3.3 相似三角形判定定理的证明 查漏补缺 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.3 相似三角形判定定理的证明 查漏补缺2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 3．如图，五线谱中的五条直线相互平行且等距，直线与直线分别交于点．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．如图所示， ，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D． 5．如图，在中，点是边上的一点，以点为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长度为半径画弧，交于点，连接并延长交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中， 平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、为圆心， 以大于 的长为半径作弧， 两弧交于点、 ；第二步，过 、 两点作直线，分别交、 于点 、；第三步， 连接、 ．若， ， ，则的长是（    ）           A．12 B．11 C．13 D．10 7．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．如图，已知直线，，，，那么_______． 9．在中，点D、E分别在边、上，，，如果，那么的长为_____ 10．如图，是一块直角三角形木板，BC＝1.5米，AC＝2米，要在这个三角形内部裁剪出一个正方形，且正方形各顶点都在三角形的边上，则这个正方形最大面积是____． 11．如图，在中，是的中点，的角平分线交于点，交于点，若，，则的周长为_____．    三、解答题 12．在的正方形网格中，四边形的顶点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图． (1)在图1中作的平分线； (2)在图2中，连接交于点O，在上确定点M，使． 13．如图在中，点是边上的一点，连结，过点作平行于，交边于点，过点作平行于，交于点，已知：，，求： (1)的值． (2)的值． 14．已知点，是直线上自左向右的两点，且，点是的中点，点是直线上一点（不与点，重合），直线经过点，直线于点，直线于点，连接，． (1)如图1，当点在点，之间时，求证：； (2)如图2，当点在点的右侧时，若，且，求和的长度． 15．已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）． (1)求的长； (2)擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连结交于点（如图2）． ①若M是的中点，求的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 16．阅读与思考：请认真阅读下面材料，并完成相应任务． 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图1，在Rt中，，是斜边上的中线．求证：． 解题思路1： 如图2，延长到点，使，连接． ∵是斜边上的中线 ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形（依据_____________）． …… 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，小明给出了如下思路． 解题思路2： 如图3，过点作于点垂直平分结论． 任务： (1)解题思路1中“依据”处应填________________； (2)补全解题思路1中剩余的证明过程． (3)请按照小明的解题思路2，写出完整的证明过程． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D C B D A C 1．【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】 解： A. ，，故该选项符合题意； B. ，则，不能判定，故该选项不符合题意； C. ，则，不能判定，故该选项不符合题意； D. ，不能判定，故该选项不符合题意， 故选：A． 2．【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段， ∴， A、根据作图可知，故本选项错误； B、根据作图可知，故本选项错误； C、根据作图可知，故本选项错误； D、根据作图可知，故本选项正确． 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 作交于E，交于D，根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【详解】解：作交于E，交于D， ∵五线谱中的五条直线相互平行且等距， ∴，， ∴， 即， ∴． 故选：C． 4．【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，通过比例关系求线段即可．　 【详解】解： ，， ， ， ， ． 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】由作图得，推出，然后利用平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：由作图得， ∴ ∴ ∴． 6．【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、根据菱形的性质与判定求线段长、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可． 【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 7．【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当 时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确； 当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 8．【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入得出，继而即可得． 【详解】∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应成比例． 9．【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 10．【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据正方形的性质求面积 【分析】作CE平分∠ACB交AB于E，作EG⊥BC于G，EF⊥AC于F，四边形EFCG即为所求，设正方形的边长为xm，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出x即可求解． 【详解】解：作CE平分∠ACB交AB于E，作EG⊥BC于G，EF⊥AC于F， 设正方形的边长为xm， ∵ ， ∴即， ∴， ∴这个正方形最大面积是 （）， 故答案为： ． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，掌握相关知识是解决问题的关键．如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点．   平分，，， ， ， ， ∵是的中点， ∴设，则， ，， ∴ ， ， 设，则， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 12．【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点M即为所求． 【知识点】三线合一、勾股定理与网格问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理： （1）在上取点F，使，连接，取的中点，然后作射线，即可； （2）取的中点H，取格点，使，连接交于点M，即可． 【详解】（1）略 （2）略 13．【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找到图形中的平行线． （1）由可得，代入数值计算即可； （2）由可得，计算出的值，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故； （2）∵， ∴， 即，解得， ∴． 14．【答案】(1) 证明：过点作直线于点， ∵直线，直线，直线， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)， 【知识点】线段垂直平分线的性质、由平行判断成比例的线段、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点作直线于点，利用平行线分线段成比例定理证明即可； （2）过点作于点，分别求出、，可得的长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1） 略 （2）解：如图，过点作于点， ∵直线m，直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．【答案】(1)10 (2)①；②不发生变化，长度为 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、由平行判断成比例的线段、等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题 【分析】（1）设，根据折叠可得，，利用勾股定理，在中，，即，即可解答； （2）①过点A作于点G，根据勾股定理求出的长，由，所以，在中，由，，所以，根据M是的中点，所以H是的中点，根据中位线的性质得到； ②作，交于点Q，求出，，得出，根据，得出，根据，证出，得出，再求出，最后代入即可得出线段的长度不变． 【详解】（1）解：设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即． （2）解：①如图2，过点A作于点G， 由（1）中的结论可得：，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴ ∴H是的中点， ∴． ②当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化； 作，交于点Q，如图3， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化，长度为． 【点睛】此题考查了四边形综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等三角形． 16．【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2) 如图2，延长到点，使，连接． ∵是斜边上的中线 ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ， ∴． (3) 证明：过点作于点， ， ， ， ， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ， ， ， ∴． 【知识点】线段垂直平分线的性质、由平行判断成比例的线段、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定、矩形的性质及判定以及平行线分线段成比例定理： （1）根据平行四边形的判定定理即可； （2）先证明四边形是矩形，根据直角矩形的性质即可； （3）过点作于点，用平行线分线段成比例定理得到，再根据BD是斜边上的中线得到，由于CE=BE，则可证明． 【详解】（1）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形． （2）解：略． （3）略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $