黑龙江省大庆市2027届高三一模数学试题

高三数学 2026.10 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，那么复数对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知非零向量，满足，且，则 A． B． C． D． 4．已知圆：，直线：与圆相交于，两点，则 A． B． C． D． 5．已知正项等比数列的前项和为，且，，则 A．7 B．15 C．31 D．63 6．已知函数（，），若，则 A． B． C． D． 7．为了满足员工的用餐需求，某公司开设了和两个不同风味的餐厅．员工甲每天要在公司餐厅吃午餐和晚餐，其中午餐是等可能地随机选择餐厅或餐厅用餐．如果他午餐去餐厅，那么晚餐去餐厅的概率为；如果他午餐去餐厅，那么晚餐去餐厅的概率为，则员工甲晚餐去餐厅用餐的概率为 A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，，，．若该直三棱柱外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，则下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数，则下列结论正确的是 A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时，函数的值域为 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 11．在平面内，为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线与圆：（）相切．若点为圆上的一个动点，点，，为抛物线上不同的三点，则下列结论正确的是 A． B．存在点，使得为等边三角形 C．若点到准线的距离为，则的最小值为 D．若为等边三角形，且直线的斜率为，则的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆锥的侧面积是，底面半径是，则该圆锥的体积是 ． 13．已知数列的前项和为，若，，则数列的前10项和为 ． 14．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某校为了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下的列联表： 单位：人 性别 关注AI情况 合计 关注 不关注 女生 10 —— 40 男生 —— 20 60 合计 50 —— —— （1）完成上述列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关联？ （2）将样本中的60名男生按是否关注AI进行分层，按比例分配，用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中关注AI的人数为，求的分布列和均值． 附：，． 16．（本小题满分15分）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若的面积为，，求的周长． 17．（本小题满分15分） 已知正三棱柱所有棱长都为，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，满足点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分17分）设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且． （i）证明：点为线段的中点； （ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分17分）已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）函数，若是的唯一极值点且是极小值点，求实数的取值范围； （3）函数，是否存在正实数，使得函数恰有三个零点，，，其中且，，成等差数列？若存在，求出该数列的公差；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $