22.1 相似多边形&22.2 第1课时成比例线段-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第22章相似形 22.1相似多边形 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.*教材变式题如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中是相似图形的为 () A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙 1.5 1.5 3 2.5 甲 乙 丙 E (第1题) (第2题) 2.如图，一张矩形纸片的宽AB=2cm,长BC=mcm,直线l1⊥AD,且与矩形两边分别交于点E, F,将纸片沿直线1折叠，则边AB落在直线L2上，将纸片沿直线2折叠，则边CD落在直线1 上.若矩形ABEF与矩形BCDA相似，则m的值为 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 3.*在研究相似问题时，甲、乙两名同学的观点如下，甲：将矩形按如图①所示的方式向外扩张，得到新 的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似.乙：将菱形按如图②所示的方式向外扩 张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似.下列判断正确的是() A.甲的观点正确，乙的观点不正确 B.甲的观点不正确，乙的观点正确 C.甲、乙两人的观点都正确 D.甲、乙两人的观点都不正确 ① ② (第3题) (第4题) 4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=a,E,F是对角线BD上的点（点E,F不与点B,D 重合)，连接AE,EC,AF,CF.若四边形ECFA是菱形，且与菱形ABCD是相似形，则菱形 ECFA的边长是 (用含a的代数式表示). ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 5.如图①，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图②，将1张A3纸对 折，可得两张A4纸. (1)A4纸较长边的长与较短边的长的比为 (2)A3纸与A4纸 (填“是”或“不是”)相似图形. ☐- A3 1 (第5题) 42 >“答案与解析”见D25 第22章相似形 22.2 比例线段 第1课时成比例线段 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.已知线段a=2,b=4.1,c=4,d=8.2,则下列结论正确的是 () Ad,b,a,c成比例线段 B.a,d,b,c成比例线段 C.a,c,b,d成比例线段 D.a,d,c,b成比例线段 2.境学科融合小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意 图”（如图），山上有三处观景台A,B,C在同一条直线上，将这三点标在 “等高线示意图”相应的等高线上.若A,B两地的实际直线距离为 00 1000m,则B,C两地的实际直线距离为 m. (第2题) 3.考新定义题已知C是线段AB上的一个点，若点C到线段AB两个端点的距离之比为1： 3,则称C为线段AB的“理想点”.如图，A,B分别是数轴上的两点，点A表示的数是一5，点B 表示的数是15，求线段AB的“理想点”C表示的数. B 15 (第3题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.数形结合思想已知AB=4,点C在线段AB上，AC是AB,BC的比例中项，则AC的长为() A.√5-1 B.25-2 C.3-√5 D.6-23 5.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品的销售价格，即根据商品的最低销售限价α、最高销售限 价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a十x(b一a),这里，x被称为乐观系数. 若最佳乐观系数x恰好使得c一Q是b一c和b一Q的比例中项，则最佳乐观系数x的值为() A5-1 D.1+5 2 B.√5-1 C.√W5+1 2 6.已知1，√3,2三个数，请再添一个数，使它与这三个数成比例，则这个数可以是 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 7.存在一个矩形，矩形的面积与一个已知正方形的面积相等，矩形的周长是已知正方形周长的 2倍，则这个矩形的较长边的长与正方形的边长之比是 ●“答案与解析”见D26 43时.函数有最大值最大值为×(3+1)普=2“2十 (一3)=19，∴.该二次函数的最大值与最小值的和为19. 14.(1)锅口和锅盖贴合面的直径为8dm,∴.A(8,0), O(0,0).易知抛物线C,开口向下，顶点坐标为(4,2)，设其 表达式为y=a(x-4)2+2,代人O(0,0),得0=16a+2, 解得a=-令1抛物线C:y=-日(x-4)+2= 1 8x2+x.易知抛物线C,开口向上，顶点坐标为(4. 一4)，设其表达式为y=b(x-4)2一4，代人O(0,0),得 0=16-4,解得b=子.抛物线C:y=子（x-402- 4=子：2一2，(2)：锅里的水位高度是1dm,锅深为 4dm.4-1=3dm.在y=子2-2x中，令y=-3,则 子x2-2x=-3,解得x,=2,=6.此时水面的宜径 是6-2=4(dm).(3)能.理由：依题意，当底面直径为 86 6dm时，2-2=1(dm.在y=-8x2+x中，令x=1, 得y=名+1司在y=-2x中，令x=1,得y 7 4 }-?=一子：能放进去的圆柱体的最大高度是号 (←-子)-号dm.:号>25，锅盖能正常盖上 15.(1)设这个二次函数的表达式为y=ax2+ba+c,把 a-b+c=0, A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)代人，得16a+4b+c=0,解 c=-4, 第22章 22.1相似多边形 1.B甲：邻边的比为3：2，乙：邻边的比为2.5：1.5= 5:3,丙：邻边的比为1.5：1=3：2，.是相似图形的为甲 和丙. 方法归纳 判定两个矩形相似的方法 矩形对边相等，四个角都是直角，因此只要长与宽 的比相等，则两个矩形相似 2.2W3如图，设直线l2交AD于点M,交BC于点N.由 矩形的性质，可得AD=BC=mcm.由折叠的性质，可得 AF=FM,DM=FM,.AF=FM=DM..AD=m cm, a=1, 得b=一3，.这个二次函数的表达式为y=x2一3x一4. c=-4. (2)存在.如图①，作OC的垂直平分线DP,交OC于点 D,交BC下方的抛物线于点P,连接PO,PC...PO= PC,此时P即为满足条件的点.：C(0,一4)，.D(0, 一2)..点P的纵坐标为一2.将y=一2代人y=x2一 3-4,得x2-3江-4=-2，解得x=3二)厘（不合题意， 2 舍去)或x=3+,亚.：存在满足条件的点P,其坐标为 2 (3+)厘，-2）.3)设Pu,2-3-4)(0<1<4.如 2 图②，过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F.设直 线BC对应的函数表达式为y=kx+,则有 4k+m=0, k=1, 解得 m=-4, 、.直线C对应的函数表达 m=-4. 式为y=x-4.∴.F(t,t-4),则PF=t-4-(t2-3t一 1 4)=-t+4.·S△=2X(4-0)X(-t+4)= 一2(t一2)2+8.∴.当t=2时，S△Pc的值最大，此时t2- 3t一4=一6.∴.点P的坐标为(2，-6). (第15题) 相似形 .AF= 3mcm.:矩形ABEF与矩形BCDA相似， .AF:AB=AB:BC.∴ 1 m:2=2:m..m=23 (负值不符合题意，舍去) B EN C (第2题) 3.B设原矩形的边长为a,b,则新矩形的边长为a十2， b十2.·.原矩形的邻边的比为号，新矩形的邻边的比为 25 专：号十高知形与原矩形不相议放甲的观 点不正确.由题意可知，新菱形的各边与原菱形的对应边 平行，因此新菱形的各角与原菱形的对应角相等.又菱 形的四条边都相等，，易知新菱形与原菱形相似.故乙的 观点正确。 方法归纳 判定两个多边形相似的方法 判定两个边数相同的多边形相似，必须同时具备两 个条件：①对应角分别相等；②对应边成比例.如两个 矩形，虽然各角分别相等，但各边不一定对应成比例，因 此两个矩形不一定相似.两个菱形，虽然各边对应成比 例，但各角不一定分别相等，因此两个菱形不一定相似. 4停。如图，连接AC,交BD于点O.:在菱形ACD 中，∠ABC=60,AB=a,∠AB0=2∠ABC=30, AC1BD,0C=0A.∴0C=0A=2AB=7a.由题意， 可得菱形ABCD与菱形ECFA相似，.∠ECO 2∠ECF-2∠ABC=30.设OE=x,则CE=2x,由勾 股定理，得x+(分a）=4,x=CE=2z ,即支形以FA的边长是受。. 3 (第4题) 5.(1)√2如图，由折叠过程可知，第一次折叠后，点A与 点D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由 勾股定理，可得BC=√2AB.第二次折叠后，第一次的折痕 与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合，∴.较长边 √2AB..A4纸较长边的长与较短边的长的比为√2. (2)是，'A4纸较长边的长与较短边的长的比为2 ∴.设A4纸较短边的长为a,则较长边的长为√2a.由题图 ②可知，A4纸的较长边与A3纸的较短边重合，A4纸的较 短边的长等于A3纸的较长边的长的一半，.A3纸的较长 边的长为2a,较短边的长为√2a.∴.A3纸的较长边的长与 较短边的长的比为=2.A3纸较长边的长与较短 边的长的比=A4纸的较长边的长与较短边的长的比.又 A3纸与A4纸的四个角均为直角，∴.A3纸与A4纸是 相似图形. A-----B (第5题) 22.2比例线段 第1课时成比例线段 1.C根据成比例线段的定义，可得ad=2×8.2=16.4, bc=4.1×4=16.4,.a:c=b:d.∴.a,c,b,d成比例 线段. 2.500根据题图可知，A,B两地的海拔差为400一200= 200(m),B,C两地的海拔差为200一100=100(m).由题 意，得C-28:AB=1000m,.BC500mB,0 两地的实际直线距离为500m. 3.设点C表示的数是x,则CA=x十5，BC=15-x.,点 C到线段AB两个端点的距离之比为1：3，∴.当CA: BC=1:3时，3(x+5)=15-x,解得x=0;当CA:BC= 3:1时，x十5=3(15一x),解得x=10.∴.线段AB的“理 想点”℃表示的数是0或10. 4.B设AC=x,则BC=4-x.:'AC是AB,BC的比例 中项，.AC2=AB·BC,即x2=4(4一x),解得x=一2士 25..AC>0,.AC=25-2. 5.A由题意可知，c一a=x(b一a),b一c=(b一a)一 xh-a).282x6-a=6-a-x6 a.“2十x-1=0,解得x=二15.：0<x<1, 2 ·x=5-1 2 623政2或号 设添加的数是x,则1×x=5×2或 B×x=1X2或2Xx=1X3,解得x=23或.x=，或 -号即这个数可以是25或或号 7.2十3设正方形的边长为a,则正方形的周长为4a,矩 形的周长为8a.设矩形的一条边的长为b,则另一条边的长 -b=4u-b.由题意，得a2=b(4a-b),则62-44 26 a=0.6=4a±-a)=a=(2士5)a.这个 2 矩形的较长边的长为(2十√3)a..这个矩形的较长边的 长与正方形的边长之比是2士B)=2+5. 第2课时比例的性质与黄金分割 1.A·C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC, -S-A=·AB 2B哈会。-0，A-●- ◆=-一安= y-gg-号x+y%y-28-号A●， ◆这三种物体的质量比为2：4：3. 3子解法-：-号7%-6)=38动1a= 10小冬-品“””报只懈洁=： 分-号…山y即g只…培 b b b a-2b =只解法三：“。=号设6=张a b=3谈(k≠0)..a=10k.a+b=10k+7k ”a-2b10k-2×7k 17k--17 一4k 4 4号设=2，y=欢，=4k(k≠0.则2十23x 3xz=2k·3k+2·3k·4k-3·2k·4k=6k2+24k2一 24k2=6k2,x2+y2+22=(2k)2+(3k)2+(4k)2=4k2+ 9k2+16k2=29k,.2y+2y2-3zg=6k2_6 x2+y2+x229k229 5(①：号-3老-号+1=4a=动8-名 atb 影名日(2)设号=台=：则a=仙，6=d a=b三kc kd k a 六6二a6-地—'a二-—ka1=k心6-a ☑产。3)：8行号必+c=ab+adc= 6.DAC2=BC·AB,∴.x2=(1-x)X1,解得x1= 0 =5中（负值舍去，即C为线段AB的黄企 5-1 2 分点，且AC-6号AB-同距，由AD-CD: AC知，D为线段AC的黄金分制点，.AD=5,-AC- 2 (52)=525+1-6-25-35.南A 4 4 DE·AD知，E为线段AD的黄金分割点，∴·AE= 5AD-5-1x35-5-2 2 2 2 二6二之=3二C=k,则a=2k十1，b 3 4 c=3-4k,∴.S=a+2b+3c=2k+1+2(3+2)+3(3- 2k+1≥0， 4k)=一4k+14.a,b,c为非负实数，∴ {3k+2≥0，解 3-4k≥0， 得一号<≤子.：一4<0，S随长的增大而诚小 ·当=一2时，S取得最大值，当=子时，S取得最小 值m=-4X(-)+14=16a=-4X+14=11 ”11 m16 8.3或一1分两种情况讨论：当a+b+c十d≠0时，根据 等比性质，得m=3a+tctd=3,当a+6十c+d=0 a+b+c+d 时，a十b十c=-d,m=a+b+c=二4--1..m的 d d 值为3或-1. 易错警示 忽略等比性质成立的条件而导致漏解 运用等比性质的前提是各个分母的和不能等于0， 如果题目中没有此条件，那么在运用等比性质时应分类 讨论，如本题要分a十b十c十d=0和a+b十c十d≠0两 种情况讨论 9.如图，设rG=x,则BF=GE-(2-x).由题意，易得 ∠CAB=∠FBA=∠GAE=∠GEA=36°，∴.AG=GE, ∠AFG=∠AGF=36°+36°=72°.∴.∠FAG=36°，AF= AG△APG是黄金三角形船-品-5二，即 22-0 5,-1,解得x=25-4,即BF-GE=3 27