22.3 第4课时相似三角形的判定定理3-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

AE=2AB=CD架5=号PC=2AQ, 2):AD=PD·DE架-器又：∠ADn ∠EDA,.△ADPO△EDA.∴.∠DAP=∠DEA.:四 边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC.∴.∠DAP=∠AFB. ∴.∠DEA=∠AFB.又'在矩形ABCD中，∠DAE= ∠ABF=0△DAEn△AB,0:AB= 10AD=12AE=号AB=5是=房解得F-号 (3)延长DE交CB的延长线于点G.:'E是AB的中点， ∴.AE=BE.AD∥BC,∴.∠ADE=∠BGE.又 ∠AED=∠BEG,.△ADE≌△BGE..AD=BG :四边形ABCD是矩形，，AD=BC.∴.GC=BG十 BC=2AD.F为BC的中点，∴BC=2BF.∴.AD= 2BP,BG=2BE,六GF=BG+BF=3BE.·A0自 AP 2-.AD//GC,.△APDn△FPG, AD2 GF3· 第4课时相似三角形的判定定理3 1.A由勾股定理可知，第一个三角形的边长分别为2， 2,10:第二个三角形的边长分别为5,22，√/17：第三 个三角形的边长分别为2,2√2,25；第四个三角形的边长 分别为后3.2后.：是-29-25-尼0和8对 √22√10 应边成比例.∴.①③中的三角形相似。 方法归纳 在网格中判断两个三角形是否相似的方法 根据网格特点，利用勾股定理求出三角形各边的长 度，再分析两个三角形的三边是否对应成比例，若三边 对应成比例，则两个三角形相似；否则不相似 2.B∠APD=90°，且∠PAB≠∠PCA,∠PBA≠ ∠PAC,.无法判定△PAB与△PCA相似，故选项A错 误；同理，无法判定△PAB与△PDA,△ABC与△DCA 相似，故选项C,D错误；，∠APD=90°，AP=PB=BC CD,∴.易得AB=√2PA,AC=5PA,AD=√10PA, D-A篇0-号品m-号% 号品-置-益 3.36.三角形三边的长度之比为4：5：7，∴.与之相 似的三角形的三边长度之比也为4：5：7.设最短边长为 4xcm,则另两边长分别为5xcm,7xcm..最短边长为 12cm,∴.4x=12,解得x=3.∴.另两边的长度之和=5× 3+7×3=36(cm). 4.(1)相似.理由：易得AB=2,BC=2√2，AC=25, DE=区，F=2,m=而0紧-茶=E ∴.△ABCc△DEF.(2)如图，△D'E'F'即为所求作 Swm=合×52xE=5 D (第4题) 方法归纳 利用三边成比例判定两个三角形相似的方法 先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排 列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大三 组对应边的比：最后看三个比是否相等.若相等，则两个 三角形相似：否则不相似」 5.D(1)以30cm长的一根为边，①当30cm长的边与 △ABC中的20cm长的边对应时，根据相似三角形的判定 定理3，可求得另两边长是75cm和90cm,它们的和大于 60cm,舍去；②当30cm长的边与△ABC中的50cm长的 边对应时，根据相似三角形的判定定理3，可求得另两边长 是12cm和36cm,它们的和小于60cm,符合条件：③当 30cm长的边与△ABC中的60cm长的边对应时，根据相 似三角形的判定定理3，可求得另两边长是10cm和 25cm,它们的和小于60cm,符合条件.(2)以60cm长的 一根为边，不论与哪条边对应都不满足条件」 6.B不妨设各个小正方形的边长都为1.如图，若“马”下 一步落在②处，则“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角 形的三边长为1，√5,22.“帅”“相”“兵”所在位置的格点 脚成的三角形的边为2,25,4，÷2-行-D 两个三角形的三边对应成比例，即两个三角形相似. 马 兵 )(炮 (第6题) 34 7.6由题意，得AC=2√2，AB=4√2，BC=√22+6= 2√⑥.如图，连接P2P,P2P1,PP,AP4,CP AP,-A-2,PP-而C0 P-2△ACB△AP,P.同理，可得△PP,P, BC △CP,Ps,△ACP,△AP2P1,△AP,P和△ACB相似， ∴.符合题意的三角形共6个. P P 、P B (第7题) 8.(1)在△AOB中，D,E分别是OA,OB的中点， DE是△AOB的中位线..DE=?AB.同理，可得 Em=c,DF=Ac.R需-既-R= ∴.△DEF∽△ABC.(2)画图如图①所示.如果点O在 AB上，(1)中的结论仍成立.：在△AOC中，D,F分别是 OA,OC的中点，.DF是△AOC的中位线..DF= 2AC.同理，可得EF=号BC.又：D,E分别是OA,OB 的中点易得阳=立A品小需-震一器=台 ∴.△DEFP△ABC.(3)画图如图②所示.如果点O在 △ABC外，(1)中的结论仍成立.在△AOC中，D,F分 别是OA,OC的中点，∴.DF是△AOC的中位线.∴.DF= 号AC.同理，可得F=号C,DE=专A服六R需 畏R装-子△DEFO△ABC ① ② (第8题) D 复15,18或智号或8,10设另一个二角形框架的另外 两边长分别为xy(x<y).:对应关系不确定，∴.应分类 讨论.