22.3 第5课时直角三角形相似的判定-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 第5课时直角三角形相似的判定 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB,垂足为D,则下列结论不正确的是() A.若BC=BD·AB,则Rt△BCD∽Rt△BAC B.若AC2=AD·AB,则Rt△ACD∽Rt△ABC C断-2则R△BCDR△BAC D若品8S期R△MCDR△CBD A D B (第1题) (第2题) 2.分类讨论思想如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9,BC=12,D是AB边的中点，P是BC 边上一动，点（点P不与点B,C重合）.若以D,C,P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC 的长为。 3.教材变式题如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5,AB=4.当BD的长是 多少时，图中的两个直角三角形相似？ 0 B (第3题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.[2026六安裕安期中]已知两个直角三角形的三边长分别是3,4，m,和6,8，n,且这两个直角三角 形不相似，则m十n的值为 () A.10+√7 B.15 C.5+27 D.10+√7或5+2√7 5图，在矩形AD巾，E是心边上动点，需 =E,连接AC, D ∠ACF=乙AEP=90,则9 的值为 E C (第5题) 56 第22章相似形 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以△ABC的一条直角边AB为斜边，向外作Rt△ABD,延 长AD交CB的延长线于点E,已知AB=AC·AD. (1)求证：△ABC∽△ADB. (2)若AC=10,BE=6,求DE的长. (第6题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 7.新考回新定义题在四边形ABCD的边AB上任取一点E(,点E不与点A,B重合)，分别连接 ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫作 四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫作四边形 ABCD的边AB上的“强相似点”. (1)如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断E是不是四边形ABCD的边AB上的“相似点”， 并说明理由 (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=2√3，BC=3,M是边AD上的一点，将矩形ABCD沿CM 折叠，点D恰好落在边AB上的点E处.求证：E是四边形ABCM的边AB上的“强相似点”. ① ② (第7题) “答案与解析”见D35 577.6由题意，得AC=2√2，AB=4√2，BC=√22+6= 2√⑥.如图，连接P2P,P2P1,PP,AP4,CP AP,-A-2,PP-而C0 P-2△ACB△AP,P.同理，可得△PP,P, BC △CP,Ps,△ACP,△AP2P1,△AP,P和△ACB相似， ∴.符合题意的三角形共6个. P P 、P B (第7题) 8.(1)在△AOB中，D,E分别是OA,OB的中点， DE是△AOB的中位线..DE=?AB.同理，可得 Em=c,DF=Ac.R需-既-R= ∴.△DEF∽△ABC.(2)画图如图①所示.如果点O在 AB上，(1)中的结论仍成立.：在△AOC中，D,F分别是 OA,OC的中点，.DF是△AOC的中位线..DF= 2AC.同理，可得EF=号BC.又：D,E分别是OA,OB 的中点易得阳=立A品小需-震一器=台 ∴.△DEFP△ABC.(3)画图如图②所示.如果点O在 △ABC外，(1)中的结论仍成立.在△AOC中，D,F分 别是OA,OC的中点，∴.DF是△AOC的中位线.∴.DF= 号AC.同理，可得F=号C,DE=专A服六R需 畏R装-子△DEFO△ABC ① ② (第8题) D 复15,18或智号或8,10设另一个二角形框架的另外 两边长分别为xy(x<y).:对应关系不确定，∴.应分类 讨论.当另一个三角形框架长为12的边的对应边的长为4 时，则号-专一言解得=15y=18:当另个三角形雅 架长为12的边的对应边的长为5时，则号-千=音，解得 =智y-号：当另一个三角形栏架长为12的边的对应 边的长为6时则号-普一首解得1=8，y=10小另 个三角形框架的另外两边长分别为15,18或g,号或 8,10. 易错警示 忽略三角形相似的对应关系而导致错误 两个三角形相似，由于对应关系的不同，其三边满 足的比例式也不同，当题中没有说明对应关系时，应分 类讨论确定边长。 第5课时直角三角形相似的判定 1.C对于A,在Rt△BCD和Rt△BAC中，由BC2= BD·AB,可得货-.R△BDR△BAC放A 正确.对于B,在Rt△ACD和Rt△ABC中，由AC2= AD·AB.可得%-是R△ACDR△ABC,故B 正确对于C,在△CD和△BAC中，备-架.但 ∠B≠∠A,,'.不能得出Rt△BCDc∽Rt△BAC.故C不正 确对于D,在R△ACD和R△CBD中，需-品， ∴.Rt△ACD∽Rt△CBD.故D正确， 26或g:在R△ABC中，∠ACB=90,AC=9, BC=12,∴.易得AB=15.D是AB边的中点，.CD= BD=号AB=7.5:以D.C,P为顶点的三角形与 △ABC相似，∴.∠DPC=90°或∠CDP=90°.①若 ∠DC=0,则Dn/aC.需-股=令Bn 号C=6,则PC=6@若∠CDn=8,当爱-后时. △CDP△CA号得.：PC-要综上所述，线 35 段PC的长为6政受 3. 思路导引 ∠ABC=∠D=909 BC △DBA∽△BCA △DBA∽△BAC 在Rt△ABC中，BC=√AC-BC=√5-4=3， ∠ABC=∠ADB=90当C-A2时，R△DBA R△CA,即眇=专：解得BD=号：当器-费时， Rt△DBACORtA△BAC,即BD-4 号，解得D=综上所 述，当BD的长是号或时.题图中的商个直角二角形相似 12 4.D:第一个直角三角形的边长为3,4，m,∴.斜边长 可能为m或4.若m为斜边长，则m=√32+4=5；若m 为直角边长，则m=√4一3=√7.，第二个直角三角形 的边长为6,8，n,∴.斜边长可能为n或8.若n为斜边长， 则n=√62+8=10：若n为直角边长，则n=√⑧2-6 27.:两个直角三角形不相似，∴.当m=5时，n=27, 则m+n=5十2√7；当m=√7时，n=10,则m+n=10+ √7.∴.m十n的值为10+√7或5十27. 5尽四边形AD是矩形，∠B=90:器 AE .:∠AEF=∠B=90°， △Av△AER.是答：怨装：∠B= ∠ACF=0R△MBERt△ACR.:需-希设 AB=a,则BC=√2a,∴.AC=√AB2+BC= 后+0=vg牛-小德-2-6 6.(1).·△ABC与△ADB都是直角三角形， 乙ABC=∠ADB=902:AB=AC·AD,.A0 D A8△ABC∽△ADB.(2):△ABC∽△ADB, ∴.∠C=∠ABD.:'∠ADB=∠ABC=90°，∴.∠BDE= ∠ABE=90°..∠E+∠DBE=90°，∠ABD+∠DBE= 90°.∴.∠E=∠ABD.∴.∠C=∠E.∴.AE=AC=10. ∠E=∠E,∠BDE=∠ABE,.△BDEc∽△ABE. 装-器E=装又：BE=6成= 62_18 10-5 7.(1)E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”.理由： ∠DEC=45,.∠AED+∠BEC=135°.：∠A= 45,∴.∠ADE+∠AED=135°.∴.∠ADE=∠BEC.又 :∠A=∠B,∴.△ADEP△BEC.∴.E是四边形ABCD 的边AB上的“相似点”.(2)由题意可知，DM=EM, EC=CD=AB=23,∠A=∠B=∠MEC=90°.在 Rt△BEC中，由勾股定理，得BE=√CE一BC= √(23)2-32=√5，则AE=AB-BE=√3.∠A= ∠MEC=90°，∴.∠AEM+∠AME=90°，∠AEM+ ∠BEC=90°.∴.∠AME=∠BEC.又：'∠A=∠B, ∴、△AEM△BCE..=B,即后=3.∴.AM= BE BC 1.在Rt△AEM中，由勾股定理，得EM=√AE+AM= 隔+=2：焉=品=小德-品即 瓷又：∠A=∠CRM△MBM△nM.又 △AEMn△BCE,∴.△AEM∽△BCE∽△ECM.∴.E 是四边形ABCM的边AB上的“强相似点”. 22.4相似三角形的性质 1.B.△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别为△ABC 和△A'B'C的角平分线，且AD:A'D'=5:3,.BC: B'C=5:3,△ABC的周长：△A'BC的周长=5：3， △ABC的面积：△A'B'C的面积=25：9.：△ABC与 △A'B'C的高分别为BE和B'E,∴.BE:B'E=BC: B'℃'=5：3.故①③④正确，即正确的有3个. 2.4:25或9：25如图，①当AE:ED=2:3时，四 边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC. .AE:BC=2:5,△AEFn△CBF.∴.S△Asr:S△cw= 36