专题特训7 添加辅助线构造相似三角形-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 专题特训七添加辅助线构造相似三角形 类型一作平行线法 1.[2026六安舒城期末]在△ABC中，点E,F分别在BC,AC上，AE,BF相交于点D. D如图@，当E,F分别为BCAC的巾点时，求证，品号 (2)如图@，当EC:BE=1:3,AF:CF=3:2时，求 D的值 (第1题) 类型二作垂线法 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，M为射线AC上一点，N为射线CB上一点，且 DM⊥DN. DM BC (1)求证：DNAC (2)若BC=6,AC=8,CM=5,求CN的长. N M (第2题) 64 第22章相似形 类型三连线法 3.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB,垂足为E,CE与BD相交于点F.求证： (1)AB_CE BEEF· (2)DF·DB=2BC2 (第3题) 类型四作延长线法 4.如图，在四边形ABCD中，ADBC,CE是∠BCD的平分线，CE⊥AB于点E,BE=2AE,且四 边形AECD的面积为21，求△EBC的面积. (第4题) >“答案与解析”见D40 656.(1)△AB,C1的边长为1，O是BC1的中点，A2 是OA,的中点∴△A,B,C2的边长为2，△ABCa的 边长为(2)，△An BnCi的边长为(2)，△A,B,C 的边长为().·△AnBrCw和△A,B,C,的相似 () 8 .△AB1C和△A,B,C,的位似中心 为点0.(2)△M.B.C(n≥2)的边长为（日）， 3 .△A.B.C.(n≥2)的周长为2 7.(1)由题意，得k=-2.把(3,1)和k=-2代入y= kx+b,得1=-2X3+b,解得b=7.(2)在y=-2x十4 中，令x=0,则y=4;令y=0,则x=2.∴.A(2,0),B(0, 4).根据相似比为？，可得一次函数y一kx十+b的图象有两 种情况（如图）：①当图象不经过第三象限时，图象过点(1， 0)和点(0,2)，易得这时一次函数的表达式为y=一2x十2； ②当图象不经过第一象限时，图象过点（一1,0）和点(0， 一2)，易得这时一次函数的表达式为y=一2x一2.综上所 述，符合题意的一次函数的表达式为y=一2x十2或 y=-2x-2. 92才345 (第7题) 专题特训七添加辅助线构造相似三角形 1.(1)如图①，连接EF.E,F分别为BC,AC的中点， .EF是△ABC的中位线.EF∥AB,AB=之 EF 1 △DEo△DAB∴B-= (2)如图②，过 点B作BG∥AC,交AE的延长线于点G.设AF=3a, CF=2a,则AC=AF+CF=5a.'BG∥AC,.∴.△BEG∽ △EA.器-器-G-34C-1a.BG/ D AC,△BDGn△FDM.∴BDC-i5a方 FD FA 3a 1 D ① ② (第1题) 2.(1)如图，分别过点D作DP⊥BC于点P,DQ⊥AC于 点Q,则∠MQD=∠NPD=90°.：∠C=90°， ∴.∠QDP=90°.：DM⊥DN,∴.∠MDQ+∠QDN= ∠QDN+∠NDP=90.∴.∠MDQ=∠NDP. &△DQ△DNn兴品：D为AB的中点， 易知D0=号C,DP=号AC别 ,(2)由 (1),易知Q为AC的中点，P为BC的中点，∴.CQ= AC=4,CP=2BC-3.MQ=CM-CQ-5-4=1. 1 :D0=BC=3,DP=2AC=4,△DMQ△DNP. 器器即市=是4p专Cv=p 45 NP=3-3=3 o D (第2题) 3.(1)四边形ABCD是菱形，∴.DC∥AB,DC=AB. △DCPABEF.E踪：能-= BEEF·(2)如 图，连接AC交BD于点H,则AC⊥BD,∴.