专题特训5 二次函数中的几何图形存在性问题&综合与实践1 商场促销活动—获取最大利润-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 专题特训五二次函数中的几何图形存在性问题 类型一等腰三角形的存在性问题 1.如图，抛物线y=一x2+4x+5与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C (1)求A,B,C三点的坐标 (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△BCP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由， C B (第1题) 类型二直角三角形的存在性问题 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2十bx+3交x轴于A(一1,0)，B(3,0)两点，交y轴 于点C,M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E,交直线BC于 点F (1)求抛物线和直线BC对应的函数表达式. (2)是否存在以C,E,F为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由. A (第2题) 36 第21章二次函数与反比例函数 类型三平行四边形的存在性问题 3.已知抛物线经过A(1,0),B(0,一3)，C(一3,0)三点，直线l过点B和点C. (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)R是抛物线对称轴上的动点，抛物线上是否存在点S,使得以B,C,R,S为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点S的坐标；若不存在，请说明理由 类型四 菱形的存在性问题 4[2026合肥-模]如图，抛物线y-2+2x一6与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与 y轴交于点C,连接AC,BC (1)求A,B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC对应的函数表达式 (2)P是直线AC下方抛物线上的一个动，点，过点P作BC的平行线，交线段AC于点D.直线 L上是否存在点E,使得以D,C,B,E为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点E的坐标；若不 存在，请说明理由。 (第4题) ●“答案与解析”见D22 37 拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 综合与实践1商场促销活动—获取最大利润 【背景】 太平猴魁，属绿茶类，是中国历史名茶，创制于1900年，是“十大名茶”之一.太平猴魁产于安徽 省黄山市北麓的黄山区（原太平县）新明、龙门、三口一带.太平猴魁外形两叶抱芽，扁平挺直，自然 舒展，白毫隐伏，有“猴魁两头尖，不散不翘不卷边”之称.叶色苍绿匀润，叶脉绿中隐红，兰香高爽， 滋味醇厚回甘，有独特的猴韵，汤色清绿明澈，叶底嫩绿匀亮，芽叶成朵肥壮.太平猴魁幽香扑鼻，滋 味醇厚爽口而回甘，很多人都喜欢太平猴魁的味道.太平猴魁作为绿茶中的一个品种，与其他茶品 相比，太平猴魁茶汤回味甘甜，冲泡时就算放置的茶量过多也不会苦涩. 【素材】 某商场经销太平猴魁，每千克的成本为60元，规定每千克的售价需超过成本价，但不高于 100元.经调查发现，其日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示， 【任务】 (1)求日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围. (2)当销售单价定为多少元时，该公司获得的日利润为1000元？ (3)设该茶叶的日销售利润为元，若该茶叶的日销量不低于80千克，则当销售单价定为多少元 时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ (4)结合前面的计算结果和实际销售情况，如果该商场售卖该茶叶的价格定为100元/千克，请你为 该商场设计一条促销方法，使该商场能获得最大利润。 ↑y/千克 120----- 80 0 6080x7(元/千克) 38 >“答案与解析”见D23专题特训五二次函数中的几何图形 存在性问题 1.(1)令y=-x2+4x+5=0,解得x1=-1,x2=5. 点A在点B的左侧，∴.A(-1,0),B(5,0).当x=0 时，y=5,.C(0,5).