22.4 相似三角形的性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

段PC的长为6政受 3. 思路导引 ∠ABC=∠D=909 BC △DBA∽△BCA △DBA∽△BAC 在Rt△ABC中，BC=√AC-BC=√5-4=3， ∠ABC=∠ADB=90当C-A2时，R△DBA R△CA,即眇=专：解得BD=号：当器-费时， Rt△DBACORtA△BAC,即BD-4 号，解得D=综上所 述，当BD的长是号或时.题图中的商个直角二角形相似 12 4.D:第一个直角三角形的边长为3,4，m,∴.斜边长 可能为m或4.若m为斜边长，则m=√32+4=5；若m 为直角边长，则m=√4一3=√7.，第二个直角三角形 的边长为6,8，n,∴.斜边长可能为n或8.若n为斜边长， 则n=√62+8=10：若n为直角边长，则n=√⑧2-6 27.:两个直角三角形不相似，∴.当m=5时，n=27, 则m+n=5十2√7；当m=√7时，n=10,则m+n=10+ √7.∴.m十n的值为10+√7或5十27. 5尽四边形AD是矩形，∠B=90:器 AE .:∠AEF=∠B=90°， △Av△AER.是答：怨装：∠B= ∠ACF=0R△MBERt△ACR.:需-希设 AB=a,则BC=√2a,∴.AC=√AB2+BC= 后+0=vg牛-小德-2-6 6.(1).·△ABC与△ADB都是直角三角形， 乙ABC=∠ADB=902:AB=AC·AD,.A0 D A8△ABC∽△ADB.(2):△ABC∽△ADB, ∴.∠C=∠ABD.:'∠ADB=∠ABC=90°，∴.∠BDE= ∠ABE=90°..∠E+∠DBE=90°，∠ABD+∠DBE= 90°.∴.∠E=∠ABD.∴.∠C=∠E.∴.AE=AC=10. ∠E=∠E,∠BDE=∠ABE,.△BDEc∽△ABE. 装-器E=装又：BE=6成= 62_18 10-5 7.(1)E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”.理由： ∠DEC=45,.∠AED+∠BEC=135°.：∠A= 45,∴.∠ADE+∠AED=135°.∴.∠ADE=∠BEC.又 :∠A=∠B,∴.△ADEP△BEC.∴.E是四边形ABCD 的边AB上的“相似点”.(2)由题意可知，DM=EM, EC=CD=AB=23,∠A=∠B=∠MEC=90°.在 Rt△BEC中，由勾股定理，得BE=√CE一BC= √(23)2-32=√5，则AE=AB-BE=√3.∠A= ∠MEC=90°，∴.∠AEM+∠AME=90°，∠AEM+ ∠BEC=90°.∴.∠AME=∠BEC.又：'∠A=∠B, ∴、△AEM△BCE..=B,即后=3.∴.AM= BE BC 1.在Rt△AEM中，由勾股定理，得EM=√AE+AM= 隔+=2：焉=品=小德-品即 瓷又：∠A=∠CRM△MBM△nM.又 △AEMn△BCE,∴.△AEM∽△BCE∽△ECM.∴.E 是四边形ABCM的边AB上的“强相似点”. 22.4相似三角形的性质 1.B.△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别为△ABC 和△A'B'C的角平分线，且AD:A'D'=5:3,.BC: B'C=5:3,△ABC的周长：△A'BC的周长=5：3， △ABC的面积：△A'B'C的面积=25：9.：△ABC与 △A'B'C的高分别为BE和B'E,∴.BE:B'E=BC: B'℃'=5：3.故①③④正确，即正确的有3个. 2.4:25或9：25如图，①当AE:ED=2:3时，四 边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC. .AE:BC=2:5,△AEFn△CBF.∴.S△Asr:S△cw= 36 4:25.②当AE:ED=3:2时，同理，可得S△Agr: S△CBr=9:25.综上所述，S△ABF:S△CF=4:25或 9：25. (第2题) 方法归纳 三角形面积比的规律总结 (1)相似三角形的面积比等于相似比的平方. (2)同（等）高三角形的面积之比等于底之比 (3)同（等）底三角形的面积之比等于高之比 3.(1):四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD, AB=CD,∠ABC=∠ADC.∴.∠BAE=∠DGA, .