专题特训1 二次函数中的最值问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 专题特训一二次函数中的最值问题 类型一二次函数与线段有关的最值问题 1.★[2025潍坊中考节选]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a.x2+bx(a<0)与正比例函数 y=kx的图象都经过点A(3,3),P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴 的垂线，交OA于点C,交x轴于点D.若A为该二次函数图象的顶点，求： (1)该二次函数的表达式. (2)线段PC长的最大值， A B (第1题) 类型二二次函数与线段和有关的最值问题 2.如图，抛物线y=ax2十bx十3(a≠0)与x轴交于A,B两，点，与y轴交于点C,点A的坐标是 (一1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1. (1)求点B的坐标. (2)在对称轴上找一点P,使PA十PC的值最小，求点P的坐标和PA十PC的最小值， (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于点 Q.依题意补全图形，当MQ十√2CQ取得最大值时，求点M的坐标. y↑x=1 R /01 /01 备用图 (第2题) 14 第21章二次函数与反比例函数 类型三二次函数与面积有关的最值问题 3.如图①，在平面直角坐标系中，直线y=一x十4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y= a.x2+bx+c(a≠0)经过点A,B,C(点B在点A的右侧)，点A的坐标为（一1,0） (1)求抛物线对应的函数表达式 (2)如图②，P是直线BC上方抛物线上一动，点，连接BP,CP,求△BCP面积的最大值. (3)在(2)中当△BCP的面积最大时，G为y轴上一动点，求|PG一AG引的最大值 ② 备用图 (第3题) 类型四二次函数与图形变化有关的最值问题 4.已知二次函数y=kx2一6kx+5k(k>0)经过A,B两定点（点A在，点B的左侧），顶点为P. (1)求定点A,B的坐标 (2)把二次函数y=kx2一6k,x十5k的图象在直线AB下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的 部分与原二次函数图象位于直线AB上方的部分的组合图象记作图象W,求向上翻折部分对应 的函数表达式 (3)在(2)的条件下，已知△ABP的面积为8. ①当1≤x≤4时，求图象W中y的取值范围. ②若直线y=m与图象W从左到右依次交于C,D,E,F四点，且CD=DE=EF,求m的值. “答案与解析”见D9 1590°.∴.∠ADN=∠DCM.在△AND和△DMC中， ∠AND=∠DMC, ∠ADN=∠DCM,∴.△AND≌△DMC(AAS). AD=DC, ∴.AN=DM,DN=CM.设D(a,b).点A,C的坐标分 a-2=5-b, a=3, 别是（一1,5），(2,0)，. 解得 a+1=b, b=4. :D3,.:点D在抛物线)=分2十红上号× 1 8+3k=4d6=号 O CM (第5题) 6.y=-2x2+8x-9二次函数y=ax2+bx+c的图 象的顶点坐标是(2,1)，且图象与y轴交于点(0,9)，.折 叠后的函数图象的顶点坐标是(2，一1)，且图象与y轴交 于点(0，一9).设折叠后的图象对应的函数表达式为y= a(x-2)2一1，将(0，-9)代入，得-9=a(0-2)2-1,解得 a=一2.·折叠后的图象对应的函数表达式为y= 一2(x一2)2一1=-2x2+8x一9. 7.y=石x-3+4或y=名x-3)-2由题意知，抛 物线y=女-3)十1的顶点坐标为(3,1)，抛物线y= 4:2-x十c的对称轴为直线x=云：两抛物线为同向 共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度，2a=3,y ax2一x十c的顶点坐标为(3,4)或(3，一2).∴.a= 6,则该 抛物线对应的函数表达式为y一合(：一3)加十4或y 名c-3-2 8.(1)抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于点A(1,0), 0=-1+b十c, b=4, B(3,0),. 解得 .抛物线对应 0=一9+3b+c, c=-3. 的函数表达式为y=一x2+4x一3.(2)抛物线y= -x2十4x-3与y轴交于点C,.C(0,-3).设直线BC 对应的函数表达式为y=x一3，将B(3,0)代入，得0= 3k一3.∴.k=1.∴.直线BC对应的函数表达式为y=x 3.(3):点P的横坐标为m,PQ∥y轴，P(m, -m2+4m-3),Q(m,m-3).当0<m<3时，PQ=d= -m2+4m-3-(m-3)=-m2+3m;当3≤m<4时， PQ=d=m-3-(-m2+4m-3)=m2-3.(4)B(3, 0),C(0,一3)，∴.OB=OC=3..