综合与实践1 变化中的正方形的折叠问题&第1章 特殊平行四边形 拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

3.D由题意，得AB=A'B',AB∥A'B'.,四边形ABCD 是矩形，∴.AB=CD=15,AD=BC=20,AB∥CD. .AB'=CD,A'B'CD..四边形A'B'CD是平行四边 形.故①正确.利用平行线间的距离处处相等，得点C到它 关于直线AA'的对称点的距离是点C到BD的距离的 4倍.在Rt△BCD中，BD=√BC+CD=25,∴.利用 等面积法，易得点C到BD的距离=20X15=12.·点C 25 到它关于直线AA'的对称点的距离为48.故②正确.根据 A'C-B'C≤A'B',推出A'C-B'C≤15，∴.A'C-B'C的 最大值为15.故③正确.，点D关于AA'的对称点为D', .A'D=A'D.:四边形AB'CD是平行四边形， .CB'=A'D..CB'=A'D'..CA'+CB'=CA'+ A'D'.∴.当点D',A',C共线时，CB′+CA'有最小值，最小 值为CD的长.故④正确.综上所述，正确的个数是4. 4.4√2如图，作点A关于BC的对称点T,取AD的中点 R,连接QT,RT,MT,RM,则AR=DR=AD=号× 22=√2，AT=2AB=2×25=43.由对称，得AQ= QT.∴.AQ+MQ=QT+MQ≥MT.,四边形ABCD是 矩形，.∠RAT=90°.∴.RT=√AR2+AT=5√2. ·点A,A'关于DP对称，.AA'⊥DP..∠AMD= 90:R是AD的中点，RM=2AD=2.:MT≥ RT-RM,∴.MT≥4N2..AQ+MQ≥42.∴.AQ+MQ 的最小值为4√2. D R T B (第4题) ☆问题解决活动作内嵌于正方形的 正八边形 (1)A.(2)如图，正八边形LGFIHKJE即为所求作.证 明：设AO=a,则AD=AB=BC=CD=√2a.,AE AF=BG=BH=CI=CJ=DK=DL=AO=a...AL= AG=BF=BI=CH=CK=DJ=DE=√2a-a.∴.∠ALG= ∠AGL=∠BFI=∠BIF=∠CHK=∠CKH=∠DJE ∠DEJ=45°.∴.易得GL=FI=HK=EJ=2a-√2a, ∠GLE=∠LGF=∠GFI=∠FIH=∠IHK=∠HKJ ∠KJE=∠JEL=135°..LE=AD-AL-DE=W2a- (W2a-a)-(W2a-a)=2a-√2a,同理可得，GF=IH= KJ=2a-2a,.GF=FI=IH=HK=KJ=JE= EL=LG.,.八边形LGFIHKJE是正八边形. 综合与实践1变化中的正方形的折叠问题 【操作二】等边三角形；6一33.由题意得，MN为正方 形ABCD的对称轴，AB=BC=CD=AD=6,.BD'= CD',BC=CD,BN =CN=2 BC=3,MN AB=6, MN⊥BC,由折叠的性质可得CD=CD'.∴.BD'=CD'= CD=BC..△D'BC为等边三角形..BD'=BC=6. ∴.D'N=√BD2-BN=33.∴.D'M=MN-D'N= 6-3V3.【操作三】AP=2BP.理由：如图①，连接CP, 由题意得，MN为正方形ABCD的对称轴，BC=CD, AM=DM=号AD=3,由折叠的性质可得CD=CD, ∠CD'M=∠D=∠B=90°，∴.BC=CD'..Rt△PBC≌ Rt△PD'C..PB=PD'.设PB=PD'=x,则AP=6- x,PM=3十x,由勾股定理得AP2+AM2=PM2,∴.(6- x)2+32=(x+3)2,解得x=2..BP=2,AP=6-2=4. ∴.AP=2BP.【操作四】如图②，当点Q在CE上时，在 正方形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB= BC=CD=AD=6,由折叠的性质可得∠DEC=∠D'EC= ∠AEP,:'∠DEC+∠D'EC+∠AEP=180°，∴.∠DEC= ∠D'EC=∠AEP=60°..∠DCE=30°.∴.CE=2DE.由 勾股定理得CE2=DE2+CD2,即(2DE)2=DE2+62,解 得DE=23(负值舍去).如图③，当点Q在PC上时，由折 叠的性质可得CD=CD,∠CD'E=∠D=90°，∴.∠PD'C= 180°-∠CD'E=90°=∠B.BC=CD,.BC=CD'. ∴.Rt△CD'P≌Rt△CBP..∠BPC=∠D'PC.由折叠的 性质可得∠APE=∠QPE,∴.∠BPC=∠D'PC= ∠APE.:∠BPC+∠D'PC+∠APE=180°，∴.∠BPC= ∠D'PC=∠APE=60°.∴.∠BCP=∠AEP=30°由勾股 定理得BP=2√3.∴.AP=AB-BP=6-23.∴.PE= 2×(6-23).由勾股定理得AE=6√3-6.∴.DE=AD- AE=6一(63一6)=12-63.综上所述，DE的长为2√3 或12-65. M(E)D B ② ③ 第一章拔尖自主测评 1.C①由a两组对边分别相等推出四边形是平行四边 形，再添加c一组邻边相等推出四边形是菱形，再添加d 一个角是直角推出四边形是正方形：②由b一组对边平行 且相等推出四边形是平行四边形，再添加d一个角是直角 推出四边形是矩形，再添加c一组邻边相等推出四边形是 正方形：③由α两组对边分别相等推出四边形是平行四边 形，由b一组对边平行且相等推出四边形是平行四边形，再 添加c一组邻边相等推出四边形是菱形.故正确的是①②. 2.C对角线AC与BD互相垂直平分，∴.四边形 ABCD为菱形.，·AB=3,∴.四边形ABCD的周长为3× 4=12. 3.C,四边形AECF是菱形，∴.AE=EC.设AE=x, 则EB=EC一BC=x一2.：'四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°.，.∠ABE=90°.在Rt△ABE中，AE2= AB+BE,即r2=3+(-2,解得r=是：菱形 A8CF份面积=3×号-翠 4.D作QE⊥AB于点E.,:四边形ABCD是矩形， .四边形BCQE是矩形.，.CQ=BE.由题意得AP t cm,BH=2t cm.CQ=4t cm,.'.PH=20-AP-BH= (20-3t)cm.:QP=QH,QE⊥AB,∴.PE=HE= 2PH=(10-2)mCQ=BE4=10-+ 2,解得1-9 5.B如图，连接BP.,两个全等的等腰直角三角形 ABC和等腰直角三角形CDA有公共斜边AC,,∴.AB BC=CD=DA,∠ABC=90°..四边形ABCD为正方形. ,正方形ABCD的面积为36，.正方形的边长为6. :△ABE为等边三角形，∴.BE=AB=6.:四边形 ABCD为正方形，，△ABP与△ADP关于AC对称. .BP=DP..PE+PD=PE+BP>BE..PE+PD 有最小值为6. (第5题) 6.CAE平分∠BAD,∴.∠BAE=45°.∴.△ABE是 等腰直角三角形.∴.AB=BE,∠AEB=45°AB=CD, ∴.BE=CD,故①正确.，∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF= 90°，∴△CEF是等腰直角三角形.，G为EF的中点， ∴.CG=EG,∠FCG=45°.∴.∠BEG=∠DCG=135°.在 (BE=CD, △DCG和△BEG中，3∠BEG=∠DCG,∴.△DCG≌ CG=EG. △BEG.∴.∠BGE=∠DGC.:∠BGE<∠AEB, .∠DGC=∠BGE<45.:∠CGF=90°，∴∠DGF< 135°，故②错误.，∠BGE=∠DGC,∴.∠ABG+∠ADG= ∠ABC+∠CBG+∠ADC-∠CDG=∠ABC+∠ADC= 10,放③正确：铝=号设AB=2a,AD=a ,△DCG≌△BEG,∴.∠BGE=∠DGC,BG=DG. :∠EGC=90°，∴∠BGD=90°.，BD=√AD2+AB2= B…G=G=。dSm=号×a× 。=只。.5am-翠。，如图过点G作GM1 CF于点M,'CE=CF=BC-BE=BC-AB=a, GM=2CF=号a.Sam=·DFGM= 1 1 ×aXa=a.18sm=2e8Sam 1 13S△F,故④正确. (第6题) 4 7.D①由折叠，易知EF垂直平分BG,·BN=2BG. :BG的长是变化的，.BN的长也是变化的.：AB=3 是定值，∴.BN与AB不一定相等.故①错误.②：四边 形ABCD是矩形，∴.∠A=90°，AD∥BC..∠GEF ∠EFB.由折叠，得BF=GF,∠EFB=∠EFG. ∴.∠GEF=∠EFG.∴.GE=GF=BF.∴.四边形BEGF 是平行四边形.，BF=GF,∴.四边形BEGF是菱形. ∴.BE=EG.连接BD.,∠A=90°，AB=3,AD=BC= 6,∴.BD=√AB2+AD=35.当点G与点D重合时， 设BE=DE=x,则AE=6-x.在Rt△ABE中，BE2 AB+AEr=8+6-A.r只DE=只 :S装e=DE·AB=2BD·ER.EF 2X3×15 4 35 1 35故②正确，③由题意，易得SAGNF=4S花形 :S装m时=EBG·AB=3BG,易知3<BG<当点 A,M重合，即EG=3时，△GNF的面积最小，最小值为 }×3X3=号，当点D.G重合，即EG=时，△GNF的 面积最大最大值为×只×8-铝号<S≤做回 5 5 错误.④当CF=2时，BE=BF=BC-CF=6- 2.由折叠，得ME=AE,GM=AB=3,∠M=∠A=90. :ME=AE=VB-AB=√)-子=. S=号ME·GM=2X2 X3=3V13 4 故④正 确.综上所述，正确的是②④. 8.5如图，连接BD,BF,:AB=8,AD=6,∴.BD= √AB2+AD=10.G为BE的中点，H为EF的中点， .BF=2GH.∴.当BF有最大值时，GH有最大值.F 是CD上的动点，∴.当点F与点D重合时，BF有最大值 为10..GH的最大值为5. (第8题) 9.24,AC⊥BC,.∠ACB=90°.AB=18,∠B= 30.∠BAC=90-∠B=60,AC=号AB=9.如图，根 据作图可知，AG是∠CAB的平分线，直线MN是AG的垂 直平分线∠PA2=∠QA2=2∠BAC=30.AGL PQ,AP=PG,AQ=GQ.∴.∠AZP=∠AZQ=90°. :ZA=ZA,∠PAZ=∠QAZ,.△AZP≌△AZQ. .AP=AQ.∴.AP=AQ=PG=GQ.∴.四边形APGQ 是菱形.在R△PCG中，∠CPG=∠PAG+∠PGA=60°， ∠CGP=30.CP=号PG=2AD.:AC=9, 3 CP+AP=2AP=9.AP=6.菱形APGQ的周 长=4AP=4X6=24. G (第9题) 10.55-5:四边形ABCD是正方形，∴.∠A=∠C= ∠D=90°，AB=BC=AD=CD=10.,G是边CD的中 点，∴.CG=DG=5.由翻折，得EF=AE,BF=BA=10, ∠EFB=∠A=90°.由题意，易得GF≥BG-BF.∴.当点 G,F,B在同一条直线上时，GF的长最小.如图，连接EG 设EF=AE=x.易得BG=√CG+BC=55. :S格形D=S△G十S△AE十S△BG,2X(5十10)X 10=号×5X(10-x)+2×10r+号×55x,解得x 1 55-5..AE=55-5.∴.当GF的长最小时，AE的长 是55-5. A (第10题) 11.①②③④，E为BC的中点，∴.BC=2BE=2CE. 又BC=2AB,.AB=BE=CE.:∠ABC=60°， ∴.△ABE是等边三角形.∴.∠BAE=∠BEA=60°， AE=BE=CE.∴.∠EAC=∠ECA=30°.∴.∠BAC= ∠BAE+∠EAC=90°，即AB⊥AC.故①正确..·四边形 ABCD为平行四边形，.∴.AD=BC=2AB,O为AC的中 点.：E为BC的中点OE=名AB.AD=4OE.故 ②正确.，在□ABCD中，AD∥BC,AD=BC,OA=OC, ∴.∠OAF=∠OCE.在△AOF和△COE中， ∠OAF=∠OCE, OA=OC. ∴.△AOF≌△COE..AF=CE. ∠AOF=∠COE, AFCE,∴.四边形AECF是平行四边形.又：AE= CE,∴四边形AECF是菱形.故③正确.OA=OC,E 1 为BC的中点，一.S△E=2S△c=4S△A.故④正确. 12.(1)四边形ABCD是矩形.理由：：四边形ABCD是 平行四边形，.ADBC,AD=BC.:AC∥DE,∴.四边 形ACED是平行四边形.∴.AF=EF,:'AD∥EC, ∴∠DAF=∠FEC.:∠DAF=∠FBE,∴.∠FBE= ∠FEB..FB=FE=FA.∴.∠FAB=∠FBA.易得 FBA+∠FBE18090,即∠ABE=90..四边形 ABCD是矩形.(2)当AD=2CF时，四边形ABCD是 正方形.理由：由(1)可知，四边形ACED是平行四边形， :易得DF=CF=2CD=号AB.AD=20FAB AD.由(1)可知，四边形ABCD是矩形，∴.四边形ABCD 是正方形 13.(1)连接BD,交AC于点O.:'四边形ABCD是平行 四边形，∴.BO=DO.:BE=EF,∴.OE是△BDF的中 位线..OE∥DF,即DF∥AC.(2)由(1)得DF∥AC, 第二章 1认识一元二次方程 1.Dx2+】=2不是整式方程，故A错误2x2十x十2= 2x2,整理得x十2=0，是一元一次方程，故B错误；a.x十 b.x十c=0(a≠0)是一元二次方程，故C错误：2x2=0是一 元二次方程，故D正确. 2.C由题知，当x=1.2时，ax2+bx十c=0.84,当x= 1.3时，ax2+bx十c=2.29,且0.84<1<2.29，∴.方程 ax2十bx十c=1必有一个根满足1.2<x<1.3. 3.-3把x=0代入一元二次方程(k-3)x2+5x+k2 .∠DFG=∠CEG,∠GDF=∠GCE..·G是CD的中 点，∴.DG=CG.∴.△DFG≌△CEG.∴FG=EG.∴.四 边形CFDE是平行四边形.，四边形ABCD是平行四边 形，∴.ABCD.又，AB⊥BF,.CD⊥BF..平行四边 形CFDE是菱形.(3)四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD,CD=AB=2.,四边形CFDE是正方形， DE=CE-=号CD=E,BE=BF=CD=2,∠DC= 90°..∠AED=90°.AB⊥BF,.∠ABE=90°.∴.AE= √AB2+BE=V√22+22=22.∴.AD=√AE2+DE2= √/(22)2+(2)2=√/10.∴.BC=√10. 14.(1)EH⊥BC,FG⊥BC,.∠FGH=∠FGB= 90°，EHFG.由题意，知BF=2tcm,EH=tcm.在菱 形ABCD中，∠ABC=60°，.∠CBD=30°.∴.FG= 号BF=1cmEH=FG.四边形EFGH是平行四边 形.∠FGH=90°，.四边形EFGH是矩形. (2)△BFC与△DCE能够全等.：在菱形ABCD中， ∠ABC=60°，AB=23cm,∴.∠ADC=∠ABC=60°， CD=AB=2√3cm,AB∥CD.,∴.∠CBD=∠CDB=30°， ∠DCH=∠ABC=60°.DH⊥BC,∴.∠CHD=90. ∴.∠CDH=90°-60°=30°=∠CBF.∴.在Rt△CDH中， CH三2CD=3cm.∴DH=CD-C √(23)2-(W3)2=3(cm).:EH=tcm,.DE=(3- t)cm.易知当△BFC2△DEC时，BF=DE..2t=3-t, 解得t=1. 元二次方程 9=0得k2一9=0，解得k1=3,k2=一3.k一3≠0，∴.k 的值为一3. 4.x2=10(x一3)十x一元二次周瑜去世时年龄的个位 数字为x,则十位数字为(x一3)，年龄可表示为10(x一3)+ x.根据个位数字的平方等于年龄，得x2=10(x一3)十x, 是一元二次方程. 5.(1)整理，得4y2-5y=0,是一元二次方程，二次项系数 为4，一次项系数为一5，常数项为0.(2)整理，得x3十 3x2-5.x十1=0，不是一元二次方程.(3)整理，得2m2 4m十9=0，是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数 6第一章特殊平行四边形 综合与实践1变化中的正方形的折叠问题 正方形纸片ABCD的边长为6，对正方形纸片ABCD进行以下操作， 【操作一】如图①，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形 纸片ABCD展开，得到折痕MN. 【操作二】如图②，E为边AD上的一个动点，将正方形ABCD展开后沿直线CE折叠，使，点D的 对应点D'落在MN上，连接BD',则△D'BC的形状为 ,D'M= 【操作三】如图③，将正方形ABCD展开，当动点E与点M重合时，沿MC折叠，得到点D的对应 点D',延长MD'交AB于点P,判断AP与BP的数量关系，并说明理由. 【操作四】如图④，将△AEP沿EP继续折叠，点A的对应点为Q,当点E的位置不同时点Q的位 置也随之改变，连接CP.若点Q恰好落在△CEP的边上，求DE的长。 M(E)D .E).D N ② “答案与解析”见P13 19 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 第一章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共28分） 1.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：α.两组对边分别相等；b.一组对边 平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.有下列添加条件的次序：①a→c→d;②b→ d→c;③a→b→c.其中，正确的是 ( ) A.① B.③ C.①② D.②③ 2.[2025湖南中考]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边形 ABCD的周长为 () A.6 B.9 C.12 D.18 DF H (第2题) (第3题) (第4题) 3.[2025陕西中考]如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,延长CB至点E,延长AD至点F,连 接AE,CF.若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为 () 1 A.9 C39 4 D.2 4.[2025大庆中考]如图，在矩形ABCD中，AB=20cm.动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的 速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2c/s的速度向点A运动，动点Q从点C开 始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动.点P,H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另 外两点也随之停止运动.