专题特训4 二次函数与线段长、角度、图形面积的综合-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

:直线D对应的函数表达式为y=一专十警联立 k ,4k y= -3x+3, k x y= 3=0,解得x=1或x=3.经检验，x=1或x=3是方程 夸1+等的解，且符合题意？点D的坐标为1， k=k k),点E的坐标为(3，号）：设直线AE对应的函数表达 式为y=x十q,将A(-1,-k),E(3,冬)代人，得 一p十q=一k, k p=3' 3p+g=冬，解 ∴.直线AE对应的函数表 2k q=-3 达式为y=台一登当y=0时，台一登=0，解得x 2.∴.点F的坐标为(2,0)，即OF的长为2. 3.(1):'点A,B对应的刻度分别为5cm,2cm,OB= 2cm,∴.AB=5-2=3(cm),则A(2,3).∴.m=2×3=6. 反比例函数的表达式为y=6.(2)2<x<4. (3)由题图可知，点C的横坐标为4，且，点C在反比例函数 y号的图象上--1.反C,1.5,将A02, 2k+b=3, 3),C(4,1.5)代人y=kx+b,得 解得 {4k+b=1.5, 3 ·y= 是：十号当=时，点E的纵坠标 3 9 b一2 为-子十号，点F的纵坐标为号：EF=青m 2一1=4，解得1=3或n三经检验n 3或A=号是原方程的解，且符合题意“n的值为3或 8 4.(1):点A(-4,2)在反比例函数y=m的图象上， 心m=一4X2=一8.·反比例函数的表达式为y=-8 :点B(,一4)在反比例函数y=的图象上，n= 二至2B2,-0.:一次函数=kx+6的图象经过 -4k+b=2,,k=-1, 点A(-4,2),B(2,-4),. 2+6=-4.六6=-2 .一次函数的表达式为y=一x一2.(2)：C是直线 AB与x轴的交点，在y=一x一2中，令y=0,得x=一2， C(-2.0).+.(C-2Sww-SAw+So-X 2X2+号×2X4=6(3)0<<2或x<-4.（4设 P(a,0).C(-2,0),∴.PC=|a+2.又B(2,-4), Sp=号PC.la=21a+21×4:Sam 25w=2X6=12.21a+2×4=12.1la+2-6 .a=4或a=一8..点P的坐标为(4,0)或（一8,0）. 专题特训四二次函数与线段长、角度、 图形面积的综合 1.(1),二次函数的图象与x轴交于点A(一2,0)和点 B(6,0),∴.设二次函数的表达式为y=a(x十2)(x一6). 将C0,6)代入，得6=a(0+2)(0-6.解得a=- &三次函数的表达式为y=二2(x+2)(x-6) 之+2十6《2)如图，作点C关丁对称轴的对称点 C,连接MC,AC.“二次函数的表达式为y=-2x十 -2 2x十6，∴.其图象的对称轴为直线x= =2. 2×(-2) C(0,6),.C(4,6)..AC'=√(4+2)2+(6-0)= 6√2，AC=√(0+2)+(6-0)2=2√10.由轴对称，得 CM=C'M,∴.AC+AM+CM=AC+AM+C'M≥AC+ AC=62+2√10，当且仅当点A,M,C'共线时，等号成 立.∴.AC+AM+CM的最小值为6√2+2√0，即 △ACM周长的最小值为6W2+2√10. y B x (第1题) 2.(1)在y=-x2+2x十8中，当x=0时，y=8,则点C 的坐标为(0,8)；当y=0时，一x2+2x+8=0,解得x= 一2或x=4.:点A在点B的左侧，∴.点A的坐标为 (一2,0)，点B的坐标为(4,0.(2)设直线BC对应的函 数表达式为y=kx十b,将B(4,0),C(0,8)代入，得 20 4k+b=0, k=一2， 解得 ∴.y=-2x十8.设P(a,0)(0 b=8, b=8. a≤4)，则M(a,-2a+8),N(a,-a2+2a+8).∴.MN= (-a2+2a+8)-(-2a+8)=-a2+4a=-(a-2)2+4. :一1<0,0≤a≤4，∴.当a=2时，MN的长有最大值，最 大值为4.(3)存在.设Q(1,m)..·BQ=AC,即BQ= AC,.(1-4)2+(m-0)2=(0+2)2+(8-0)2,解得 m=±√59.∴.点Q的坐标为(1，√59)或(1，-√59). 3.(1)“点A(-2,0),B(4,0)在抛物线y=-222+ 0=-2-2b+c, b=1, br+c上，. 解得 ∴.抛物线对应 {0=一8+4b+c, c=4. 的函数表达式为y=-2+x+4=-号(-1+号 1 ·.D(1,号）.设直线AD对应的函数表达式为y=kx十 10=一2k十a, a,将A,D两点的坐标代入，得 号=+a 解得 3 =2’:直线AD对应的函数表达式为y=号x十3. a=3. (2)如图，过点D作DF⊥AD,且DF=DA,连接AF,交 抛物线于点E,则△ADF为等腰直角三角形， ∴.∠DAE=45.