y三写干15干20=2则E(X)=E(Y).…17分 19.(1)证明：当a=1时，f(x)=e-x一1(x∈R),则f′(x)=e2一1.…1分 当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0，十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递 增，… 2分 所以f(x)≥∫(0)=0，得证…3分 (2)解：显然x=一1不是f(x)的零点.… …4分 当-1时，由x)=0,得a年 令g)年≠-1》.则g)= 当x∈(-∞，-1)和(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(0，十∞)时，g(x)>0, g(x)单调递增。……5分 当x∈(-∞，-1)时，g(x)<0,当x∈(-1，+∞)时，g(x)>0,且g(0)=1. 由g)三可知当>1且x→1时，gc)→十0，当x→十©时g(②→十∞ …6分 当a>1时，关于z的方程a年有两解，则f)的零点个数为2，…7分 当a=1或a<0时，关于x的方程a=千有-解，则f()的零点个数为1，…8分 当0Ca<1时，关于x的方程a=宝千无解，则f)的零点个数为0…9分 (3)证明：当f(x)存在两个零点x1,x2时，可得a>1,不妨令x1<x2,则一1<x1<0<x2: 1e1=a(x1十1)， 由题可得 则e2=x2十1 e2=a(x2十1) x1+1 令t=,+1 十i则由-1x1<0<x2,可得>1，…10分 [x2-x1=In t, 二1一1， 则 整理得 ”则x1十，-+1D1a-2.…11分 x2+1=t(x1+1), t-1 ①要证x1+x,>0,即证十1l1nt-2>0. t-1 因为t>1,所以需证lnt 2>0 …12分 令h(x)=lnx- 2≥1周e)是>0在1+止 2(x-1) 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 恒成立，则h(x)在(1，十∞)上单调递增，则h(r)>h(1)=0,故1nt-2->0,得证 t+1 ………13分 +-t,因为-1<x<0<,所以要证+>-1，需证x1十2<-xx x1 x2 Z1X2 元2 需证(x1十1)(x2十1)<1.…14分 由tnt-1 可得x,+1)(+1)=4·()。 x2=t-1 因为>1，所以要证(x十)(z+D1,需证n<行 …15分 令m=f,m>1,则需证2nm<m-1, ,需证21n2n二10，…16分 m m 令px)=2n工(x>1,则g')=22z+1-红=1D2 22 <0在(1，十∞) x x2 上恒成立，则g(x)在(1，十∞)上单调递减，从而p(x)<p(1)=0,故21nm-m二1<0， m 得证.…17分 ▣回 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】高三数学学情检测 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（侧重一轮同步复习）。 弥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知集合A={(x,y)ly=2},B=(x,y)ly=x},则A∩B= A{2 B.{2,0} C.{(2,2)》 D.{(2,0),(0,2)} 2.“四边形ABCD是等腰梯形”是“四边形ABCD的对角线相等”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ).e 封 3.若a=ea.7,b=log0.7,c=sin0.7,则 面园雪 A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b ( 4.曲线y=2e-1一x在点(1,1)处的切线方程为 A.y=2x-1 B.y=-x+2 C.y=x D.y=1 5.若正数m,n满足√7m十4√7n=2mn,则mn的最小值为 A.7 B.28 C.14 D.56:@ 6.已知sina与cosa是关于x的方程5x2-mx+2=0的两个实数根，则tan(e十)- A.±3 取士号 C.3或-3 线 D-3或对 7.若函数f(x) 4x+ax,x≤2， 在R上单调，则a的取值集合为 6+6log2x,x>2 ☒ A.{ala≥8 B.{a|6≤a≤8} C.{8) D.{a|8≤a≤10》 8.川南是我国页岩气主力产区，该地区某采气井A到道路（视为直线）的垂直距离为20m,垂 足为B,道路上距离B点210m处建有标准化集气中转站C,现拟在道路段BC上选取阀室 点位D(管道检修截断设施).已知跨沟渠管沟(A→D直线段)的单位造价是道路管沟(D→C 直线段)单位造价的3倍.