设动点的运动时间为ts,当QP=QH时，t的值为 () A号 c号 0 B.4 D.7 5.如图，两个全等的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDA有公共斜边AC,且四边形 ABCD的面积为36，△ABE为等边三角形，点E在四边形ABCD内，在AC上有一点P,使 PD十PE的和最小，则这个最小值为 () A.5 B.6 C.7 D.8 (第5题) (第6题) 6.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点 G,连接CG,BG,BD,DG.有下列结论：①BE=CD;②∠DGF=135°；③∠ABG+∠ADG= 20 第一章特殊平行四边形 180,④若8号则3S0m=13S其中，正确的是 () A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 7.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=6,E,F分别是矩形的边AD,BC上的动点，将该纸片 沿直线EF折叠，使点B落在矩形的边AD上，对应点记为G,点A落在点M处，连接BG,BE, EF与BG交于点N.给出下列结论：①BN=AB:@当点G与点D重合时，EF=3y5, 2； @△GNF的面积S的取值范围足≤S≤号：④当CP-时，Sa-3v正其中，正确的是 A.①③ M A E G B.③④ C.②③ D.②④ (第7题) 二、填空题（每小题4分，共16分） 8.[2025内江中考]如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点，连 接BE,EF,G为BE的中点，H为EF的中点，连接GH,则GH的最大值是 C (第8题) (第9题) (第10题) (第11题) 9.如图，△ABC为直角三角形，AC⊥BC,AB=18,∠B=30°，用圆规以A点为圆心画圆弧s,分别 交AC,AB于点D,E,再分别以点D,E为圆心，以大于DE长度的一半画圆弧，两圆弧交于点 F,连接AF交BC于点G,最后以点G为圆心，以AD的长度为半径画圆弧交圆弧s于点M,N, 连接MN分别交AC,AB于点P,Q,连接PG,GQ,则四边形APGQ的周长为 10.如图，正方形ABCD的边长为10，G是边CD的中点，E是边AD上一动点，连接BE,将 △ABE沿BE翻折得到△FBE,连接BG,GF.当GF的长最小时，AE的长是 11.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为BC的中点，连接EO并延长，交AD于点 F,连接AE,CF,∠ABC=60°，BC=2AB.给出下列结论：①AB⊥AC;②AD=4OE;③四边 形ABCP是菱形，①S△=S其中，正确的是 .(填序号) 三、解答题（共56分） 12.(16分)如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC,过点D作DEAC,与BC的延长线交于 点E,连接AE交DC于点F,连接BF (1)若∠DAF=∠FBE,请判断四边形ABCD的形状，并说明理由. 21 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 (2)在(1)的条件下，当线段AD与CF满足什么数量关系时，四边形ABCD是正方形？请说明理由. (第12题) 13.(18分)如图，E是□ABCD的对角线AC上一点，点F在BE的延长线上，且EF=BE,EF与 CD交于点G. (1)求证：DF∥AC (2)连接DE,CF,若AB⊥BF,G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形 (3)在(2)的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB=2,求BC的长 B (第13题) 14.(22分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2√3cm,BD与AC交于点O,过点D作 BC的垂线，交BC的延长线于点H.点F从点B出发，沿BD方向以2cm/s的速度向点D匀 速运动，同时，点E从点H出发，沿HD方向以1cm/s的速度向点D匀速运动.设点E,F的 运动时间为ts,且O<t<3,过点F作FG⊥BC于点G,连接EF. (1)求证：四边形EFGH是矩形. (2)连接FC,EC,在点F,E的运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时 t的值；若不能，请说明理由. (第14题) 22 >“答案与解析”见P14