∠OCB=∠OBC=45 .PQ∥OC,∴.∠PQB=∠CB=45°.若BP=PQ,则 ∠PQB=∠PBQ=45°..∠BPQ=90°，此时点P与点A 重合.∴.m=1.若BP=QB,则∠BQP=∠BPQ=45°. ∴.∠QBP=90°.∴.易得直线BP对应的函数表达式为 y=-x+3, x=2, y=-x十3.联立 解得 或 y=-x2+4x-3, y=1 x=3, ∴.P(2,1).∴.m=2.若QB=PQ,则(m-3)2十 y=0. (m-3-0)2=(-m2+3m)2.∴.m=±√2.综上所述，m 的值为1或2或土2 9y=8x+2当AB与y轴重合时，：AB=10,M(0, 2),AP+PM=10,.P(0,1).设抛物线对应的函数表达 式为y=ax2+1,当点A,P重合时，AM=AB=10.如图 ①，过点A作AN⊥y轴于点N.:点A的纵坐标为10， 则MN=8,∴.AN=√AM-MN=6..A(-6,10). 将A(-6,10)代人y=ax2+1,得36a+1=10,解得a= 子“抛物线对应的函数表达式为y一子十1.如图@， 1 现将点M向上平移若干个单位长度后重新作抛物线，所得 新抛物线的开口最大宽度增加了4，设M(0,m),,∴.MN= 10-m,AN=6+2=8,AM=10.∴.102=82+(10-m)2, 解得m=4.∴·新抛物线的顶点坐标为P(0,2).设新抛物 线对应的函数表达式为y=ax2十2，将A(-8,10)代人，得 10=64a十2，解得a=尽新抛物线对应的函数表达式 1 为y=8x2+2 y A(P) A(P)ss-------N M 0 0 ① ② (第9题) 专题特训一二次函数中的最值问题 /9a+3b=3, 1.(1)A(3,3)为该二次函数的顶点，. 2a 9 1 a=一了'：该二次函数的表达式为y=-3r十 1 b=2. 2x.(2)正比例函数y=kx的图象经过点A(3,3), ∴.3k=3..k=1..正比例函数的表达式为y=x.设 1 0D=t(0≤i≤3)，则CD=t,PD=-3+2,PC= PD一CD=一 +2-1= 3 t2十t 号(-)°+子∴当=受时，线段P心的长取得最 大值，最大值为子 方法归纳 求平行于坐标轴的线段长最值的方法 当要求最值的线段平行于坐标轴时，常通过设点的 坐标为未知数，表示出线段长之后，得到一个二次函数， 利用二次函数的最值求出线段长的最值 2.(1)由题意知，点A(一1,0)，B关于直线x=1对称， ∴.点B的坐标为(3,0).(2)：抛物线y=ax2+ba十3 (a≠0)与y轴交于点C,∴.C(0,3).如图①，连接BC交对 称轴于点P,连接AP.·点A,B关于抛物线的对称轴对 称，P为其对称轴上一点，∴.AP=BP..PA十PC= PB+PC≥BC.当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最 小，为BC的长.B(3,0),∴.BC=√32+32=3√2. ∴.PA+PC的最小值为3√2.设直线BC对应的函数表达 式为y=+n,将B3.0).C(03代人，得=3， 解 {3k+n=0, n=3, 得 k=-1. .直线BC对应的函数表达式为y=一x十3. ,点P在抛物线的对称轴上，.当x=1时，y=一x十 3=2,则点P的坐标为(1,2).(3)补全图形如图②所示. :A(一1,0)，B(3,0),∴.设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x+1)(x-3).C(0,3),.3=-3a,解得a= -1..y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.设M(m, 一m2+2m+3)(0<m3),则N(m,0).由(2)知，直线BC 对应的函数表达式为y=-x+3,∴.Q(m,一m+3). ∴.MQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m..C(0, 3),B(3,0),.OC=OB=3,BN=3-m.∴.∠OBC= ∠OCB=45°.∴.∠NQB=90°-45°=45=∠OBC.∴.易 得BQ=√2BN=√2(3-m).∴.CQ=BC-BQ=3√2- D 32+√2m=√2m.∴.MQ+√2CQ=-m2+3m+√2· 2m=一m2+5m=-(m-号)'+2草当m=号时， MQ+2CQ有最大值，此时-m2+2m+3=-(受)'+ 2X+8子则点M的坐标为（停，号） y↑x=1 Dr /O1出N ① ② (第2题) 3.(1)直线y=一x十4与x轴交于点B,与y轴交于 点C,∴.B(4,0),C(0,4).:抛物线y=ax2+bx+c(a≠ 0)经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,4), a-b十c=0, a=-1, 16a+4b十c=0,解得b=3, .抛物线对应的函数 c=4, c=4. 表达式为y=一x2+3x+4.(2)如图①，过点P作PE∥ y轴，交BC于点E.:B(4,0),.OB=4.