(2)存在..点P在抛物线的对称 4 轴上，且对称轴为直线x=一二2=2，设P(2,n),则易 得BP=/n2+9,CP=√(n-5)2+4,BC=/25+25= 5√2.，·△BCP是等腰三角形，.分三种情况讨论：①当 BC=BP时，√n十9=5√2，解得n=±√4I,此时点P 的坐标为(2，√4红)或(2，一√4I):②当BC=CP时， √(n-5)2+4=5√2，解得n=5士√46，此时点P的坐标 为(2,5+√46)或(2,5-√46)；③当BP=CP时， √n+9=√(n-5)2+4,解得n=2,此时点P的坐标为 (2,2).综上所述，满足条件的点P有5个，分别为(2，√4I) 或(2，-√4T)或(2,5+√46)或(2,5-√46)或(2,2). 2.(1).抛物线y=a.x2+bx+3交x轴于A(一1,0)， a-b+3=0, a=一1， B(3,0)两点，.《 解得 .抛物线 (9a+3b+3=0, b=2. 对应的函数表达式为y=一x2十2x十3.当x=0时，y=3, ∴.C(0,3).设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b, 3k+b=0, 将点B,C的坐标代人，得《 解得 6'=3, =一直 6=3. 线BC对应的函数表达式为y=一x十3.(2)存在.设 M(m,0)(0m3),则E(m,一m2+2m十3)，F(m, -m+3),∴.EF=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+ 3m,CF=√m2+m=√2m,CE=√m2+(-m2+2m) ①当∠ECF=90°时，如图①.：∠ECF=90°，∴.在 Rt△CEF中，由勾股定理，得CE+CF2=EF2,即m2+ (-m2+2m)2+2m2=(-m2+3m)2,整理得m(m- 1)=0,∴.m=1或m=0(不符合题意，舍去).∴.M(1,0). ②当∠CEF=90°时，如图②.：∠CEF=90°，∴.在 Rt△CEF中，由勾股定理，得CE2+EF2=CF2,即m2+ (-m2十2m)2+(-m2+3m)2=2m,整理，得m2(m2- 4m+4)+m2(m2-6m+9)-m2=0,即m2(m2一5m+ 6)=0,即m2(m-2)(m-3)=0,∴.m=2或m=0(不合题 意，舍去)或m=3(不合题意，舍去).∴.M(2,0). ③：'EM⊥x轴于点M,∴.∠EMB=90°.∴.∠MFB< 90°，即∠CFE<90°.∴.不存在∠CFE=90的情况.综上所 述，存在以C,E,F为顶点的三角形是直角三角形，此时点 M的坐标为(1,0)或(2,0). ① (第2题) 3.(1)设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+bx+c. 抛物线经过A(1,0),B(0,一3)，C(一3,0)三点， a+b十c=0, a=1, ∴.3c=一3， 解得b=2,∴.y=x2+2x一3. (9a-3b+c=0, (c=-3. (2)存在.：y=x2十2x一3=(x十1)2一4，.该抛物线的 对称轴为直线x=一1.设R(-1,n),S(p,p2+2p一3). :B(0,一3)，C(一3,0)，.当以B,C,R,S为顶点的四边 形是平行四边形时，分三种情况讨论：①当BC为对角线 时，0-3=-1+p,解得p=一2.∴.2+2p-3= (-2)2+2×(-2)-3=-3..S(-2,-3).②当BR为 对角线时，0一1=一3十，解得力=2..p2十2p一3= 22+2×2-3=5..S(2,5).③当CR为对角线时，-1一 3=0+p,解得p=-4.∴.p2+2p-3=(-4)2+2× (-4)-3=5.∴.S(-4,5).综上所述，点S的坐标为 (-2,-3)或(2,5)或(-4,5) 4(1D当y=0时，2x2+2z-6=0.解得x=-6:= 2,∴A(-6,0),B(2,0).当x=0时，y=-6,∴.C(0, 一6).A(-6,0),C(0,一6)，∴.易得直线AC对应的函 数表达式为y=一x-6.B(2,0),C(0,一6)，∴.易得直 线BC对应的函数表达式为y=3x一6.(2)存在.设 点D的坐标为(m,一m-6),其中-6<m<0.B(2,0), C(0,-6),∴.BD2=(m-2)2+(m十6)2，BC2=2+62= 40,CD2=m2+(-m-6+6)2=2m2.:DE∥BC,∴.当 DE=BC时，以D,C,B,E为顶点的四边形为平行四边 形.分两种情况：①如图①，当BD=BC时，四边形BDEC 为菱形，∴.BD=BC,则(m-2)2+(m十6)2=40，解得 m1=一4，m2=0(舍去).∴.点D的坐标为（一4，一2）.易 知将点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度 可得到点E,∴.点E的坐标为（一6，一8）.②如图②，当 CD=BC时，四边形CBED为菱形，.CD=BC2,则 2m2=40,解得m1=-25,m2=25(舍去)..点D的坐 标为（一25,25一6）.易知将点D向右移动2个单位长 22 度，向上移动6个单位长度可得到点E,.点E的坐标为 (2-2√5,25).综上所述，直线l上存在点E,使得以D, C,B,E为顶点的四边形为菱形，此时点E的坐标为 (-6,-8)或(2-25,25). ① (第4题) 综合与实践1商场促销活动一 获取最大利润 (1)设日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数表 60k+b=120, 达式为y=kx十b(k≠0).由题意，得{ 解得 80k+b=80, k=一2， ∴.日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的 b=240. 函数表达式为y=一2x+240(60<x≤100).(2)由题 意，得(x-60)(一2x+240)=1000,整理得x2一180x+ 7700=0,解得x=70或x=110(舍去).∴.当销售单价定 为70元时，该公司获得的日利润为1000元.(3)由题 意，得0=(x-60)(-2x十240)=-2x2+360x 14400=一2(x一90)2+1800.，'该茶叶的日销量不低于 80千克，-2x+240≥80..x≤80.∴.60<x≤80. 一2<0，.当60<x≤80时，w随x的增大而增大。 ∴.当x=80时，0的值最大，为一2×(80-90)2+1800= 1600..当销售单价定为80元时，每天获得的利润最大， 最大利润是1600元.(4)为报答新老顾客，凡购买太平 猴魁茶叶的一律按八折优惠.此时售价为80元/千克，日销 量不低于80千克且利润最大. 第21章拔尖自主测评 1.C:抛物线y=一x2十6x十7，一1<0，.抛物线开 口向下.故A错误.对称轴为直线x=一2X《-D-3.故B 错误.：当x=0时，y=7,∴.抛物线与y轴的交点坐标是 (0,7).故C正确.当x=3时，y=一32十6×3十7=16， ,.顶点坐标是(3,16).故D错误 2.A:抛物线y=一(x+1)2+3的开口向下，对称轴为 直线x=一1，∴.抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应 的函数值越大.'点A(一5，y1)到直线x=一1的距离为 一5一（一1）=4，点B(1,y2)到直线x=一1的距离为 |1-(一1)川=2，点C(2,y3)到直线x=一1的距离为 |2-(-1)川=3，又：2<3<4，y2>y3>y1. 3.C.当x=1.1时，y=一0.49，当x=1.2时，y= 0.04,∴.a.x2+bz十c=0的一个根在1.1和1.2之间. x=1.2时的y值比x=1.1时的y值更接近0，∴.方程 的一个近似解为1.2. 4A由题图可知，当<-1或0K<2时，函数y=会 的图象在函数y=ax十b图象的上方，即关于x的不等式 >ar+b的解集为x<-1或0<x<2 5.C设该图象的对称轴为直线x=m,点C关于对称轴 的对称点为D,记点D的横坐标为x.由图象可知，点C 的横坐标为8，则8十20m,x=2m一8.易知点C关 于对称轴的对称点D介于A,B两点之间，∴.0<xn<4, 即02m一8<4，解得4<m<6.∴.当实心球行进到最高 点时，对应的水平距离可能为5m 6.A:抛物线C2:y=一(x一2)2一1开口向下，顶点坐 标为(2，一1)，.无论m取何值，都有n2<0,故甲说得对. :抛物线C,:y=一(x+1)2+2的顶点坐标为（一1,2）， 抛物线C2:y=一（x一2)2一1的顶点坐标为(2，一1)， .将抛物线C:y=一(x+1)2+2先向右平移3个单位 长度，再向下平移3个单位长度可得到抛物线C2:y= 一(x一2)2一1.∴.点P移动到点P'的最短路程为 √3+32=32，故乙说得对.PQ=|-(m+1)2+2+ (m-2)2+1=|-6m+6|,∴.当-3<m<1时，PQ= 一6m十6.∴.PQ随着m的增大而减小.∴.当一3<m<1 时，随着m的增大，线段PQ由长变短，故丙说得不对.结 合选项可知，A符合题意. 7D设D(m,杂)：四边形ABCD是矩形，E为AC 的中点心点E的纵坐标为会将一名%代人y=会，得 =2mE(2m,会)人小点B的横华标为30小点F 的横坐标为3m,将x=3m代入y=冬，得y一奇 F(m会)CF-奈品益：△Mr的面积 为2，..△ACF的面积为4.AB=3m一m=2m, 2k·2m」 Sancr-3m 2 一=4，解得k=6. 23