1.3 第2课时矩形的判定-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）九年级上 第2课时矩形的判定 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列四边形ABCD中，AC和BD是对角线，根据图中提供的信息，四边形ABCD不一定为矩形 的是 40 40y 2.5 25 2.5 140 40 B. D. 2.[2025东营中考]如图，O是△ABC的边AC的中点，连接BO并延长至点D,使OD=BO,添加 下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是 () A.AB=BC B.∠ABC=90° C.∠ABD=∠ACDD.OB=OC (第2题) (第3题) 3.考向条件开放题如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，点F,G在边BC上，且DF∥ EG.只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 .(写出一个即可) 4.[2025辽阳期末]如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别交边AB,BC于点D,E,F是线段 DE的中点，过点D作DGBC,交BF的延长线于点G,连接CG. (1)求证：四边形DECG为矩形 (2)若BD=5,DG=3,AD=2,求△ABC的面积 (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.[2025周口西华期未]如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,对角线BD上有 -点P从点B沿着BD往点D移动，若过点P作PE⊥AB于点E,作PF⊥ AD于点F,则线段EF的最小值为 (）B R号 (第5题) A.√5 c号 D26 5 8 第一章特殊平行四边形 6.易错题如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,动点E以每秒1个 单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，同时，点F以每秒1个单位长度 的速度从点C出发沿CA方向运动.若AC=12,BD=8,则经过 秒，A (第6题) 四边形BEDF是矩形. 7.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3.点E,F分别在边AD,BC上（点E不 Q 与点A,D重合)且AF∥CE,DP⊥AF于点P,交CE于点Q,BM⊥CE于点 M,交AF于点N.给出下列四个结论：①AC=5;②DQ=CM;③四边形 PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长.其中，正确的是 (第7题) (填序号) 8.舒可探究题如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交 ∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F,连接AE,AF. (1)求证：OE=OF. (2)若CE=12,CF=5,求OC的长. (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由， M E C (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3.若P是矩形ABCD的边上任意一点，PE⊥BD于点E,PF⊥ AC于点F (1)如图①，当P是边CD上任意一点时，PE和PF之间有怎样的数量关系？请说明理由， (2)如图②，当P是边AD上任意一点时，猜想PE和PF之间的数量关系，并说明理由. (3)如图③，若P是DC延长线上的任意一点，猜想PE和PF之间的数量关系，并证明之， B ② (第9题) “答案与解析”见P5 97.48四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD=∠ADC= 90°.F,G分别是BE,CE的中点，AF=3,DG=4, .BE=2AF=2×3=6,CE=2DG=2×4=8..'