专题特训2 二次函数的实际应用(限定范围)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 专题特训二二次函数的实际应用（限定范围） 类型一与图形面积有关的实际应用 1.【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内有一棵古树P与墙CD,AD的距离分 别是16m和9m.在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用32m长 的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=xm. 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树P围在花园内（含边界，不考虑树的 粗细).设矩形花园ABCD的面积为Sm. (1)BC的长为 m(用含x的代数式表示). (2)矩形花园ABCD的面积能否为240m?若能，求出x的值；若不能，请说明理由. (3)当x为何值时，S的值最大？最大值为多少？ B 16m- 9m D (第1题) 类型二与体育运动有关的实际应用 2.体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏.如图，以水平方向为x轴， O为原，点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出(PO=1.5m),小球的运动轨迹为抛物线L: y=a(x-h)2十k.无盖木箱的截面图为矩形ABCD,其中AB=0.5m,BC=1m,且BC在x轴 上，OB=2.6m.已知当小球到达最高点时，高度为2m,与起点的水平距离为1m. (1)求抛物线L对应的函数表达式. (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内. (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大 高度可达0.72m,则该小球能否弹出箱子？请说明理由. y/m 2 0 A D O1 B C x/m (第2题) 24 第21章二次函数与反比例函数 类型三与商品利润有关的实际应用 3.某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元. 经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部 分数据如下表： 销售单价x/元 … 12 13 14 每天的销售数量y/件 36 34 32 (1)求y与x之间的函数表达式 (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利元，则当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多 少元？ 类型四与身边生活有关的实际应用 4.为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了排队人数y与检票时间x(分 钟)、开放检票通道数量n(个)之间的关系，有下列发现： 发现1：候车总人数y1=-x2+30x+50: 发现2：已检票人数y2=6mx; 发现3：排队人数y=y1一y2 其中0≤x≤15,0≤n≤10且x为整数. (1)当开放4条检票通道时，排队人数y与检票时间x(分钟)之间的函数表达式为 (2)在(1)的条件下，排队人数y在第几分钟达到最大值？最大值是多少？ (3)若要求排队人数最晚在第7分钟后（包括第7分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节 省开支，求至少应打开几条检票通道 “答案与解析”见D16 25应的函数表达式为y=x十b,将C(6,9)代入，得6+b=9. 解得b=3.∴.直线CH对应的函数表达式为y=x+3.当 x=0时，y=3..S(0,3).把直线CH向下平移m个单位 长度可得直线y=x+3一m.当直线y=x十3一m与抛物 线y=x2只有1个交点时，直线CH与直线y=x十3 m之间的距离为最大深度.令子2=x十3一m,即子x2 x一3十m=0.∴.△=1-（-3+m)=0,解得m=4.∴平 移后的直线为y=x一1.记平移后的直线与y轴交于点 K,过点S作SJ垂直于平移后的直线于点J.易得K(0, -1),∠SKJ=45°，∴.SK=3-(-1)=4(cm),易得SJ= 2√2cm.∴.腕中面汤的最大深度为2√2cm. M N (第6题) 专题特训二二次函数的实际应用（限定范围） 1.(1)(32一x).(2)能.根据题意，得x(32一x)=240. 整理，得x2-32x十240=0，解得x1=12,x2=20.古树 P与墙CD,AD的距离分别是16m和9m,∴.32-x≥16， x≥9..9≤x≤16.∴.x的值为12.(3)由题意，得S= x(32-x)=-x2+32x=-(x-16)2+256.9≤x≤ 16,∴.当x=16时，S的值最大，最大值为256 2.(1)·当小球到达最高点时，高度为2，与起点的水 平距离为1m∴.h=1,k=2,则y=a(x-1)2+2. :P0=1.5m,∴P(0,1.5).将P(0,1.5)代入y=a(x- 1)2+2,得1.5=(0-1)2a+2,解得a=-2小y= -x-1P+2(2):AB=05m,BC=1m,0B= 2.6m,∴.A(2.6,0.5),D(3.6,0.5).令y=0.5,则 0.5=-2(x-1)2+2,解得x=3+1x2=-3+1(舍 去).2.6<3十1<3.6，∴.该同学抛出的小球能投入箱 内.(3)该小球能弹出箱子.理由：令y=0,则0= -合红-1)+2，解得，=3，，=-1.抛物线L与 x轴的正半轴交于，点(3,0).由题意，设抛物线M对应的函 D 数表达式为y=一2-)十0.72，将(3,0)代人，得 0=-2（3-h)+0.72,解得么，=1.8，h:=4.2:该小 球投入箱内后立即向右上方弹起，∴.h>3,则h=4.2. 抛物线M对应的函数表达式为y=一之（女一42少十 072令x=3.6,则y=-2×(3.6-42)+0.72= 0.54..0.540.5,.该小球能弹出箱子 3.(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， 36=12k+b, 把(12,36)和(13,34)代入，得 解得 34=13k+b, k=一2， ∴.y与x之间的函数表达式为y=一2x+60. b=60. (2)由题意，得(x-10)(一2x+60)=192,整理得，x2一 40x十396=0，解得x1=18,x2=22.10x19,∴.x= 18,即销售单价为18元.(3)由题意，得=(x一10)· (-2x+60)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2+200. -2<0,10≤x≤19，.当x=19时，0的值最大， w最大微=198.∴.当销售单价为19元时，每天获利最大，最 大利润为198元. 4.(1)y=-x2+6x+50.(2)由(1)，得y=-x2+ 6x+50=-(x-3)2+59.:'-1<0,∴.当x=3时，y达 到最大值，最大值是59..排队人数y在第3分钟达到最 大值，最大值是59.(3)根据题意，得y=一x2+30x十 50-61.x=一x2+(30一6m)x+50.:要求排队人数最晚 在第7分钟后（包括第7分钟）开始减少，一.一2X(二≤ 30-6n 7,即15-3m<7,整理得3n≥8，解得n≥号≈2.67.：n 为正整数，.n≥3.∴.至少应打开3条检票通道. 21.5反比例函数 第1课时反比例函数 1.B根据反比例关系的定义（两个量的乘积一定），可知 B选项符合题意： 2.C y=I. 1 = 元，y=一1符合反比例函数的定义，它 们是反比例函数，共3个 16