22.3 第2课时相似三角形的判定定理1-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 第2课时相似三角形的判定定理1 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025合肥蜀山期中]如图，在△ABC中，DE∥AB,∠1=∠3，则图中相似三角形共有() A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 B (第1题) (第2题) 2.如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE=60°，CD=6, BE=4,则BC的长为 () A.12 B.14 C.16 D.18 3.易错题在△ABC中，AB=6cm,点P在AB上，且∠ACP=∠B,若P是AB的三等分点，则 AC的长是 4.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠ACB=90°.求证： (1)AC2=AD·AB. (2)CD2=AD·BD: D (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.[2024德州中考]如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D,AE平分∠BAC,分 别交BD,BC于点F,E.若AB:BC=3:4,则BF:FD等于 () A.5:3 B.5:4 C.4:3 D.2:1 (第5题) (第6题) 6.有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE按如图所示的方式摆放，其中点G恰在边CD的四 等分点处(CG<DG),连接BD交EG于点H,则DH:BH等于 () A.2:3 B.√2：2 C.2√2：√17 D.15:17 50 第22章相似形 7.分类讨论思想如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,P是斜边AB上 的一点，且AP=2.过点P作一条直线，与Rt△ABC的另一边的交，点为D,并 且截得的三角形与Rt△ABC相似，则PD的长为 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，DE⊥BD交AB于点E. (第7题) (1)求证：AD2=AE·AB. (2)若AE=6,AD=62,求DE的长. (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC,BD=CD,AB=4,AC=6. (1)求CD的长. (2)如图②，在(1)的条件下，E为BC上的点，作∠AEF=∠ABC,交AC于点F,AE,BD相交 于点G. ①求证：△ABG∽△ECF. ②若比=xCrg的值 1 (第9题) “答案与解析”见D30 51FA=号AD=3.5里，EA=号AB=4.5里. 4.5 3.5,即FH=1.05里 15 个北 M G D (第2题) &I:AC/EF,△BEF△C.积- :EFBD△MFRn△ABD,需需 、EF 佛既+能=1“衣+而床 1 1 (2)当AC=3, F=2时，由0.可如时+动-之BD=6 方法归纳 利用成比例线段求线段长的方法 对于被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，当所 求的线段或已知线段在平行的边上时，通常考虑证三角 形相似，再利用相似三角形的对应边的比相等构建包含 已知与未知线段的比例式求线段的长；当所求的线段或 已知线段不在平行的边上时，考虑直接用平行线分线段 成比例定理求线段的长. 4.A如图，延长AD交BG的延长线于点H.,四边形 ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,AH∥BC △MHP△B.-=8AH=3BE :E是BC的中点，∴.BC=2BE.∴.DH=AH-AD= AH-BC=3BE-2BE=BE.AH∥BC,.