第22章相似形单元质量检测卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

第22章相似形单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1,下列说法正确的是() A.任意两个矩形都相似 B.对角线互相垂直的四边形是正方形 C.反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D.甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，点D是边AB的中点，DE⊥BC于点E,若AB=10,BC=6, 则DE的长为() A.2v34 B.4 C.10 D.V51 3.如图，己知D,E,F分别是△ABC三边的中点，则图中与△ABC相似的三角形有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的 形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是() A.(5-小：2 B.(N5-小：2 C.3:2 D.1:V2 5.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，下列所述四个条件中不能判断△CED∽△CAB 的是() 试卷第1页（共3页） B CD CE CD CE A.∠CED=∠A B.∠CDE=LB C.CB CA D.CA AB 6,如图，在MBCD中，E为CD上一点，连结E,BD,且E,BD交于点F, SDBr:S。ABF=4:25 SADEF =8 若 则 () D E A.25 B.15 C.20 7.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支 点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石 头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150cm,阻力臂 OB=50cm, BD=20cm,则AC的长度是() 甲 乙 A.80cm B.60cm C.50cm D 45cm &.如图，Rt△ABCRtACDE,∠B=∠D=90°，B,C,D在同一直线上，连接AE.若BC=CD, AB=5,AE=6,则DE的长为() 试卷第2页（共3页） A.5 C.1 D.2 9.如图，△ABC与△ABC'位似，位似中心为点O,若OC':CC'=2:1,△AB'C的面积为8，则△ABC 的面积为() A.12 B.16 C.18 D.20 10.如图，四边形MBCD与四边形4BCD是以原点0为位似中心的位似图形.若B(2,0,B(4,0), A'B'= 5,则AB=() B B B.2V5 C.4 D.35 二、填空题（每题3分，共18分) 11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,点E,F分别在AD,BC边上，且EF⊥BC.若矩形ABFE∽矩 形DEFC,且相似比为l:2,则AD的长是 y” 试卷第3页（共3页） l2.如图，a∥b∥c,直线l与这三条平行线分别交于点A,B,C.若直线a与b,b与c之间的距离 3 分别为1和2，且4B=2,则BC的长是 13.要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”·如图，现在小明门前的小河清澈透明.为了测量这条 河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边P点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和 点B，使得B,A,P在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C,点D,使BC⊥BP,AD LBP, 由观测可以确定CP与AD的交点D.他们测得AB=30m,BC=90m,AD=60m,从而确定河宽，他 们测量的河宽为AP= m. D 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm,AC=6cm,点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点 C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 秒时， △CPQ,△ABC 与 相似. A'(2,2) 15.如图，在平面直角坐标系O中，△4BC与△4BC位似，位似中心是原点0.若点 试卷第4页（共3页） C(8,2).AC=3,则点C的坐标为一· B A1 C B 16.如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点，点E在AC上且CE=2AE,将线段DE 绕点D顺时针旋转9O°得到线段DF,连接AF,则AF的长为 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，在平面直角坐标系中，△1BC三个顶点分别为1(-46)，B(22),C(6,4) 6 5 4 3 -+ C B 012345678910x (I)以坐标原点O为位似中心，将△ABC在第一象限内缩小为原图形的2得到△A'B'C',请在平面直角坐标 系中画出△AB'C': C (2)设△ABC与△AB'C'的周长分别为C和C2,试求C2的值. 18.已知：如图，在△ABC中，DE∥BC,点F为AD上的一点，且AD2=AB·AF. 求证：EF∥CD」 试卷第5页（共3页） 19.如图，AB∥CD,AC与BD交于点E,且AB=6,AE=3,CD=18. (1)求EC的长 (2)求证：△ABE∽aACB 20.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E是AC上的点，ED的延长线与CB的延 长线交于点F,且∠I=∠A. D C B (I)求证：FD=FB·FC: (2)若FB=4,BC=5,求FD的长， 21.如图，在△ABC中，AB=AC,点P是BC边的一点，CD∥AB,且CD=AB,连接DP并延长，交 AC于E,交BA的延长线于F. D ◇ A B CE 3 ()若CP=6,EA2,求BC的长： (2)求证：PD2=PEPF」 22.在口ABCD中，点E是AB上的动点，点G是BC上的动点，连接DE交AG于点F. 试卷第6页（共3页） D D G B(E) 图1 图2 (I)如图1，当点E和点B重合，若BF:FD=1:2,求证：点G是BC的中点 (2)如图2，当点G为BC的中点，若EF=nDF时，求AF:FG的值（用含n的代数式表示） 23.集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球 货运领域.而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设 备.如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得CE=3m,矩形DEFG为底盘，长和宽分别为4m和lm, BG=2m,AB⊥BF,DC⊥AE,点B、G、F在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度AB. D B 24.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,连接AC、BD,△ABC是等边三角形，DE∥BC, DE与AC交于点E,△ADEP△DBC B (I)请写出∠ADB与∠DBC之间的数量关系，并证明： (2)求证：点E是线段AC的黄金分割点. 试卷第7页（共3页） 第22章相似形单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】本题考查矩形相似的条件、正方形的判定、反比例函数的对称性以及平行投影的性质。逐一分析各选项，A、B、C均错误，D正确。 