当另一个三角形框架长为12的边的对应边的长为4 时，则号-专一言解得=15y=18:当另个三角形雅 架长为12的边的对应边的长为5时，则号-千=音，解得 =智y-号：当另一个三角形栏架长为12的边的对应 边的长为6时则号-普一首解得1=8，y=10小另 个三角形框架的另外两边长分别为15,18或g,号或 8,10. 易错警示 忽略三角形相似的对应关系而导致错误 两个三角形相似，由于对应关系的不同，其三边满 足的比例式也不同，当题中没有说明对应关系时，应分 类讨论确定边长。 第5课时直角三角形相似的判定 1.C对于A,在Rt△BCD和Rt△BAC中，由BC2= BD·AB,可得货-.R△BDR△BAC放A 正确.对于B,在Rt△ACD和Rt△ABC中，由AC2= AD·AB.可得%-是R△ACDR△ABC,故B 正确对于C,在△CD和△BAC中，备-架.但 ∠B≠∠A,,'.不能得出Rt△BCDc∽Rt△BAC.故C不正 确对于D,在R△ACD和R△CBD中，需-品， ∴.Rt△ACD∽Rt△CBD.故D正确， 26或g:在R△ABC中，∠ACB=90,AC=9, BC=12,∴.易得AB=15.D是AB边的中点，.CD= BD=号AB=7.5:以D.C,P为顶点的三角形与 △ABC相似，∴.∠DPC=90°或∠CDP=90°.①若 ∠DC=0,则Dn/aC.需-股=令Bn 号C=6,则PC=6@若∠CDn=8,当爱-后时. △CDP△CA号得.：PC-要综上所述，线 35拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 第4课时相似三角形的判定定理3 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.★教材变式题[2025合肥段考]如图，在4×4的正方形网格中，三角形的顶点都在格点上，下列是 相似三角形的为 () A.①和③ B.②和③ C.②和④ D.①和④ ① ⑨ ③ ⑧ (第1题) (第2题) 2.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD,则下列结论成立的是 A.△PAB△PCA B.△ABC∽△DBA C.△PAB∽△PDA D.△ABC∽△DCA 3.方程思想三角形三边的长度之比为4：5：7，与它相似的三角形的最短边长为12cm,则另两边 的长度之和为 cm. 4.*如图①，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF都是格点三角形（三角形的 各顶点都在小正方形的顶点上). (1)△ABC与△DEF是否相似？请说明理由， (2)在如图②所示的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，画出与△DEF相似且面积最 大的格点三角形，并直接写出其面积. (① ② (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.分类讨论思想已知△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为30cm和 60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截 成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：c)分别为 () A.10,25 B.10,36或12,36 C.12,36 D.10,25或12,36 54 第22章相似形 6.境传统文化象棋是中国传统棋种，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规 则简明易懂.在如图所示的象棋棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，若 要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形 相似，则“马”下一步应落在 () A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 马 兵 2 3】 相 ④炮 帅 R (第6题) (第7题) 7.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点P1,P2,P3,P4,P5,A, C是△ABC边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的 三角形与△ABC相似，则符合题意的三角形共有 个 8.已知△ABC与点O,连接OA,OB,OC,分别取OA,OB,OC的中点D,E,F,连接DE,EF,FD. (1)如图①，如果点O在△ABC内，求证：△DEFP△ABC. (2)如果点O在AB上，请在图②中按题中的叙述画图，再探讨(1)中的结论是否仍成立. (3)如果点O在△ABC外，请在图③中按题中的叙述画图，再探讨(1)中的结论是否仍成立， C D 0 ① ⑨ (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.易错题要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6，另一个 三角形框架的一边长为12，则另外两边长分别为 “答案与解析”见D34 55