∠AEB= ∠DCE,∴.∠AEB+∠DEC=∠DCE+∠DEC=90°. .∠BEC=180°-（∠AEB+∠DEC)=180°-90°=90° :5x-2BE·CE=号×6X8=24.:SEEm BC·AB=2X7BC·AB=2SAx=2X24=48. a名或背设BE=,则BC=4-云由折，得C EC=4一x.分情况讨论：①当AE=EC'时，AE=4一x. ,四边形ABCD是矩形，∴.∠B=90°.：在Rt△ABE 中，AB+BE2=AE3+2=(4-x,解得x=8 :BE=名.②当AE=AC时，过点A作AHLEC'于点 H,则∠AHE=90°.：四边形ABCD是矩形，∴.∠B= 90°=∠AHE.:EF⊥AE,.∠AEF=∠AEC+ ∠FEC'=90°.∴.∠AEB+∠FEC=90°.由翻折，得 ∠FEC'=∠FEC..∠AEB=∠AEH.:∠B= ∠AHE,AE=AE,∴.△ABE≌△AHE.∴.BE=HE= x.AE=AC',AH⊥EC',.EC'=2HE,即4-x=2x, 解得x=手·BE=专综上所述，当BE=名或号时、 △AEC'是以AE为腰的等腰三角形. 9.(1),·四边形ABCD是矩形，.OA=OC=OB=OD ,CE⊥BD,AG∥BD交CE的延长线于点F,∴.CF⊥ AG.∴.△ACF是直角三角形.∴.OF是Rt△AFC斜边 AC上的中线.∴.BO=OF.(2):FG∥BO,FG=BO, .四边形BOFG为平行四边形.由(1)可知BO=OF, .平行四边形BOFG为菱形 10.(1)连接BD交AC于点O,连接FO.:四边形 ABCD是矩形，∴.∠ABC=90°，AC=BD,AO=CO= 2AC,B0=D0=号BD.A0=C0=B0=D0.又：F 为AE的中点，0为AC的中点F0=2CE.:CE AC,.FO=AO.∴.FO=BO=DO.∴.∠FDO=∠DFO, ∠FBO=∠BFO.又：'∠FDO+∠DFO+∠FBO+ ∠BFO=2(∠DFO+∠BFO)=2∠DFB=180°， ∴.∠DFB=90°，即BF⊥DF.(2)四边形ABCD是 矩形，AD=6,∴.∠ABC=90°，BC=AD=6,AC=BD. ∠ABC=90°，AB=8,BC=6,∴.AC=√AB2+BC2= 10..CE=AC..'.CE=BD=AC=10...BE=CE-BC= 4.∠ABE=180°-∠ABC=90°，∴.AE= √AB2+BE=45.F为AE的中点，∠ABE=90°， BF=号AE=25.由(I,得∠DFB=90.DF= JBD2-BF2=4V5」 方法归纳 直角三角形斜边中线性质的应用技巧 (1)有直角、有中点，作中线，用性质.(2)有直角、 无中点，取中，点，作中线，用性质.(3)有中点、无直角，造 直角，用性质.(4)逆用性质解题， 11.(1),四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠ABC= 90°，AD∥BC,AD=BC.∴.∠ABE=180°-∠ABC=90, ∠ADE=∠CED.:G是DF的中点，.AG=DG=GF. ∴.∠ADE=∠GAD.∴.∠AGE=∠GAD+∠ADG= 2∠ADG.:∠AED=2∠CED,.∠AED=∠AGE. ∴.AE=AG=4.在Rt△ABE中，BE=2,AE=4,∴.由 勾股定理，得AB=√4-2=23.(2)过点G作GH⊥ AB于点H,则∠GHB=90°.：∠DAB=90°，∴.∠DAB= ∠GHB.∴.GH∥AD.:AG=GF,GH⊥AF,.AH HF,即H是AF的中点.又：G是DF的中点，.GH= 合AD-号C.:BC=2ABGH=AB.:AG=AE. .GF=AE.在Rt△GHF和Rt△ABE中，GF=AE, GH=AB,.Rt△GHF≌Rt△ABE.∴.∠GFH= ∠AEB.:∠AED=2∠CED,∠GFH=∠EFB,∴.易得 ∠EFB=∠AEB=3∠CED.,·∠ABE=90°，∴.∠EFB+ ∠BEF=4∠CED=90°..∠CED=22.5.∴.∠AED= 2∠CED=45°. 第2课时矩形的判定 1.D选项A,AB=CD=3,AD=BC=4,∴.