∠DHC=90° CE⊥AB,.∠BEC=90.又DCAB,∴.∠DCF= ∠BEC=90°.∴.∠DHC=∠DCF..∠HDC=∠CDF, △HIACPE.0-Dm·DH=x. :四边形ABCD是菱形，DH=DB,DC=BC 40 DF·ZDB=BC.DF·DB=2BC, B (第3题) 4.如图，延长BA,CD交于点F,过点D作DM LAF于点 M.·CE是∠BCD的平分线，∴.∠BCE=∠FCE :CE⊥AB,∴.易得∠B=∠F.∴.CB=CF,则BE EF.,AD∥BC,∴.∠FAD=∠B.∴.∠FAD=∠F. DA-DE.DMLAF,EM-TAF.BE-EF, BE-2AE..AF-AE-7 EF.FM-7AF-FE. DMIAF.CELAB..DM/CE. :S=Sm-SAw=2EF·CE-号AF· DM=2EF·CE-6EF·CE=21,EF·CE=48. .S△x=S△cm= 2EF,CE=24. E (第4题)》 专题特训八相似三角形与其他知识综合 1.(1)∠ADC=90°，BD平分∠ADC,∴.∠ADB= ∠BDC=∠A=45°∴.AB=BD,∠ABD=90°.：BEL1 BC,∴.∠EBC=90°.∴.∠ABD-∠EBD=∠EBC ∠EBD,即∠ABE=∠DBC.在△ABE和△DBC中， ∠ABE=∠DBC, AB=DB, ∴.△ABE≌△DBC(ASA). ∠A=∠BDC, (2)由(1)知，△ABD是等腰直角三角形，.∠A= ∠BDE=45°，AB=BD.∴.∠EBD=∠EBF+∠DBF= DBF=∠EFB,AAFB∽△DBE. E.六AB·DB=AF·DE,即AB2=AF·DE (3)设EF=x,则AD=x+10,AF=x+6,DE=x十4. D △ABD是等腰直角三角形，∴.易得AD=√2AB.由(2) 1 知，AB=AF·DE,.2(x+10)2=(x+6)(x+4),解 得x=2√13（负值舍去）.∴.EF=2√13. 2.(1)如图，连接AE.:四边形ABCD是正方形， .AB=CB,∠ABE=∠CBE=45°，∠ABC=90°.又 :BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS).∴.EA=EC, ∠EAB=∠ECB.:CE⊥EF,∴.∠CEF=90° ∴.∠ECB+∠EFB=360°-∠ABC-∠CEF=180° :∠EFA+∠EFB=180°，∴.∠EFA=∠ECB= ∠EAB.∴.EF=EA.∴.CE=EF.(2)EF=EC, ∠FEC=90°，∴.∠EFC=∠ECF=45°.：四边形ABCD 是正方形，.∠FAC=45°=∠EFC.又∠FCG= ∠AcF,△CGMACF.器.Cr-G· CA.(3)BE·DH的值不发生变化.由正方形的性质和 (2)可知，∠ECH=∠CDB=∠DBC=45°，又 :∠EC=∠CHD△CHna(DH.∴S開-器 畏-20：∠BCH=∠DBC∠CEH=∠BBC, &△OH∽△RC&畏-s畏-器 器-器4DH·BE=C·CD=LE·DH 的值不发生变化，且为1. G 0 H (第2题) 3.(1):点D(4,3)在函数y=(x>0)的图象上， x ∴.k=3×4=12.(2)如图，过点C作CG⊥y轴于点G, 过点D作DE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F, 则DEBF,四边形BGOF为矩形，∴.BF=OG,∠BGO= ∠FBG=∠GOF=90°.，四边形OABC是平行四边形， ∴.CO=AB.∴.Rt△OCG≌Rt△BAF(HL).∴.AF=CG. 设C(,),则BF-是，AF=CG=.:DE/BF. △0E0△0BF.器8票：D4.DE=3 0E-40F-90n-0F-AF-9-x 41