21.4 第3课时实际问题中的其他最值问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 第3课时实际问题中的其他最值问题 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基◆ 1.某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m) 之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB,垂足为A.已知OC=OB=8,OA= 2m,则该水流距水平面的最大高度AD为 () A.9m B.10m C.11m D.12m ↑P/W 165- 4 1/A 220V 0A B x/m ① ② (第1题) (第2题) 2.情境学科融合某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图①所 示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻R,不变，绘 制出变阻器R消耗的电功率P(W)随电流I(A)变化的关系图象（如图②）.该图象是经过原点 的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率最大为 W. 3.舒情境传统文化[2026合肥包河期末]红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂红灯笼成为我国的 种传统文化.小明在春节前购进一种畅销的红灯笼，每对红灯笼的进价为35元.经市场调查发 现，当每对红灯笼的售价为50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对.物价部门 规定其销售单价不高于每对65元，设红灯笼每对涨价x元，小明一天卖红灯笼获得利润W元. (1)求出W与x之间的函数表达式 (2)当红灯笼的销售单价为多少元时，一天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.[2026滁州凤阳期末]某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利 润y(万元)与投入的资金x(万元)成正比例关系，如图①所示；种植果树的利润y(万元)与投入 22 第21章二次函数与反比例函数 的资金x(万元)成二次函数关系，如图②所示.若这位专业户投入种植茶树及果树的资金共 10万元，则他能获得的最大总利润是 () ↑y/万元 ↑y/万元 P(1,2) 2 0(2,2) 1 2x万元 0 12x7万元 ⊙ ② (第4题) A.20万元 B.32万元 C.48万元 D.50万元 5.舒情境传统文化投石车（如图）是利用杠杆原理抛射石弹的人力远射兵器，结构简单，长端是用皮 套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原 理将石块抛出.研究发现：竖直向上抛出的石块的高度h(m)满足关系式h=一5t2十vot,其中 t(s)是石块运动的时间，vo(m/s)是石块被抛出时的速度. (1)若在调试阶段设定wo=10,求石块被抛出的最大高度. (2)①若被抛出的石块能达到的最大高度为20m,求石块被抛出时的速度. ②按①中的速度抛出石块，若石块被抛出的高度有两次达到15m,则小辉认为：“两次达到高度 为15m之间的间隔时间为2s.”请判断他的说法是否正确，并说明理由. (第5题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 6.如图①所示为一个瓷碗的截面图，碗体DE℃呈抛物线形（碗体的厚度忽略不计），碗口宽CD= 12cm,此时面汤的最大深度EG=9cm.如图②，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当 ∠ABM=45°时停止，此时碗中面汤的最大深度为 (① ② (第6题) >“答案与解析”见D15 230),故可设抛物线对应的函数表达式为y=ax(x一400) (a<0).:E为抛物线的顶点，∴.E(200,一40000a) AB⊥x轴，点B的横坐标为400.BN∥x轴， ∴.点H,F,C,B的纵坐标相同.FE∥HGCD∥AB∥ y轴，BC=120m,∴.设H(160,n),C(280,n).HG∥ y轴，∴.G(160,-38400a.同理可得D(280,一33600a. 设直线OG对应的函数表达式为y=kx,则一38400a= k×160,解得k=-240a.∴.y=-240a.x.·F,G,O三点 共线，∴.yr=-48000a,即n=-48000a.∴.H(160, -48000a),C(280,-48000a)..∴.HG=-48000a (-38400a)=-9600a(m),CD=-48000a- (-33600a)=-14400a(m),AB=-48000am. .E(200,-40000a),F(200,-48000a),∴.EF= -4800a-(-4000a)=-800a(m.·. HG -9600a=2EF=-8000a=1 -14400a3'AB-48000a6 第3课时实际问题中的其他最值问题 1.A根据题意，设抛物线对应的函数表达式为y= 4a十k=8, a(x-2)2+k,将C(0,8),B(8,0)代入，得 解 {36a+k=0, a=- 1 得 4’.抛物线对应的函数表达式为y= k=9 子-2)+8：当1=2时y=9,即AD=9m 2.220·该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过 点(1,165)，(0,0)，(4,0)，∴.抛物线的对称轴为直线I=2. 设抛物线对应的函数表达式为P=a(I一2)2+k, (165=(1-2)2a+k, a=-55, 解得 .P=-55( 《0=(4-2)2a+k, k=220. 2)2+220.-55<0,.P有最大值，为220，即变阻器R 消耗的电功率最大为220W. 3.(1)由题意，得每对红灯笼的利润为(50十x一35)元，每 天的销售量为(98一2x)对.，销售单价不高于65元， .50+x≤65，得x≤15..0≤x≤15..W=(50+x- 35)(98-2x)=-2x2+68x+1470(0x15).(2)由 (1),得W=一2x2+68x+1470=-2(x一17)2+2048. 一2<0，.二次函数的图象开口向下，函数有最大值. 其图象的对称轴为直线x=17,0≤x≤15，∴.当x=15 时，W取得最大值，此时销售单价为50+15=65（元）.将 D x=15代人表达式，得W=一2×152+68×15+1470= 2040.∴.当红灯笼的销售单价为65元时，一天获得的利润 最大，最大利润是2040元. 4.D设种植茶树的利润y(万元)与投入的资金x(万元) 之间的函数表达式为y=kx.把P(1,2)代人y=kx,得 =2,∴.种植茶树的利润y(万元)与投入的资金x(万元) 之间的函数表达式为y=2x.设种植果树的利润y(万元) 与投人的资金x(万元)之间的函数表达式为y=ax2.把 Q(2,2代人y=ar,得2=4，解得a=号·种植果树 的利润y(万元)与投人的资金x(万元)之间的函数表达式 为y一子，设这位专业户投入种植果树的资金为m万 元，则投入种植茶树的资金为(10一m)万元.设他获得的利 涧为w万元由题意，得0=2(10-m)十2m2=2m 2m2- 2m+20=号(m-2y+18:2>0,0≤m≤10，当 1 m=10时，0最大微=50..他能获得的最大总利润是 50万元. 5.(1)由题意，知当=10时，h=-5t2+10t=-5(t- 1)2+5..一50，∴.抛物线开口向下，有最大值.∴.当 t=1时，h最大微=5，即当t=1时，石块被抛出的高度最大， 最大高度是5m.(2)①由h=一5t+v,t知，抛物线的 对称轴为直线1=一2X器当：=品时，A -(份厂+w·品-器=20，整理，得6=00，解得 。=20或=一20（不符合题意，舍去）..石块被抛出时 的速度是20m/s.②他的说法正确.理由：由(2)①，得 h=-5t2+20t.当h=15时，15=-5t2+20t,解得t,=1, t2=3..3一1=2(s),∴.他的说法正确. 6.2√2m如图，以E为原点，点E所在水平直线为 x轴，直线GE为y轴，建立平面直角坐标系，记CH与 y轴的交点为S,则点E的坐标为(0,0).设抛物线对应的 函数表达式为y=a.x2.,CD=12cm,EG=9cm,∴.C(6, 9.将C(6,9)代人y=ar,得a×6=9,解得a=子 “抛物线对应的函数表达式为y=.”把瓷豌绕 点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止， .旋转前CH与水平方向的夹角为45°.易设直线CH对 15 应的函数表达式为y=x十b,将C(6,9)代入，得6+b=9. 解得b=3.∴.直线CH对应的函数表达式为y=x+3.当 x=0时，y=3..S(0,3).把直线CH向下平移m个单位 长度可得直线y=x+3一m.当直线y=x十3一m与抛物 线y=x2只有1个交点时，直线CH与直线y=x十3 m之间的距离为最大深度.令子2=x十3一m,即子x2 x一3十m=0.∴.△=1-（-3+m)=0,解得m=4.∴平 移后的直线为y=x一1.记平移后的直线与y轴交于点 K,过点S作SJ垂直于平移后的直线于点J.易得K(0, -1),∠SKJ=45°，∴.SK=3-(-1)=4(cm),易得SJ= 2√2cm.∴.腕中面汤的最大深度为2√2cm. M N (第6题) 专题特训二二次函数的实际应用（限定范围） 1.(1)(32一x).(2)能.根据题意，得x(32一x)=240. 整理，得x2-32x十240=0，解得x1=12,x2=20.古树 P与墙CD,AD的距离分别是16m和9m,∴.32-x≥16， x≥9..9≤x≤16.∴.x的值为12.(3)由题意，得S= x(32-x)=-x2+32x=-(x-16)2+256.9≤x≤ 16,∴.当x=16时，S的值最大，最大值为256 2.(1)·当小球到达最高点时，高度为2，与起点的水 平距离为1m∴.h=1,k=2,则y=a(x-1)2+2. :P0=1.5m,∴P(0,1.5).将P(0,1.5)代入y=a(x- 1)2+2,得1.5=(0-1)2a+2,解得a=-2小y= -x-1P+2(2):AB=05m,BC=1m,0B= 2.6m,∴.A(2.6,0.5),D(3.6,0.5).令y=0.5,则 0.5=-2(x-1)2+2,解得x=3+1x2=-3+1(舍 去).2.6<3十1<3.6，∴.该同学抛出的小球能投入箱 内.(3)该小球能弹出箱子.理由：令y=0,则0= -合红-1)+2，解得，=3，，=-1.抛物线L与 x轴的正半轴交于，点(3,0).由题意，设抛物线M对应的函 D 数表达式为y=一2-)十0.72，将(3,0)代人，得 0=-2（3-h)+0.72,解得么，=1.8，h:=4.2:该小 球投入箱内后立即向右上方弹起，∴.h>3,则h=4.2. 抛物线M对应的函数表达式为y=一之（女一42少十 072令x=3.6,则y=-2×(3.6-42)+0.72= 0.54..0.540.5,.该小球能弹出箱子 3.(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， 36=12k+b, 把(12,36)和(13,34)代入，得 解得 34=13k+b, k=一2， ∴.y与x之间的函数表达式为y=一2x+60. b=60. (2)由题意，得(x-10)(一2x+60)=192,整理得，x2一 40x十396=0，解得x1=18,x2=22.10x19,∴.x= 18,即销售单价为18元.(3)由题意，得=(x一10)· (-2x+60)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2+200. -2<0,10≤x≤19，.当x=19时，0的值最大， w最大微=198.∴.当销售单价为19元时，每天获利最大，最 大利润为198元. 4.(1)y=-x2+6x+50.(2)由(1)，得y=-x2+ 6x+50=-(x-3)2+59.:'-1<0,∴.当x=3时，y达 到最大值，最大值是59..排队人数y在第3分钟达到最 大值，最大值是59.(3)根据题意，得y=一x2+30x十 50-61.x=一x2+(30一6m)x+50.:要求排队人数最晚 在第7分钟后（包括第7分钟）开始减少，一.一2X(二≤ 30-6n 7,即15-3m<7,整理得3n≥8，解得n≥号≈2.67.：n 为正整数，.n≥3.∴.至少应打开3条检票通道. 21.5反比例函数 第1课时反比例函数 1.B根据反比例关系的定义（两个量的乘积一定），可知 B选项符合题意： 2.C y=I. 1 = 元，y=一1符合反比例函数的定义，它 们是反比例函数，共3个 16