四边形 ABCD是平行四边形.，AB=3,BC=4,AC=5,3+ 4=52,∴.∠ABC=90°.∴.四边形ABCD是矩形.选项B, 由题意可知，四边形ABCD的对角线互相平分且相等， ∴.四边形ABCD是矩形.选项C,由题意可知，∠BAD= ∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴.四边形ABCD是矩 形.选项D,由题意可知，AD∥BC,不能判定四边形ABCD 是矩形. 2.A:O是△ABC的边AC的中点，.OA=OC ,OD=BO,.四边形ABCD是平行四边形..AB∥ CD.选项A,当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形. 选项B,,∠ABC=90°，∴.平行四边形ABCD是矩形.选 项C,,AB∥CD,.∠ABD=∠CDO.∠ABD= ∠ACD,.∠CDO=∠ACD..OC=OD..OA=OC= OB=OD.∴.AC=BD.,.平行四边形ABCD是矩形.选 项D,.OB=OC,.OA=OC=OB=OD.∴.AC=BD. .平行四边形ABCD是矩形 3.答案不唯一，如∠DFG=90°：D,E分别是AB,AC 的中点，.DE是△ABC的中位线.∴.DE∥BC.DF∥ EG,.四边形DFGE是平行四边形.，∠DFG=90°， .平行四边形DFGE是矩形 4.(1),DG∥BC,.∠DGF=∠EBF,∠GDF= ∠BEF.F是DE的中点，∴.DF=EF.在△GDF和 ∠DGF=∠EBF, △BEF中， ∠GDF=∠BEF,∴.△GDF≌△BEF. DF-EF. .DG=BE.,DE垂直平分BC,.BE=CE,∠GDF= ∠BEF=90°..DG=CE.又DG∥BC,即DG∥CE, .四边形DECG是平行四边形.又，∠GDF=90°，.四 边形DECG为矩形.(2)连接CD.由(1)得，∠BEF= 90°，DG=BE=CE=3,在Rt△BDE中，由勾股定理得 DE=VBD2-BE=V5-3=4,.S△m=2·BC· E=台×(8+3)×4=12：易得=号 2 S△BcD Sam装Sam=Sam+Sm- 5.B连接AP.在矩形ABCD中，AB=2,AD=4, ∠BAD=90°..在Rt△ABD中，由勾股定理得BD= √AD2+AB=√4+22=25.：PE⊥AB,PF⊥AD. .四边形AEPF是矩形..AP=EF.当AP⊥BD 时，AP有最小值，即EF有最小值.∴.此时有S△D 2AB·AD=2BD·AP.X2X4=2×25AP AP-45:EF的最小值为5. 6.2或10设运动的时间为t秒，则AE=CF=t.,四边 形ABCD是平行四边形，AC=12.BD=8,,∴.OA=OC= AC-6.0B-OD-BD-.AE-CF-1OE- OF=6-t或OE=OF=t一6.∴.四边形BEDF是平行四 边形.∴.当EF=BD时，四边形BEDF是矩形.∴.OE= OD..6-t=4或t-6=4.∴.t=2或t=10..经过2秒 或10秒，四边形BEDF是矩形. 易错警示 解决动点问题时因考虑不全而出错 本题应分两种情况进行分析：OE=OF=6一t或 OE=OF=t一6，解题时很容易片面地认为点E在OA 上，点F在OC上，从而导致漏解 7.①③④①AC=√AB2+BC=√/4+32=5，故① 正确.②若DQ=CM,则有△CQD≌△BMC,推出BC= DC,与已知矛盾，故②错误.③，AFCE,DP⊥AF,BM⊥ CE,.易得四边形PQMN的四个角都是直角..四边形 PQMN是矩形，故③正确.④，·∠ADP+∠PDC=90°， ∠DCE+∠PDC=90°，∴.∠ADP=∠DCQ.在矩形 ABCD中，AD=BC,AD∥BC,又，AF∥CE,.四边形 AECF是平行四边形.∴.∠DAP=∠BCM.,∠APD= ∠CMB,∴.△APD≌△CMB.∴.AP=CM.设PQ,MN 分别交AC于点J,K,,AF∥CE,∴.∠PAJ=∠MCK. 又，∠APD=∠CMB,.△APJ≌△CMK..PJ= MK.,四边形PQMN是矩形，∴.PQ=MN,PN=QM ,∴.AC平分四边形PQMN的周长，故④正确.综上所述， 正确的是①③④. 8.(1)·CE平分∠ACB,∴.∠ACE=∠ECB.,MN∥ BC,∴.∠ECB=∠OEC.∴.∠ACE=∠OEC.∴.OE= OC.同理，可得OC=OF..OE=OF.(2):CE,CF 分别平分∠ACB和∠ACD,·∠ACE=2∠ACB, ∠ACF= 名∠ACD.:·∠BCF=∠ACE+∠ACF 2(∠ACB+∠ACD)=号X180=90.EF= 1 /CE2+CF2=/122+52=13.由(1)，知O0C=OE=OF, :0C=?EF=6.5(3)当点0运动到AC的中点处 时，四边形AECF是矩形.理由：当O为AC的中点时， OA=OC.由(1)可知，OC=OE=OF,∴.OA=OC=OE= OF.∴.四边形AECF为平行四边形，AC=EF.∴.四边形 AECF为矩形. (I)PE+PF一号，理由：如图@，连接OP,设点C到BD 的距离为h1.在矩形ABCD中，AB=CD=4,AD=BC=3, ∠BCD=90°.在Rt△BCD中，BD=√/BC2+CD 3+T=5:Sam=BD·A=0CD :认，=3X4,解得A,-导：四边形ABCD为矩形. .CC=OD.Smo=Sm+oODh= 0D·PE+号0C·PF.PE+PF=A=号 (2)PE+PF-号理由：如图②，连接OP,设点0到AD的 距离为h2.,四边形ABCD是矩形，∴.∠ADC=90°，OD 0A=(0C-0BAC=BD=i÷0D=0A=2AC=号，易得 hCD-2 Sow-m+AD,h:= 20D·PE+0A·PF.号×3x2-=×2PE+ 名×号P.PE+PF=a)PE-PpF=如图 ③，连接OP,BP.:S△BPD=S△OD+S△P+S△p, .PE. :2PE=12+PF+PE.PE-PF-2 C ③ (第9题) 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.A四边形ABCD是正方形，且边长为5，∴.AB BC=CD=AD=5.,点B(0,-2),.OB=2.∴.OA= AB一OB=3.由旋转的性质得OA'=OA=3,且点A'在 x轴的负半轴上，正方形A'B'CD'的边长为5，∴.点D的 坐标为（一3,5）】 2分：四边形ABCD是正方形，OA=OD,OA上 OD..∠FEO=45°，∴.∠EFO=∠FE0=45°..∴.OE= OF.,E是OA的中点，.F是OD的中点，即EF是△AOD 的中位线EF=号AD.EF-号C,即瓷=之 BC2 3.(1):四边形ABCD为正方形，.AD=BC,BC∥ AD.∴.∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中， AD=BC. ∠ADE=∠CBF,∴.△ADE≌△CBF.(2)连接AC DE=BF. 交BD于点O.,四边形ABCD为正方形，BD=10, :BD垂直平分AC,OA=OC=OB=OD=2BD=5. .AF=CF,AE=CE.由(1)可知△ADE≌△CBF, .AE=CF..AF=CF=AE=CE.∴.四边形AECF是 菱形..OF=OE.∴.EF=2OF.,四边形AECF的周长 为4AF=434,∴.AF=34.在Rt△AOF中，由勾股定 理得OF=√AF2-OA2=√(34)2-52=3，.EF= 2OF=6,即EF的长为6. 4C:四边形ABCD为正方形，OD=号BD,OC AC.AC=BD,AC BD,易得/MD0=乙NCO=4 ∴.OD=OC,∠DOC=90°.ON⊥OM,∴.∠MON= ∠DOC=90°.，.易得∠MOD=∠NOC.,.△OMD≌ △ONC.∴.SAOD=S△OC.∴.S四边形ND=S△OD十 S△DON=S△OC十S△ON=S△c=1.∴.S正方形ABD=4X 1=4.∴.AB=√4=2. 方法归纳 用正方形的旋转对称性解决其旋转问题 正方形每旋转90°便与自身重合，也就是说正方形 是旋转对称图形，旋转中心是两对角线的交，点（中心对 称图形是特殊的旋转对称图形).过旋转中心的每对互 相垂直的直线将正方形分成的四部分全等，恒占正方形 面积的4 5.A在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC=3√2， ∠BAC=∠BCA=45°，∴.AC=√2AB=6.EG⊥AC, FH⊥AC,∴.∠EGA=∠EGC=∠FHC=∠FHG=90°. ∴.∠AEG=∠HFC=45°.∴.△AGE,△HFC为等腰直