△ABE△GDA..CG:GD=1:2,∴.GD:CD= 2:3...AB:GD=CD:GD=3:2.∴.△ABE与 △GDA的周长比为3：2.(2)由(1)，知△ABE∽ △GDA:5-E.:△MBE与△GDA的面积比是 GD DA k:1(k>1),. S△ABE AB SAGDA GD =部= CG-1. “需-小 4.D·四边形ABCD是平行四边形，∴.ABDC,AD∥ BC,AB=CD=6,AD=BC=9.∴.∠BAF=∠F, ∠DAF=∠AEB.:∠BAD的平分线交BC于点E,交 DC的延长线于点F,.∠BAF=∠DAF.∴.∠DAF= ∠F=∠AEB=∠BAF..AB=BE,AD=DF. ∠AEB=∠FEC,∴.∠FEC=∠F.∴.EC=FC .AB=CD=6,AD BC=9..BE=6,DF=9. C=FC=DF-C=9-6=&“能=令：在 △ABG中，BG⊥AE,AB=6,BG=4√2，.由勾股定理， 得AG=√AB2-BG=√62-(4√2)2=2.：AB=BE, BG⊥AE,∴.AE=2AG=4.∴.△BEA的周长为16. :AB∥C,·△CEF△BEA.又：= 会销滕=，即A的张=△ct 16 的周长为8. D 5.A如图，过点D作DH⊥AB于点H.:∠ABC= 90°，AB=4,BC=2,∴.AC=√AB2+BC=2√5.BD 是边AC上的高，：BD=AB,C-4X2=45 AC 25 51 .CD-AD-AC-CD5 5 8W5、4w5 AB 4 AE·DH=号x 8=4 5=5x·S△DE=2BE·DH青 合4-)xg=9-台∠BDE=90-∠B0F ∠CDF,∠DBE=90°-∠CBD=∠C,∴.△BDE∽ /2w5 2 △CDF.·SAmE SACDE 5 BD 45 4·Scp= 5 Sam-5aw=殳×2X4-号x-(侍-号） 4 子十点：一子<0y随x的增大面减小，且y与 3 x的函数图象为线段（不含端点）.观察各选项中的图象可 知，A符合题意. 0 E H B (第5题) 6:品-2沿-号：DE/c△ADE △Ax:会鹤禁-品-÷：nE∥心， AB E-0=子：CF∥AB.△Crn△AD △CEF的周长CE_1 △CEF的周长_1 ·AED的周求=AE=2六△ABC的周长=3· (2)如图，过点A作AGDE,交BC于点G.·A为DB 的中点部能CR:B=1:2BG CE=EG..AG∥DE,'.△DBEc∽△ABG,△CFEC∽ △CAG.. S△DBE= (BE S△AX: BG -4,3 SACAG 37 ,△DBE的面积为4，.△ABG的面积为1.∴.△ACG 的质积为2：3受-子：△CFE的而积为 .1 D (第6题) 微专题·三角形内接矩形问题 1.A如图，过点A作AM⊥BC于点M,则GF∥AM :S正方形H=4,∴.EF=GF=IHG=HE=2,GH∥ C△AHGACl..沿-子：留 .:GEAM,△BGFn△BAM.:GFBG AM BA ?、·.AM=3.过点A作直线L/BC,作点C关于直线题 的对称点D,连接BD,AD,此时AB+AC=AB十AD, CD=2AM=6.当点B,A,D共线时，AB+AC取得最 小值，为BD的长.BD=√BC+CD=6√2， .AB十AC的最小值为62. l--- FME (第1题) 2.(1)设正方形的边长为xmm,则PN=PQ=ED xmm,∴.AE=AD-ED=(80一x)mm.:四边形 PNMQ是正方形，∴.PN∥BC.∴.△APNc∽△ABC 院品即0，解得=加工成的 PN AE 正方形零件的边长是48mm.(2)设PQ=xmm,则 PN=2xmm,AE=(80-x)mm.:'四边形PNMQ是 矩形，PN/C△APNO△ABC.. 即-80，解得x=202x-49:这个矩形 120 80 零件的两条边长分别为 480 mm, 7 mm. 专题特训六相似三角形的常考模型 1.(1)BC2=BF·BA,∴.BC:BF=BA:BC.又 ∠ABC=∠CBF,.△ABC△CBF.DE∥BC, ∴.△CBF△GDF.∴.△ABCO△GDF.(2)如图，过 点A作AH∥BC,交CF的延长线于点H.:'DE∥BC, ∴.AH∥DE.E为AC的中点，∴.易得GE是△AHC 的中位线.∴.AH=2EG.:AH∥DG,∴.△AHF∽ △a提品瓷品 Hs- (第1题) 2(1):DA=DB,EB=C,·路=哭.又 EB ∠ADB=∠BEC,.△DAB∽△EBC.∴.∠DAB= ∠RC,器-：AD∥ER.:∠DMF-∠EB, ∠ADF=∠DBE,△ADrO△EBF.器-器 -PF.DF·BC=BF·AB.(2)由(ID,得 △DABD△EBC,.∠DBA=∠ECB.:∠FAB= ∠EAC,∴△ABF∽△ACE.·A5-BF. AC CE AC-正，即B “m=0E6-=由0.0器是 AC DF AC “贺以=1+需易特德 AB·BC AB 2 船-=设DF=5+1z,则F=2a DF DF (5+1)x=5+1_5-1 .BD-BF+DF-2x+5+1)x5+3 2 小號的价为5 3.(1)①由题意，得∠A=∠DEF=∠B=90°， ∴.∠ADE+∠AED=∠BEF+∠AED=90°， ∴.∠ADE=∠BEF.∴.△AED∽△BFE. ②△AED∽△BFE,∴.AD:BE=AE:BF.:E为 AB的中点.AE=BE=2AB=5.6:5=5:BR. &BF=答 (2)∠ACB=90,AC=BC, 38拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 22.4相似三角形的性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.已知△ABC△A'B'C',AD和A'D'分别为△ABC和△A'B'C'的角平分线，且AD:A'D' 5:3.有下列结论：①BC:B'C=5:3;②△ABC的周长：△AB'C的周长=3：5；③△ABC 的面积：△AB'C的面积=25：9；④若△ABC与△A'B'C的高分别为BE和B'E,则BE: B'E'=5:3.其中，正确的有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.★在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE,AC相交于点 F,则S△AEF:S△CBF= 3.如图，E为□ABCD的边BC的延长线上一点，AE与BD交于点F,与DC交于点G. (1)若CG:GD=1:2,求△ABE与△GDA的周长比. (②)若△45F与△(GA的而积比是：1公>1).球的值 B (第3题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.如图，在□ABCD中，AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F, BG⊥AE于点G,BG=4√2，则△CEF的周长为 () A.11 B.10 C.9 D.8 (第4题) (第5题) 5.[2024安徽中考]如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=2,BD是边AC上的高.点 E,F分别在边AB,BC上（不与端点重合），且DE⊥DF.设AE=x,四边形DEBF的面积为y, 则y关于x的函数图象为 () y 16 5 生 5 5 5 0 4 0 4 A B D 58 第22章相似形 6.(1)如图①，在△ABC中，点D在边AB上，DEBC交AC于点E.过点C作CF∥AB,交DE 的延长线于点F.若品-2，求△CEr与△ABC的周长比 (2)如图②，在△ABC中，D为边BA的延长线上一点，E为BC上一点，连接DE交AC于点 F.若A为DB的中点，CE:EB=1:2,△DBE的面积为4，求△CFE的面积. (第6题) 微专题·三角形内接矩形问题 1.[2026合肥包河期末]已知正方形EFGH的边EF在△ABC的边BC上，点G,H分别在AB 和AC上，BC=6,S正方形EGH=4,则AB十AC的最小值为 A.6√2 B.√37 C.35 D.10 2.教材变式题如图①，有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加 工成正方形零件，使正方形PNMQ的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，AD与 PN交于点E. (1)请问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？ (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，那 么这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？ D M (第2题) “答案与解析”见D36 59