若要使管线A→D→C的总造价最低，则D与B之间的距离应为 A.5√3m B.5√2m D.10√3m 【高三数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 1求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=sin(ax十p)(w>0,0<p<π)的部分图象如图所示，若△ABC的面积为3，则 Aw=君 面是危刚黄头过 B.f(x一4)为奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=20对称 D,将fx)图象上所有点的横坐标变为原来的2后，得到函数g(x)=si(子x+)的图象 10.已知抛物线C1:x2=y的焦点为F1,抛物线C2:y2=8x的焦点为F2,C2上的动点P位于 第一象限，A(3,4),则 A.F,(0.) B.C2的准线方程为x=一2 C.|PA|+|PF2|的最小值为5 D.当P在C1上时，|PF2|+|PF|<8 11.设f(x)是定义在R上的可导函数，且f(x)>0.记F(x)=[f(x)]3.若对任意x∈R, F'(x)>6xF(x)恒成立，则 A.f'(x)>2xf(x) 代) B.e2f(0)<f(W2) C.f(-1)>f(1) 小民明.8欢华商的00D1=音一店商远以 D.当x∈（牙，）时，ef(sinx)>f(cosx) 南41 证过卧采两喻(0，)点形显，联号4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.目，点两0，交M.点两 12.函数f(x)=0工的定义域为△ 13.若函数f(x)=xe一ax+11无极值，则a的取值范围为△ 14.若w>0,则以曲线y=COS与曲线y=cos(ox一)相邻四个交点为顶点的菱形的周长 为 △ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 bsin C=ctan B. (1)求角B; (2)若c=5,sinC-=53 4,求a. 【高三数学第2页（共4页）】 16.(15分)通源，中数出小 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C,D1中，AD⊥AB,AD⊥CD,AD=AA1=CD=2AB,E, F,G分别是BC,CD,A1D1的中点. 件的 (1)证明：B,D1平面EFG (2)求平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值， D 感队8=烟的甲 G 第园能（票一一）。差面顺除，表专的来可衣录坐觉随点存风 B 气道只内的寸，比总源的：门整出留，可代品款随发 E B 皇一年武代随张路圆 91+19,组土0亦9世0 代的小是的年一年) 第玉意日体落可()入]（)4月0（红）1且，湿题早前过班迹义香 圆，亚数时)() 17.(15分) )1元 已知双曲线M:号芳=1a>0,6>0)的离心率为E,焦距为4 81018 (1)求M的方程： (2)已知l1,l2是过点(1,0)的两条相互垂直的直线，l1的倾斜角为锐角，l1与M交于A,B 两点，l2与M交于C,D两点，且|AB|=2|CD|,求l1的方程 武慰义家的上二四 （出接 大园陈静组的，圆，面死家1十心一正一（是网告 清圆脑到的面长点炎个国昭时（一一。）一发曲己心=心尘的便，· 是是度衡旋辱饭阳证，翻谢罕文出区商答酸代「下共，题小心共腰零密常图 日=与公目，，4，s武限很阻利，，的内面7 :灰1 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 著名物理学家牛顿提出万有引力定律：两个质量分别为m1,m2(单位：千克)的物体间的距 离为r(单位：米)，则这两个物体之间存在相互吸引的万有引力F(单位：牛)，且F= Gm,m(其中G为常数.如图，将六个质量均为1千克的小球（视作质点）放在半径为1米 的圆O的圆周上，且任意相邻的两个小球之间的距离相等。 (1)从六个小球中任选两个 ①求这两个小球之间的万有引力的大小为G的概率； ②记这两个小球之间的万有引力的大小为X,求X的分布列与期望 (2)从这六个小球中随机地去掉一个，其余五个小球的位置不变，并从这五个小球中任选两 个，记这两个小球之间的万有引力的大小为Y,比较Y的期望与（ⅱ）中X的期望的 大小 欧 合浮县愿-一车只.中度个面出2圆降海食牌共，合圆小叠，园小名生 B , 案战的A酒心四蛋“部梁 D 19.(17分) 我产方湖通 已知函数f(x)=e2一ax-a. (1)当a=1时，证明：f(x)≥0 封 (2)讨论f(x)的零点个数 (3)设f(x)存在两个零点x1,x2 比路氏时的世，克的/8一 ①证明：x1十x2>0. ②证明：1+1>-1 长请最的坝，S一了可 10 。1明，脑张卖个阿阴0=十一品期代的上民琴日是D起 线 长健密面圆，单上发中 【高三数学第4页（共4页）】