22.3 第3课时相似三角形的判定定理2-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 第3课时相似三角形的判定定理2 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2026合肥庐阳期末]如图，根据图中给出的数据，一定能得到 () A.△AED∽△CEDB.△ABE∽△ACBC.△ABC∽△EDCD.△AED∽△CBA B 6 D A7 D5 C B E (第1题) (第3题) 2.考回探宽题在三角形纸片ABC中，AB=6cm,AC=4cm,BC=8cm,下列沿虚线剪下的涂 色部分的三角形与△ABC相似的是 ( A D 4 cm D D2 cmC ( B 4cm D B A B D 3.易错题[2026合肥庐阳段考]如图，在△ABC中，AB=9,BC=7,点D在边AB上，且BD=2, 点E在边BC上，当BE 时，以B,D,E为顶点的三角形与△ABC相似. 4.[2026铜陵枞阳期未]如图，在四边形ABCD中，ABCD,对角线AC,BD交于点E,点F在边 AB上，连接CF交线段BE于点G,GC=GE·GD (1)求证：∠ACF=∠ABD, (2)连接EF,求证：EF·CG=EG·CB (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能◆ 5.[2025池州段考]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2,D为AC上 一点，F为AB的中点，连接BD,点E在BD上，且满足CD2=DE·BD,连接EF, CE,则EF长的最小值为 ( A.W3-1 B.2-1 C.1.5 D.2 (第5题) 52 第22章相似形 6.[2024烟台中考]如图，在正方形ABCD中，E,F分别为对角线BD,AC的三等分点，连接AE 并延长，交CD于点G,连接EF,FG.若∠AGF=a,则∠FAG等于 () A.45°a B.90°a C.45+a 2 2 2 n. (第6题) (第7题) 7.分类讨论思想如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点P在BD上移动，当以P, C,D为顶点的三角形与△ABP相似时，PB的长为 8.★[2025六安霍邱期中]如图，在△ABC与△ADE中，BC=BA,DE=DA,D是BC边上一点， ∠EDC=∠BAD,AC与DE交于点O,F,G分别是DE,BC边的中点，连接AF,AG.求证： (1)AF·AC=AG·AE. (2)2DF·OE=OA·CE. D G (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P,连接 PC,过点A作AQ∥PC,交PD于点Q. (1)求证：PC=2AQ. (2)已知AD2=PD·DE,AB=10,AD=12,求BF的长. (3③)当F为C的中点时，求景的值 B (第9题) ●“答案与解析”见D32 53cc-+-5罗-是Pm-g 如图②，过点P作PD⊥BC于点D,则∠PDB=∠C= 90.:∠PBD=∠ABC,.△PBD△ABC.P AC 常即？-5号，PD=长如图@过点P作PD1 AB,交AC于点D,则∠APD=∠ACB=90°.又 :∠DAP=∠BAC:△MDPn△AC0-C, 即9=是m=是综上所述，D的长为号或号 ① ② B ③ (第7题) 8.(1)BD是角平分线，∴.∠ABD=∠CBD.:DE⊥ BD,∴.∠BDE=90°.：∠C=90°，∠ADB=∠CBD+ ∠C,∠AED=∠ABD+∠BDE,∴.∠ADB=∠AED.又 :∠A=∠A,△ABDn△ADE.·AP=AB AE=AD· .AD=AE·AB.(2)AD=AE·AB,AE=6, AD=62,AB=AD-6,2)2=12.:.BE=AB- AE 6 AE=12-6=&y△MBD△DE8-2 =2.BD=DE.:易得DE+BD=BE 62 36,∴.DE2+(√2DE)2=36,解得DE=2√3或DE= -23(舍去).∴DE的长是23. 9.(1):BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD.:BD= CD,∴.∠C=∠CBD..∠ABD=∠C.又：∠A=∠A, △ABDAACB.0-怨：AB-4,AC-6 :P-号解得AD=号1CD=AC-AD=6-号 4 1 3 .(2)①由(1)知，∠ABD=∠C.”∠AEF= D ∠ABC,∠AEF+∠CEF=∠AEC=∠ABC+∠BAG, ∴.∠CEF=∠BAG..△ABGC∽△ECF ②：△A0n△CF,授==：=2r. :C=号AB=2.由已知及1)可知，BD=CD-9 3 △MBDn△McR.·器-0C=ACD AB 6×9 4 =5..BE=BC-EC=5-2=3.如图，过点D作 DM∥BC交AE于点M,则△ADMc∽△ACE,△BEG △8.器-C%-既由知，AD=号 3 8 ·DM=AD,CE_3X2 8.BG_BE=3_22 AC 6=9·D0%=8=8 9 4 M C (第9题)》 第3课时相以三角形的判定定理2 1.C BE=4,EC=6,DC=5,AD=7,..AC=AD+ DC=12,BC=BE+BC=10.瓷-9-2瓷-号 6 2.:∠AB=∠AD.△An△BC 2A对于A:-是瓷青- AC C,又：∠C=∠C,沿虚线剪下的涂色部分的三角形 与△ABC相似故A符合题意，对于B,:AD-?=1 AB-6=2' 是-9一是，2+日“沿虚线剪下的涂色部分的三角 形与△ABC不相似.故B不符合题意.对于C,:BD= AB 专-号瓷音-是号是部虚战前下的涂色部 分的三角形与△ABC不相似，故C不符合题意.对于D, :设名=日福=8-专，专+日小沿虚线的下 的涂色部分的三角形与△ABC不相似.故D不符合题意. a或 :∠B=∠B,.要使B,D,E为顶点的三角 32 形与△AC相似，则需满足需隄我受-需号 BE 、2BE 1418 号或号-号，解得E-9或 易错警示 忽略相似三角形边的对应关系而导致错误 易因考虑问题不全面，漏掉AB与BE对应的情况， 导致漏解 4cx=GE.GD器0又：∠Cn ∠EGC,∴.△GCD△GEC.,∴.∠GDC=∠GCE. :ABCD,.∠ABD=∠BDC.∴.∠ACF=∠ABD (2):'∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,∴.△BGF △coEe-%-又：∠rcE=∠c △PGBARC.畏需FE,G-G,R 5ACD=DE·BD0-又r∠E= ∠CDB,∴.△CDEn△BDC.∴.∠DEC=∠DCB=90°. ∴.∠BEC=180°-∠DEC=90°.如图，取BC的中点Q,连 接FQ,EQ.:BC=2EQ-2BC=1.又：F为AB 的中点，PQ是△MBC的中位线.：FQ=号AC. ·∠ACB=90°，∠A=30°，.AB=2BC=4..易得 AC=25.∴.FQ=√3.易知当E,F,Q三点共线时，EE 的长最小，最小值为√3一1. 0 (第5题) 6.B设AC与BD的交点为O.:在正方形ABCD中， E,F分别为对角线BD,AC的三等分点，∴.OD=OC, ∠ODC=∠OCD=45°，DE=CF,AB∥CD,AB=CD. 0E-0R.:∠0F-∠c,8器8△RF △DOC.∴.∠OFE=∠OCD=45°.：'E,F分别为对角线 DAC的三等分点，能=子：AB∥Cm :ABADE.器距G-2BA D 2CD=CG.·△DEG≌△CFG(SAS).GE=GR, ∠GEr=2(180-∠AGF)=90-2a.·∠FAG= ∠6r-∠AFPE=80-24-45=45-7a=02 2 7.8.4或2或12设DP=x,则BP=BD-DP=14-x. AB⊥BD,CD⊥BD,.∠B=∠D=90,当A5-BB CDDP 时，△ABPO△CDP.·-14,解得x-8 51 &BD-14-S-&4:当号积时，△ABPn△PnC 9-14.整理，得2-1h+24=0.解得x1=2 x x2=12..BP=14-2=12或BP=14-12=2.∴.当以 P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时，PB的长为8.4 或2或12. 8.(1):'∠EDC+∠ADE=∠B+∠BAD,∠EDC= ∠BAD,∴.∠ADE=∠B.BC=BA,DE=DA, 8△AEn△A沿F,G 分别是DE,BC边的中点，.DF=号DE,BG=专BC -E=0:∠AF=∠B △ADU△A.0-86AF:AG=AG: AC.∴.AF·AC=AG·AE.(2)△ADE∽△ABC, ∴.∠DAE=∠BAC.∴.∠EAO=∠BAD.∴.∠EAO= ∠CDE.:∠AOE=∠DOC,∴.△AOE∽△DOC. ∴.AO:OE=DO:OC.:∠AOD=∠COE, ∴.△AOD∽△EOC..AD:EC=OA:OE..AD· OE=OA·CE.F是DE的中点，∴.AD=DE=2DF. .2DF·OE=OA·CE. 方法归纳 用边角关系判定两个三角形相似的方法 先找出两个三角形中相等的那对角，再分别找出两 个三角形中夹这个角的两条边，并且按大小排列找出对 应边，最后看这两组对应边是否成比例.若成比例，则这 两个三角形相似：否则不相似」 9.(1)AQPC,.∠AQE=∠CPD.四边形ABCD 是矩形，.AB∥CD,AB=CD..∠AEQ=∠CDP. △AmA(DP.:怒器：E是AB的中点， 33 AE=2AB=CD架5=号PC=2AQ, 2):AD=PD·DE架-器又：∠ADn ∠EDA,.△ADPO△EDA.∴.∠DAP=∠DEA.:四 边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC.∴.∠DAP=∠AFB. ∴.∠DEA=∠AFB.又'在矩形ABCD中，∠DAE= ∠ABF=0△DAEn△AB,0:AB= 10AD=12AE=号AB=5是=房解得F-号 (3)延长DE交CB的延长线于点G.:'E是AB的中点， ∴.AE=BE.AD∥BC,∴.∠ADE=∠BGE.又 ∠AED=∠BEG,.△ADE≌△BGE..AD=BG :四边形ABCD是矩形，，AD=BC.∴.GC=BG十 BC=2AD.F为BC的中点，∴BC=2BF.∴.AD= 2BP,BG=2BE,六GF=BG+BF=3BE.·A0自 AP 2-.AD//GC,.△APDn△FPG, AD2 GF3· 第4课时相似三角形的判定定理3 1.A由勾股定理可知，第一个三角形的边长分别为2， 2,10:第二个三角形的边长分别为5,22，√/17：第三 个三角形的边长分别为2,2√2,25；第四个三角形的边长 分别为后3.2后.：是-29-25-尼0和8对 √22√10 应边成比例.∴.①③中的三角形相似。 方法归纳 在网格中判断两个三角形是否相似的方法 根据网格特点，利用勾股定理求出三角形各边的长 度，再分析两个三角形的三边是否对应成比例，若三边 对应成比例，则两个三角形相似；否则不相似 2.B∠APD=90°，且∠PAB≠∠PCA,∠PBA≠ ∠PAC,.无法判定△PAB与△PCA相似，故选项A错 误；同理，无法判定△PAB与△PDA,△ABC与△DCA 相似，故选项C,D错误；，∠APD=90°，AP=PB=BC CD,∴.易得AB=√2PA,AC=5PA,AD=√10PA, D-A篇0-号品m-号% 号品-置-益 3.36.三角形三边的长度之比为4：5：7，∴.与之相 似的三角形的三边长度之比也为4：5：7.设最短边长为 4xcm,则另两边长分别为5xcm,7xcm..最短边长为 12cm,∴.4x=12,解得x=3.∴.另两边的长度之和=5× 3+7×3=36(cm). 4.(1)相似.理由：易得AB=2,BC=2√2，AC=25, DE=区，F=2,m=而0紧-茶=E ∴.△ABCc△DEF.(2)如图，△D'E'F'即为所求作 Swm=合×52xE=5 D (第4题) 方法归纳 利用三边成比例判定两个三角形相似的方法 先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排 列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大三 组对应边的比：最后看三个比是否相等.若相等，则两个 三角形相似：否则不相似」 5.D(1)以30cm长的一根为边，①当30cm长的边与 △ABC中的20cm长的边对应时，根据相似三角形的判定 定理3，可求得另两边长是75cm和90cm,它们的和大于 60cm,舍去；②当30cm长的边与△ABC中的50cm长的 边对应时，根据相似三角形的判定定理3，可求得另两边长 是12cm和36cm,它们的和小于60cm,符合条件：③当 30cm长的边与△ABC中的60cm长的边对应时，根据相 似三角形的判定定理3，可求得另两边长是10cm和 25cm,它们的和小于60cm,符合条件.(2)以60cm长的 一根为边，不论与哪条边对应都不满足条件」 6.B不妨设各个小正方形的边长都为1.如图，若“马”下 一步落在②处，则“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角 形的三边长为1，√5,22.“帅”“相”“兵”所在位置的格点 脚成的三角形的边为2,25,4，÷2-行-D 两个三角形的三边对应成比例，即两个三角形相似. 马 兵 )(炮 (第6题) 34