过点D作x轴的平行线l,过点A作 AM⊥l,垂足为M,过点F作FN⊥l,垂足为N,延长NF 交x轴于点G,∴.∠AMD=∠DNF=90°.∴.∠MAD十 ∠MDA=90°.DF⊥AD,.∠ADF=90. ∴.∠MDA+∠NDF=90°.∴.∠MAD=∠NDF.又 AD=DF,∴.△AMD≌△DNF(AAS).∴.DN=AM= yp=2NF=MD-zp-zA=3.zr=zp+DN=1+ 9 号-号=AM-NF=号-3=多·F(侵，)设 9=11 直线AF对应的函数表达式为y=k'x十b',将A,F两点 10=一2k′+b', 的坐标代人，得3马+的 ,解得 ..直线AF 2 6=5 对应的函数表达式为y= 后：联立 y- 2x2+x十4， 18 x1= x2=-2, 解得 (舍去) 2 28y2=0 y= y1=25' D “点E的坐标为(》 D A (第3题) 4.(1)·抛物线y=a.x2+bx十c(a≠0)经过点A(一2， 4a一2b+c=0, a=1, 0),B(4,0),C(0,-8),∴.16a+4b+c=0,解得b=-2, c=-8, c=-8. ∴.抛物线对应的函数表达式为y=x2一2x一8.联立 y=x2-2x-8, x=-1,、x=4, 解得 或 ∴.点D的坐标 (y=x一4， y=-5 y=0. 为（一1，一5）.(2)存在.：抛物线y=x2一2x-8,.抛 物线的对称轴为直线x=1.设直线y=x一4与x=1的交 点为N,如图①.把x=1代人y=x一4，得y=1一4= 一3，∴.N(1,-3).点M在抛物线的对称轴上，.可设 M(1,n),则MN=|n-(-3)|=|n+3..S△M= Swm+Saww=ln+3到×4-(-1门=号1n+31 10,解得n=1或n=一7..抛物线的对称轴上存在一点 M,使△MBD的面积为10，此时点M的坐标为(1,1)或 (1,-7).(3)设P(p,p2-2p-8)(-1<p<4),过点P 作x轴的垂线交直线y=x一4于点Q,如图②，则Q(p, p一4).P为直线BD下方抛物线上的一个动点， ∴.QP=p-4-(p2-2p-8)=-p2+3p+4. 1 S△mp=SaaP+SAoP=2（-D+3p十4)X 4-(-1切=-2+艺+10=-号(。-)°+ 5.:-1<p<4当D=多时，△BDP的面积最大， 最大值为要，此时点P的坐标为（停，一》 M 1B D x=1 ③ (第4题) 21拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 专题特训四二次函数与线段长、角度、图形面积的综合 类型一二次函数与线段长的综合题 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A(一2,0)和点B(6,0),与y轴交于 点C(0,6). (1)求二次函数的表达式. (2)M为抛物线对称轴上的动点，连接AC,CM,AM,求△ACM周长的最小值. 0 B (第1题) 2.[2025毫州涡阳段考]如图，抛物线y=一x2+2x十8与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C. (1)求点A,B,C的坐标 (2)点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M,交抛物线于点N,求线段MN 长的最大值， (3)该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使BQ=AC?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由。 B A O PB 备用图 (第2题) 34 第21章二次函数与反比例函数 类型二二次函数与角度的综合题 B如图，在平面直角坐标系中，抛物线y三一2+c+c(b,c是常数)的顶点为D,该抛物线与 x轴交于A(一2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接AD, (1)求b,c的值及直线AD对应的函数表达式. (2)E是抛物线上一点，连接AE.若∠DAE=45°，求点E的坐标. (第3题) 类型三二次函数与图形面积的综合题 4.如图，抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)经过点A(-2,0),B(4,0),C(0,一8)，与直线y=x-4交 于B,D两点. (1)求抛物线对应的函数表达式及点D的坐标！ (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M,使△MBD的面积为10？若存在，求出点M的坐标；若 不存在，请说明理由。 (3)P为直线BD下方抛物线上的一个动点，连接BP,DP,求△BDP面积的最大值及此时，点P 的坐标。 备用图 (第4题) “答案与解析”见D20 35