△DGH∽ △cGB.:光DH-BE= CB 2BE 2 G E C (第4题) 5.(1)1.BD=2CD=4,∴.CD=2.AE⊥BD ∠BFE=90°，又：∠BDC=90,.AECD..FD .:E是BC的中点，.BE=EC.BF=FD= EC 2BD=2,即F是BD的中点.EF是△DBC的中位 线EF-2CD=1.(2)51:∠BAC 2 ∠BDC=90°，.∠ABG+∠AGB=90°，∠DCG+ ∠DGC=90°..∠AGB=∠DGC,.∴.∠ABF=∠DCG. 由(1)，得F是BD的中点，.BD=2BF.BD=2CD, .BF=CD=2.又∠AFB=∠GDC=90°， ∴.△ABF2△GCD.∴.AF=DG.设AF=DG=a,则 FG=2-a,:AE/CD,.△AGF∽△CGD.C= 部即2。-号，解得a=5-1(负值舍去，AP= 5-1“%器 6.(1),四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边 形，.BC=AD=CE,AC∥DE,AC=DE..R为DE的 中点，∴.DE=2RE.PC∥RE,∴.△BCP△BER. PC BC 1 RE-BE=2,即RE=2PC.·AC=DE=2RE 4PC.(2)AC∥DE,.△PBC△RBE.∴. PB RB :BD-=PR:AC/DE,△00△RDQ 8-焉-是-2oR=0B即：Q QR=31:2 7.(1).DE∥BC,∴.∠ADE=∠B,∠A'DE=∠DMB. 由翻折可知，∠ADE=∠A'DE,.∠B=∠DMB. DB=DM.(2)由翻折可知，A'D=AD.:AD DB=2, DB-M0-2:兴-合DE∥C △aAnE深-0-合：nE=6 ·MN=2DE=3.(3)由翻折可知，A'D=AD. :品-，DB-DM,架-当n>1时，器 是.：DE∥Bc△AMN△MDE. A-"号.：DE=a,MN="DE=a只同 n 理，当0<1时此时深-器是：N一受 a.综上所述，线段MN的长为a一升(n>1)或号-a(0< n<1). 第2课时相以三角形的判定定理1 1.B.·DE∥AB,∴.△DECc∽△ABC,∠AED= 30 ∠BAE,∠CED=∠3.：∠1=∠3，∴.∠CED=∠1 :∠1=∠3，∠AED=∠BAE,∴.△AED△BAE. ∠CED=∠1，∠C=∠C,.△DECn△EAC ∠1=∠3，∠C=∠C,∴.△EACc∽△ABC.∴.图中相 似三角形共有4对. 2.D由题意可得，∠C=∠B=60°.∠ADE=60°， .∠ADC+∠BDE=120°.∠B=60°，∴.∠BDE十 ∠DEB=120°..∠ADC=∠DEB.又∠C=∠B, △AC△DEB是-品：△ABC是等边三角 形AC=叉CD=6BE=4兰-X解 得BC=18. 3.23m或2N6cm:∠ACP=∠B,∠A=∠A, △MCP△A答C,即AC-AP,AB.分 两种情况：①当AP= 号AB=2m时，AC= VAP·B=V2X=25(m.②当P=号AB= 4cm时，AC=√AP·AB=√4X6=2√6(cm).故AC的 长是2√3cm或2√6cm. 易错警示 忽略三等分点的两种情况而导致错误 在没有特殊说明的情况下，若某一点是一条线段的 一个三等分点，则该点在线段上的位置有两种可能，应 通过分类讨论确定，不能从一而论， 4. 思路导引 (1) ∠A=LA ∠ACB=∠ADC △ACB∽△ADC 骆肥 AC=AD·AB (2) ∠A=∠BCD ∠ADC=∠CDB △ADC∽△CDB "品 CD=AD·BD (1)CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，，.∠ADC= ∠BDC=90°.：∠A=∠A,∠ACB=∠ADC=90°， △ACBO△ACS-'.即AC=AD·AB (2)∠ADC=∠ACB=90°，∴.∠A+∠ACD= ∠BCD+∠ACD,即∠A=∠BCD.又∠ADC= ∠CD△ACoA(nR吕-器即D AD·BD. 5.A AB BC=3 4,..AB=3x,BC =4x. ∠ABC=90°，.AC=√AB2+BC=5x.BD⊥ AC,∴.∠ADB=∠ABC=90°.又：∠BAD=∠CAB, △ABDn△ACB.装-0：-0AD= x.:AE平分∠BAC,·∠BAF-∠DAE. 9 ∴.∠AEB=∠AFD.:∠AFD=∠BFE,∴.∠BEF= ∠BFE.∴.BE=BF.:'∠ABE=∠ADF=90°，∠BAE= 、BF= ∠DAr△ABEn△Ar,8膘=8 AB=3L=5,即BF:FD=5:3. 3 52 6.D连接BG,设GC=x.:'点G恰在边CD的四等分 点处，∴DG=3x,DC=4x.四边形ABCD是正方形， .∠BDG=45°，∠C=90°，BC=DC=4x.∴.在 Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=√CD+BC= 4√2x.在Rt△BGC中，由勾股定理，得BG= √CG2+BC=√7x.:四边形BFGE是正方形， ∴.∠BGH=45..∠BGH=∠BDG.又：∠GBH= ∠D△H△BDG.-品0 √/17x 7I,解得BH=17EL..DH=BD一BH=4W2- 42x 81 15W2x 172x=152x..Dl=8= 8 8··B=,25,=17,即DH:BH= 8 15：17. 7号或 3 5或？分三种情况考虑：如图①，过点P作 PD⊥AC于点D,则∠ADP=∠C=90°.又.'∠DAP= ∠CB△MDPAACB..畏-裙又：AB 31 cc-+-5罗-是Pm-g 如图②，过点P作PD⊥BC于点D,则∠PDB=∠C= 90.:∠PBD=∠ABC,.△PBD△ABC.P AC 常即？-5号，PD=长如图@过点P作PD1 AB,交AC于点D,则∠APD=∠ACB=90°.又 :∠DAP=∠BAC:△MDPn△AC0-C, 即9=是m=是综上所述，D的长为号或号 ① ② B ③ (第7题) 8.(1)BD是角平分线，∴.∠ABD=∠CBD.:DE⊥ BD,∴.∠BDE=90°.：∠C=90°，∠ADB=∠CBD+ ∠C,∠AED=∠ABD+∠BDE,∴.∠ADB=∠AED.又 :∠A=∠A,△ABDn△ADE.·AP=AB AE=AD· .AD=AE·AB.(2)AD=AE·AB,AE=6, AD=62,AB=AD-6,2)2=12.:.BE=AB- AE 6 AE=12-6=&y△MBD△DE8-2 =2.BD=DE.:易得DE+BD=BE 62 36,∴.DE2+(√2DE)2=36,解得DE=2√3或DE= -23(舍去).∴DE的长是23. 9.(1):BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD.:BD= CD,∴.∠C=∠CBD..∠ABD=∠C.又：∠A=∠A, △ABDAACB.0-怨：AB-4,AC-6 :P-号解得AD=号1CD=AC-AD=6-号 4 1 3 .(2)①由(1)知，∠ABD=∠C.”∠AEF= D ∠ABC,∠AEF+∠CEF=∠AEC=∠ABC+∠BAG, ∴.∠CEF=∠BAG..△ABGC∽△ECF ②：△A0n△CF,授==：=2r. :C=号AB=2.由已知及1)可知，BD=CD-9 3 △MBDn△McR.·器-0C=ACD AB 6×9 4 =5..BE=BC-EC=5-2=3.如图，过点D作 DM∥BC交AE于点M,则△ADMc∽△ACE,△BEG △8.器-C%-既由知，AD=号 3 8 ·DM=AD,CE_3X2 8.BG_BE=3_22 AC 6=9·D0%=8=8 9 4 M C (第9题)》 第3课时相以三角形的判定定理2 1.C BE=4,EC=6,DC=5,AD=7,..AC=AD+ DC=12,BC=BE+BC=10.瓷-9-2瓷-号 6 2.:∠AB=∠AD.△An△BC 2A对于A:-是瓷青- AC C,又：∠C=∠C,沿虚线剪下的涂色部分的三角形 与△ABC相似故A符合题意，对于B,:AD-?=1 AB-6=2' 是-9一是，2+日“沿虚线剪下的涂色部分的三角 形与△ABC不相似.故B不符合题意.对于C,:BD= AB 专-号瓷音-是号是部虚战前下的涂色部 分的三角形与△ABC不相似，故C不符合题意.对于D, :设名=日福=8-专，专+日小沿虚线的下 的涂色部分的三角形与△ABC不相似.故D不符合题意. a或 :∠B=∠B,.要使B,D,E为顶点的三角 32