21.4 第1课时几何图形问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 21.4二次函数的应用 第1课时几何图形问题 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.眉境生活实际在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地.如图，自建房占地是 边长为8m的正方形ABCD,改建的绿地是矩形AEFG,其中点E在AB上，点G在AD的延长 线上，且DG=2BE.当绿地AEFG的面积最大时，BE的长为 () A.1m B.2m C.3m D.4m D G H F B (第1题) (第2题) 2.易错题如图，有一直角墙角，CM的长为12m,CN的长为5m,在CM,CN上分别取点A,B,使 AC+BC=12m,则△ABC的最大面积为 m2. 3.如图，一个一面利用墙三面用篱笆围成的矩形花圃ABCD的面积为Sm,与墙垂直的边AB的 长为xm.墙可利用的最大长度为13m,篱笆总长为24m,花圃中间用一道篱笆隔成两个小 矩形. (1)求S(m)与x(m)之间的函数表达式. (2)当矩形花圃ABCD的面积为45m时，求AB的长. (3)当x为何值时，矩形花圃ABCD的面积最大？最大面积是多少平方米？ (第3题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.如图，抛物线y=一x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C, P是抛物线上位于x轴上方的一点，分别以AP,BP为边向△ABP的外部作正方形APED 18 第21章二次函数与反比例函数 和正方形BPFG,连接BD,AG.点P从点A运动到点B的过程中，△ABD与△ABG的面积 之和 () A.先增大后减小，最大值为8 B.先减小后增大，最小值为6 C.始终不变，为6 D.始终不变，为8 G (第4题) (第5题) 5.[2025宿迁中考]如图所示为一块梯形木板ABCD,AD∥BC,∠BCD=90°，AD=4dm,BC= 10dm,CD=6dm,按图中所示的方式设计一个矩形桌面EFCG(点E在边AB上).当EF= dm时，矩形桌面EFCG的面积最大， 6.*某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面ABCD的长AD=50m,宽AB= 32,四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形 花坛宽的4倍，图中涂色部分铺设地砖.已知矩形花坛的长比宽多7，设每个矩形花坛的宽均 为xm. (1)每个矩形花坛的长为 m,铺设地砖的面积为 m(用含x的式子表示). (2)若铺设地砖的面积为1168m,求正方形景观空地的面积. (3)设四个角的矩形花坛面积之和为S,则当S的值最大时，矩形花坛的长和宽各是多少米？ B R (第6题)》 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 7.九年级(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地.地上两段围墙 AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE 6.6m,OE=1.4m,OB=6m,O℃=5m,OD=3m.班长买来可切断的围 A EO DU 栏，共16m,准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该矩形菜地的 (第7题) 最大面积是 m2. ●“答案与解析”见D12 19一个交点，∴.△=(-1)2一4×aX2=1-8a=0,解得a= 日2)a≤-1或4<a<号 1 如图，观察图象可知，若 a<0,当x=一1时，y2,即a十32，即a一1，此时 六>寸满足条件a≤-1若0>0，当=2时， y≥1，即4a≥1，即a≥，且抛物线与直线MN有交点， 此时-≤2，满足条件，“.a≥是设直线MN对应的函 2a 数表达式为y=kx+m,把M(-1,2),N(2,1)代入，得 -k十m=2, k、1 3 解得 ,,直线MN对应的函数表 2k+m=1, 5 m3 y=ax2-x+2, 达式为y=一子x+号联立 1 1 ,5整理得 =-3x+3 3ax2-2x+1=0.△=(-2)2-4×3a×1=4-12a>0, ∴a<兮}<a<请足条件.综上所述，a的取值范 围是a<-1或a<行 1 0 (第6题) 7.(1)在y=mx十3中，令x=0,则y=3.∴.C(0,3).将 C(0,3)代入y=a(x一1)2+4，得3=a+4,解得a=-1. ∴.y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)令y=-x2+ 2x十3=0，解得x1=一1,2=3.∴.B(3,0).由图象可知， a(x-1)2+4>mx+3的x的取值范围是0<x<3. (3)令-x2+2x十3=mz十3.整理，得x2+(m-2)x=0. 二次函数图象与一次函数图象只有唯一公共点C, ∴.△=(m-2)2=0.∴.m=2. 8.(1)①x=-4或x=0或x=4.②-3<a<1. (2)把(0，-3)代入y=x十b,得b=一3.令x十b= 一(x一2)2十1，整理得x2一3x十b十3=0，则△=（一3）2 46+3)=0,解得6=-子.当函数y=-(-2+ 1的图象与直线y=x十b有三个交点时，b的值为一3或 .3)如图，将函数y=-(x-2y+1的图象向 3 右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得到函数 y,=-(x-1-2)2+3的图象.由图象可知，当2<y,≤ 3时，自变量x的取值范围是一2<x<0或2<x<4. (第8题) 21.4二次函数的应用 第1课时几何图形问题 1.B设BE=xm,则AE=(8-x)m,DG=2BE=2xm, AG=(8+2x)m.设绿地AEFG的面积为ym.根据题意， 得y=AE·AG=(8-x)(8+2x)=-2x2+8x+64= 一2(x一2)2+72.一2<0，.当x=2时，y有最大值 72,即当BE=2m时，绿地AEFG的面积最大 2.17.5设BC的长为xm,△ABC的面积为ym,则 AC=(12-x)m,∴.y= 2x(12-x)=-1 (x-6)2+ 18:一<0当x<6时y随x的塔大而塔大由题 意知，x5,·当x=5时，y有最大值，为17.5.∴.△ABC 的最大面积为17.5m2 易错警示 忽视自变量的取值范围致错 在实际问题中，函数的最大值受自变量取值范围的 限制，本题中，由于自变量取不到6，则△ABC的最大面 积就不可能等于18m. 3. 思路导引 设AB的 BC的长为 长为xm (24-3x)m 矩形花圃的面积为x(24-3x)m 二次函数S=24x-3x 结合实际确定自 二次函 变量的取值范围 数的性质 S为45 S的 时x的值 最大值 12 (1)由题意知，S=(24一3x)x=一3x2十24x..x>0,且 021-<18号<<&Sm)关于r(m的函 数表达式为S=-3x2+24r(得<<8).(2)当矩形花 圃ABCD的面积为45m时，45=-3x2+24x,解得x1= 5=8.由()知，号<x<8x=5.当矩形花周 ABCD的面积为45m时，AB的长为5m.(3)由(1) 知，S=-3x2+24x=-3(x-4)2+48.-3<0,∴.当 x=4时，S的值最大，最大值为48.∴当x=4时，矩形花 圃ABCD的面积最大，最大面积是48m2. 4.D令y=-x2+2x十3=0，则x=-1或x=3,即点 A,B的坐标分别为（一1,0），(3,0)，∴AB=4.设点P的 横坐标为.如图，分别过点P,G作x轴的垂线，垂足分别 为N,H,则∠PNB=∠BHG=90°.，四边形BPFG是 正方形，∴.PB=BG,∠PBG=90°.∴.∠PBN+ ∠GBH=90°..∠GBH+∠BGH=90,,∴.∠PBN= ∠BGH.'∠PNB=∠BHG,PB=BG,.△PNB≌ △BHG(AAS)..GH=BN=3-m=yG.同理可得yn= m十1，则△ABD与△ABG的面积之和=2ABX(yn+ w)=号×4X(m+1+3-m)=8 G AO NB (第4题) 5.5如图，过点A作AH⊥BC于点H.:AD∥BC, ∠BCD=90°，∴.∠D=180°-∠BCD=90°.：∠D= ∠BCD=∠AHC=90°，∴.四边形AHCD是矩形. ∴.AH=CD=6dm,CH=AD=4dm∴.BH=BC- CH=10一4=6(dm)..∴.BH=AH.∴.△AHB是等腰直 角三角形.，'在矩形EFCG中，∠EFC=90°，∴易得 △BFE是等腰直角三角形.设EF=BF=xdm(O<x< 6),则CF=BC一BF=(10一x)dm.设矩形桌面EFCG的 面积为Sdm,则S=EF·CF=x(10-x)=一(x-5)2+ D 25..当x=5时，S取得最大值，即当EF=5dm时，矩形 桌面EFCG的面积最大， B (第5题) 6.(1)(x+7):(一20x2一28.x+1600).矩形花坛的 宽是xm,∴.长是(x十7)m,正方形EFGH的边长为 4xm.∴.铺设地砖的面积为50×32-4x(x+7)一4x· 4x=1600-4x2-28x-16.x2=(-20x2-28x+ 1600)m2.(2)根据(1)及题意，得一202一28x+ 1600=1168,整理得5x2+7x-108=0,解得x1=4, x2=一 上2舍去).÷x=44红·4=162=16X16日 256,即正方形景观空地的面积为256m.(3)根据题意， 得S=4x(x+7)=4(x+3.5)2-49.50-2(x+7)- (32-2x)=4>0,∴.50-2(x+7)>32-2x.由题意，得 x0, .0<x6.∴，当x=6时，S的值最 4x50-2(x+7). 大，此时x+7=13,则矩形花坛的长为13m,宽为6m. 方法归纳 利用二次函数的性质求实际问题中最值的方法 在实际问题中，求最值的一般步骤如下： (1)列出二次函数表达式，并根据自变量的实际意 义，确定自变量的取值范围. (2)在自变量的取值范围内，运用公式法或配方法 求出二次函数的最值」 注意：当二次函数图象顶，点的横坐标不在自变量的 取值范围内时，需结合二次函数的图象，根据二次函数 的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最值， 7.46.4要使该矩形菜地的面积最大，则要利用AO和 OC构成矩形.设矩形在射线OA上的一段长为xm,矩形 菜地的面积为Sm.当x≤8时，如图①，则在射线OC上 的长为16-x1.4+5=19.6-2m,S=x· 2 2 1860=-72+98x=-号（x-9.8y+4802 1 2 ”一2<0小当x≤9.8时，S随x的增大而增大.·当 x=8时，S的最大值为46.4.当x>8时，如图②，则矩形 菜园的总长为(16十6.6+5)=27.6m,在射线OC上的长 为276-2 m,S=x.27.6,2=-x2+13.8x= 2 2 一(x-6.9)2+47.61.-1<0,..当x>6.9时，S随x 的增大而减小..当x>8时，S<46.4.综上所述，该矩形 菜地的最大面积是46.4m. DU DU ⊙ ② (第7题) 第2课时“抛物线”模型问题 1.B由题意，得抛物线过点A(一4,0)，B(4,0),D(一3， 4),.设y=a(x+4)(x-4).把D(-3,4)代人y= a(x十4)(x-4,得4=-7a,解得a=-7.y= -专c十4(x-4.令x=0,得y-头，即E(0,). 0E-头门高0E为m 2.76以桥面为x轴，它的中垂线为y轴，建立如图所示 的平面直角坐标系.，抛物线关于y轴对称，∴.可设其表 达式为y=a.x2+k.由抛物线过点(16.5,0)，(10,48)，得 192 16.52a+k=0 a= 6891 解得 ∴.抛物线对应的函数表 102a+k=48. k 52272 689 达式为y= 192十232.令x=0.得y 689 2272≈76. 689 689 ∴.桥塔的高度约为76m. ◆y/m C /20mD 48m ￥0 33m7m (第2题) 3.(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(6,8).设抛物线对 应的函数表达式为y=a(x一6)2十8(a≠0)，将(12,0)代 人，得a(12-6护+8=0，解得a=一号.抛物线对应的 D 数表达式为y三一。(x一6)+8(0≤x12).(2)能 安全通过理由：是-兰-3=2（米将x=2代人y -号x-6)r+8得)=-号×2-6y+8智：智 9· 9 35=是米)，005能安全道过 4(D一石由题意，得A(0,了）将A(0,)代入y aG-0+5(c≥0，得号=aX0-4)+5解得a= -628 设喷水管OA要降低的高度为bm,则降 低商度后右侧揽物线对应的函数表达式为y-一吉（：一 4)2+5-b,将(9,0)代人y=二6(x-42+5-6,得 0=一号×(0一4)+5-6，解得6=号，即喷水管QA要降 5 低的高度为6m. 5.(1)由题意知，点D的坐标为(16,12).设抛物线对应的 函数表达式为y=a(x一16)2+12，将(0,0)代入y= a(x-16)2+12,得a(0-16)2+12=0,解得a=-6 二64x一16P+2.(2)”此截面上有7根 于地面AB的支柱，相邻两根支柱之间的距离均为4m,此 截面上支柱MN在支柱CD的左边，且它们之间还有一根 支柱，4×2=8(m),.点M与点D之间的水平距离是 8m.又.点D的坐标为(16,12)，∴.点D的横坐标是16. .点M的横坐标为16一8=8.将x=8代入y 3 3 (x-16)+12,得y=一×(8-16)2+12=9.支 柱MN的高度为9m. (3)小娟的说法不正确.理由： 1 :中间最高的支柱CD的高度是12m,CD=3m.当 y=3时，3=一品-16+12，解得x=16士8.由(2， 得点D的横坐标是16.：'相邻支柱之间的距离均为4m, ∴.所有支柱底端点的横坐标都是4的整数倍.∴.不存在支 柱的高度恰好是支柱CD高度的子.一小娟的说法不正确， 21 6.36 根据题意，可知抛物线过点A(400,0),O(0, 14