设P(m, -m2+3m+4).PE∥y轴，∴.E(m,-m+4). ∴.PE=-m2+3m+4-（-m+4)=-m2+4m. Saw=5a+-号PE·0B=2(-m2十 4m)×4=-2m2+8m=-2(m一2)2+8...当m=2时， △BCP面积的最大值为8.(3)由(2)知，当△BCP的面 积最大时，点P的坐标为(2,6).如图②，作点P关于y轴 的对称点P',则点P'的坐标为（一2,6），连接PP交y轴 于点F,连接PA,P'G.点P,P'关于y轴对称， ∴.PG=PG.∴.IPG-AG引=|P'G-AG≤P'A,当且仅 当点P',A,G在同一条直线上时，取等号.∴.|PG-AG引 的最大值为P'A的长.，P'A= √-2-(-1)+(6-0)2=√37，∴.|PG-AG的最大 值为√37. (第3题) 10 4.(1)二次函数的表达式可化为y=k(x一1)(x一5)， ∴.该函数图象恒过点(1,0)，(5,0.：点A在点B的左 侧，.定点A的坐标为(1,0)，定点B的坐标为(5,0) (2),直线AB就是x轴，∴.翻折前与翻折后的图象关于 x轴对称.∴.向上翻折部分对应的函数表达式为y= -kx2+6kx-5k(1≤x≤5).(3)①A(1,0),B(5, 0,.对称轴为直线x=1十5=3.将x=3代入y=kx2 2 6kx+5k,得y=一4k..·△ABP的面积为8，.(5一1)X 1-4X号-8k=士1.：k>0k=1.图象W 向上翻折部分对应的函数表达式为y=一x2十6x一5(1≤ x≤5).：1≤x≤4，顶点在AB之间的图象W上，该段图 象开口向下，对称轴为直线x=3,∴.当x=3时，y最大旗 4;当x=1时，y绿小微=0..当1≤x≤4时，图象W中y的 取值范围是0≤y≤4.②，直线y=m与图象W从左 到右依次交于C,D,E,F四点，∴.y=x2一6x十5的图象 与直线y=m交于点C,F,可得x2-6x十5=m.设C,F -6=6, 两点的横坐标分别为1，x2,.x1十x2=一 x1x2=5-m.∴.CF=|x1-x2|= √(x1+x2)2-41x2=√6-4(5-m)..y=-x2十 6x一5的图象与直线y=m交于点D,E,.一x2十6x一 5=m,易得DE=√/62一4(5十m)..CD=DE=EF, ∴.CF=3DE,即√62一4(5-m)=3×√62一4(5+m). 16 两边同时平方，解得m=5 21.3二次函数与一元二次方程 1.C易知函数y=a.x2一2ax十c图象的对称轴为直线 x=-2a=1.由表格数据可得，当x=一0.4时，y 2a -0.04<0;当x=-0.5时，y=0.25>0,∴.关于x的方 程a.2-2ax+c=0的较小根x1的取值范围是一0.5< x1<一0.4.，函数y=a.x2一2a.x十c图象的对称轴为直 线x=1,则1一（一0.4）+1=2.4,1一（一0.5）+1=2.5， ∴.关于x的方程ax2一2a.x十c=0的较大根x。的取值范 围是2.4x。<2.5. 2a<考且a≠1：二次函数y=(a-1)x2-2x+3的 图象与x轴有两个交点，∴.方程(a一1)x2一2x十3=0有 两个不相等的实数根.∴.△=（一2）2一4×(a一1)×3= D 16-12a>0,解得a<号.又a-1≠0，.a≠1，则a的取 值范阁是a<号且a≠1 易错警示 二次函数的二次项系数不能为零 题中的函数是二次函数，则隐含二次项系数不为0 此题容易漏掉α≠1的情况导致错解 3.(1)由图象可知，该函数的图象与x轴交于点（一1,0）， (3,0)...方程ax2十bx十c=0的两个根为x1=一1，x2=3. (2)由图象可知，不等式ax2十bx+c<0的解集为一1< x<3.(3)由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是 一4≤y≤0.(4)由图象可知，若方程a.x2+bx十c=k有 正一负两个实数根，则k必须大于抛物线y=ax2十bx十 c与y轴交点的纵坐标一3.∴.k的取值范围是k>一3. 4.D由题意可得，方程a.x2一2a.x十a一3=0的两根异 号，x1c2-a二3<0，解得0<a<3.该函数图象的开 口向上.故A不符合题意.：y-ax2-2ax十a-3(a≠0) 图象的对称轴为直线x=一2210>0，当x>1时， y随x的增大而增大.故B不符合题意.：当x=1时， y=-3,∴.该函数的最小值为一3.故C不符合题意.当 x=2时，y=4a-4a十a-3=a-3.0<a<3,∴.y<0. 故D符合题意 5.A将y=a.x2-2a.x+a十2(a<0)化成顶点式为y= a(x一1)2十2(a<0),∴.抛物线的对称轴为直线x=1. ∴.M,N两点关于直线x=1对称.根据题意，知抛物线在 点M,N之间的部分与线段MN所围区域（包括边界）恰有 5个整点，即这些整点是(0,0)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0) (如图).当x=0时，y=a十2：当x=-1时，y=4a+2, (0a+21, 解得一2a<一1. l4a+20, 3 M 3210 34 (第5题) 6.(108 :抛物线y=a.x2一x十2(a≠0)与x轴只有