3.2 第2课时利用边角关系判定三角形相似-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第三章图形的相似 第2课时利用边角关系判定三角形相似 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是 () A.∠B=∠ADE B.∠C=∠E C.AB-AC AC BC AD AE D.AE DE ④ 0③ ② D (第1题) (第2题) (第3题) 2.在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,且将该四边形分成如图所示的①②③④四个三角形 若OA·OB=OC·OD,则这四个三角形中一定相似的是 (填序号). 3.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC=√3AB=3DB,则DA:AC的值为 4[2025界首期未]如图，点C,D在线段AB上，△CDP是等边三角形，且AC=2,CD=3,BD= 21 求证：△ACP∽△PDB. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.数形结合思想如图，有△ABC,∠B=60°，AB=6,BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的涂 色三角形与△ABC不相似的有 () 60 人60 60 D (第5题) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，正方形ABCD的边长为6，O是对角线AC,BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE,连 接BE.过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为 () A26 5 B36 5 0 c D66 5 (第6题) 51 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 7.分类讨论思想如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,E为边AD上一点，ED=1cm,连接 BE.点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s;同时，点Q从点C出发，沿CB方向 匀速运动，速度为1cm/s.设运动时间为ts(0<t<5).连接PQ,则当t= 时，以P,Q, B为顶点的三角形与△ABE相似. 一Q (第7题) (第8题) 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7,BC=9,M是△ABC内部一点，连接AM,BM,CM, 若CM=3,则AM+3BM的最小值为 9.[2025成都青羊期末]如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4,E是边BC的中点，连接DE, AE,BD. (1)求DE的长 (2)F为边CD上的一点，连接AF,交DE于点G,连接EF,AF⊥EF. ①求证：△AGDp△EGF;②求DF的长. (第9题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.考探究题在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是边BC上一点（不与点B,C重合），连接AD. (1)如图①，若∠C=60°，点D关于直线AB的对称点为E,连接AE,DE,则∠BDE的度数为 (2)若∠C=60°，将线段AD绕，点A按顺时针方向旋转60°得到线段AE,连接BE,DE. ①在图②中补全图形： ②探究CD与BE之间的数量关系，并证明. ③如图③，若5Pk,日ADE=∠C,试探究BE,BD,AC之间的数量关系，并证明 B D ② ③ (第10题) 52 >“答案与解析”见P30CD.铝=号设AE=2aa>0.则BE=a .AB=CD=5a.:ABCD,∴.易得△AEF∽△CDF. 怨器号- ,S△ADE=5 9.(1):AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠CAB.:∠ADC= ∠ACB=90°，.△ADC∽△ACB.∴.AD:AC=AC: AB..AC2=AB·AD.(2):E为边AB的中点， AB=6:CE=号AB=号X6=&:CE∥AD. .∠ADF=∠CEF,∠DAF=∠ECF.∴.△ADF∽ △r是怎：AD=4器-合船-子 10.(1):∠DPC=∠A=∠B=90°，∴.∠ADP+ ∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°...∠ADP ∠BPC△ADPABPC.0AD·BC AP·BP.(2)结论AD·BC=AP·BP仍然成立.理 由：.∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP, .∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.I'∠DPC=∠A= ∠B=O,.∠BPC=∠ADP..△ADP∽△BPC. 品品AD·C=AP·B即，(3)C 4BC,AD=BD=5,∴.DC=4,BC=1,∠A=∠B.由题 意，得AP=t.,AB=6,∴，BP=6一t.由(1)(2)的经验 可知AD·BC=AP·BP,∴.5×1=t(6一t),解得t1=1, t2=5.∴.t的值为1或5. 第2课时利用边角关系判定三角形相似 1.D:∠1=∠2，∴.∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即 ∠BAC=∠DAE.∴.当添加∠B=∠ADE时，△ABCC∽ △ADE.当添加∠C=∠E时，△ABCp△ADE.当添加 侣-S时，△AC△ADE,当茶加C-伦时，不能 判定△ABCD△ADE. 2@00A·0B=0c·00.82-80 :∠AOD=∠COB,∴.△AOD△COB,即②与④相似. a号X=5A出=DB密常-5：∠B ∠B△MBCO△DaA.折-所=.DA AC=3 3 4.,△CDP是等边三角形，.PC=PD=CD=3, ∠PCD=∠PDC=60°.∴.∠ACP=180°-∠PCD=120°， ∠PDB=180°-∠PDC=120°.∴.∠ACP=∠PDB. 篇号品是号品品△wma 5.A如题图①，：∠C=∠C,∠DEC=∠B=60°， ∴.△DEC∽△ABC.如题图②，，∠C=∠C,∠CDE= ∠B,∴.△CDE△CBA.如题图③，由图形可知，BE= AB-AE=6-2=4,BD=BC-CD=8-5=3,:8= 意0-名日既-0又”∠B=∠B, 4_1BD_3_1 ,∴.△BDE△BAC.如题图④，由已知条件无法证明 △ADE与△ABC相似， 6.D:正方形ABCD的边长为6，.∠BCE=90°， AC⊥BD,OB=OC,BC=CD=6.∴.易得OB=32. ,DE=2CE,易知DE=4,CE=2..在Rt△BCE中， BE=JBC2+CE2=2√JI0..∠BCE=90°，CF⊥BE ∴.∠ECF+∠BCF=90°，∠ECF+∠CEF=90°，∠BFC= ∠BCE=90°.∴.∠BCF=∠CEF,即∠BCF=∠BEC. &△BCFO△BEC.E=C.六BC=BF·BE. AC⊥BD,.∠BOC=90°..∠BOC=∠BCD.又 :∠OBC=∠CBD,·.△BOCn△BCD.BC=BD BO BC BC=BO·BD.BO·BD=BF·BE.BE BO BF.:∠OBF=∠EBD,∴.△OBFO△EBD. OB BD' EB ，点℉0-5 OF 5 由题意，易得AB=CD=3cm,DE=1cm, BC=AD=5cm,AE=4cm,AD∥BC.∴.∠AEB= ∠PBQ..'BP=CQ=tcm,.BQ=(5-t)cm.在 Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=√3+4=5(cm). ①当Q和BE是对应边，即器-职时，△BPQ口 △EAB.5号-子解得1=公②当BQ和AE是对应 5 边，即瓷第时，△BPQO△EBA.号-台解得 1=日综上所i述，当智或号时，以P.Q,B为顶点的三 角形和△ABE相似. 8.5√2如图，在BC上取点G,使CG=1,连接MG,AG :Bc=9.aM=8%-,∠w0c=∠cB. △MGn△BCMe-gw=号 &AM+号BM=AM+MG≥AG.:AG=VAC+OG= √7+卫=52..AM+3BM≥5E,即当点M在AG 上时，AM+子BM的最小值为52。 M CG (第8题) 9.(1),四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,CB=CD. :∠C=60°，.△CDB是等边三角形..DB=DC= AB=4.:E是边BC的中点，.DE⊥BC,BE=EC DC-2.DE-/DXC-CE2. (2)①：ADBC,∴.∠ADG=∠DEC=90°..∠ADG= ∠GFE=90°.又.·∠AGD=∠EGF,.∴.△AGD∽△EGF」 回作EH LCD于点H.:△AGD∽△EGF,·瓷 DG .AC=C.:∠AGE=∠DGF,·△AGE∽ FG DG-FG △DGF.∠EAG=∠GDF=2∠BC=30:∠GFE= ∠ADG=90EF=号AE=号×√+(2F=7. 在R△ECH中，∠C=60°，CE=2,·.CH=2CE=1, EH=/CE2一CH2=3.在Rt△EFH中，FH= √(W7)2-(W3)2=2,∴.CF=2+1=3.∴.DF=CD-CF=1. 10.(1)30°.(2)①补全图形如图①所示.②CD BE.:AB=AC,∠C=60°，∴△ABC是等边三角形. ,∴.∠BAC=60°.，·线段AD绕点A按顺时针方向旋转 60得到线段AE,∴.AD=AE,∠EAD=60°.∴.∠BAC= ∠EAD.∴.∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD,即 ∠DAC=∠EAB.在△DAC和△EAB中， (AC=AB, ∠DAC=∠EAB,.△DAC≌△EAB..CD=BE. AD=AE. (3)AC=k(BD十BE).如图②，连接AE.:AB=AC, 能提-瓷0-S品：∠c ∠ADE..△ACB∽△ADE.·∠CAB=∠DAE,A AE A÷·∠DAE-∠BAD=∠CAB-∠BAD,即∠EAB= ∠DAC.:AB=AC,.AE=AD.在△EAB和△DAC (AB=AC, 中，∠EAB=∠DAC,∴.△EAB≌△DAC.∴.BE=CD. AE-AD. AC AC ·BC=BD+CD=BD+BE.·B=BD十BE=k,即 AC=k(BD+BE). B D C D ② (第10题) 第3课时利用三边关系判定三角形相似 1.C:△ABC的各边长都乘2，根据三边对应成比例， .得到的新三角形与△ABC相似，且相似比为2. 2.D设小矩形的长为2，宽为1，则图①中的三角形的三 边长分别为2,2√2,25，图②中的三角形的三边长分别为 2,√13,5，图③中的三角形的三边长分别为2,25,4√2， 图④中的三角形的三边长分别为√5，√10,5，只有①和④ 的三角形的三边成比例. 3.47°AB=2,BC=3,CD=6,AC=4,DA=8, AB_BC_AC 1 ACCD-AD=2△ABC∽△ACD.∠CAD ∠BAC=47° 4:猎需△n△A∠E ∠ACB.∴.∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE. ÷∠CA=∠R.2:C-需：E-S