【详解】解：∵ 矩形相似需对应角相等且对应边成比例，但任意两个矩形的边长不一定成比例，∴ A错误； ∵ 对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，例如菱形对角线互相垂直但不是正方形，∴ B错误； ∵ 反比例函数图象既是轴对称图形（关于直线和对称），也是中心对称图形（关于原点对称），∴ C错误； ∵ 太阳光是平行光，同一时刻身高与影长构成相似三角形，故身高与影长的比相等，∴ D正确。 故选D 【点睛】本题涉及多个初中数学知识点，需熟练掌握相似多边形、特殊四边形、函数图象性质和平行投影的应用。 2．如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度． 【详解】解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 3．如图，已知D，E，F分别是三边的中点，则图中与相似的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理，三角形相似的判定解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：∵D，E，F分别是三边的中点， ∴， ∴，，， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故有4个， 故选：D． 4．报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和，由对折后的报纸形状与对折前的形状相似，，然后求出，关系即可，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和， ∵对折后的报纸形状与对折前的形状相似， ∴原矩形与新矩形的边比相等，， ， ， ∴， 即矩形较短边与长边的比应是， 故选：． 5．如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 6．如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 7．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 8．如图，，，，，在同一直线上，连接．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，设，由相似三角形的性质可得，，进而可得，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，， 解得或（不合）， ∴， 故选：． 9．如图，与位似，位似中心为点O，若，的面积为8，则的面积为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质． 根据位似图形的性质得到，相似比为，再根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴，相似比为， ∴， ∵的面积为8， ∴． 故选：C． 10．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且．若矩形矩形，且相似比为，则的长是__________． 【答案】10 【分析】根据相似多边形的性质和矩形性质求得，，进而可求解． 【详解】解：矩形矩形，且相似比为， ， 四边形为矩形， ， ， ，， ． 12．如图，，直线与这三条平行线分别交于点，，．若直线与，与之间的距离分别为1和2，且，则的长是________． 【答案】 【分析】过点A作交直线b于点E，交直线c于点F，则可得出，，利用平行线分线段成比例定理，即可得出，代入数值计算即可． 【详解】解：过点A作交直线b于点E，交直线c于点F， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， 即， ∴． 13．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 14．如图，在中，，，，点P从点B出发，以/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点移动，设运动时间为t秒，当_________秒时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，准确分析判断是解题的关键． 分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】由题可得：，， 设，， ， 当时，， ， ， ， 秒； 当时，， ， ， ， ； 的值是或． 15．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点， ∴， ∵， ∴，即：. 16．如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且相似比为， ∴． 18．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 19．如图，，与交于点E，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：，， ， ， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明； （1）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （2）证出，利用相似三角形的判定解答即可． 【详解】（1）解：， △△； ， ； （2）略 20．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 21．如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据可证，，根据比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解； （2）连接，由已知可证四边形为平行四边形，根据平行线分线段成比例定理可知 ，，则，则题目可证． 【详解】（1）解：， 设，，则， ， ， ， ， 则，且， ， ， ， ，， ， ， 的长为． （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 22．在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点是的中点； (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线构造全等或相似三角形，将线段比例关系进行转化． （1）根据平行四边形对边平行的性质，得到与相似，利用已知的线段比例，结合，推出，从而证明是中点； （2）延长交的延长线于，利用平行四边形的性质证明，得到且，再由得到，结合的比例关系，设，通过线段代换建立方程求解，进而得到的比值． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，即，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即． 23．集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度． 【答案】 【分析】延长交于点 H，则四边形是矩形，可得，，，再根据勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质列方程可得，最后根据即可解答． 【详解】解： 如图：延长交于点 H，则四边形是矩形， ∴ ，，， 在中， 又∵， ∴， ∴， ，即 ， ， ． 24．已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 【答案】(1)解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． (2)证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $