第21章 二次函数与反比例函数拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第21章二次函数与反比例函数 第21章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.关于抛物线y=一x2十6x十7，下列说法正确的是 A.开口向上 B.对称轴是直线x=一3 C.与y轴的交点坐标是(0,7) D.顶点坐标是(3,2) 2.设A(一5，y1),B(1y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x十1)2+3上的三点，则y1y2y的大小关 系为 () A.y2>y3>y1 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 3.二次函数y=a.x2十bx十c中自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1.49 -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 方程ax2+bx十c=0的一个近似解是 ) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 4如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=飞的图象与一次函数y=r十b的图象交于点 A(-1,m),B(2,1),则关于x的不等式>ax十b的解集为 Ax<-1或0<x<2 B.-1<x<0或x>2 C.x<-1或x>2 D.-1<x<2 y/m 48x/m A (第4题)》 (第5题) (第6题) 5.加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求.体育课上， 一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度y()与水平距离 x(m)之间的函数表达式为y=ax2十bx十c(a≠0).如图，A,B,C三点在该函数图象上，当实心 球行进到最高点时，对应的水平距离可能为 () A.3m B.4m C.5m D.6m 6.学习“二次函数的图象和性质”时，九年级某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛 物线C1:y=-(x十1)2+2平移到抛物线C2:y=-(x-2)2-1,点P(m,n1),Q(m,n2)分别在 抛物线C1,C2上.甲：“无论m取何值，都有n2<0.”乙：“若点P平移后的对应点为P',则点P 移动到点P'的最短路程为3√2.”丙：“当一3<m<1时，随着m的增大，线段PQ先变长后变 短.”下列判断正确的是 () A.只有丙说得不对B.只有乙说得不对C.只有甲说得对 D.甲、乙、丙说得都对 39 拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 7.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上，反比 例函数y=(k>0,x>O)的图象经过顶点D,分别与对角线AC、边BC交于点 E,F,连接EF,AF,若E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为( A臂 (第7题) B.3 C.4 D.6 8.如图，平面直角坐标系中等腰直角三角形AOB的斜边OB在x轴上，且AO=AB=2.将直 线x=t从y轴出发向右平移，△AOB在该直线左侧部分的面积记为S,则S与t之间的函数图 象为 x=t 2 B 0 222t 0 222t0 2 22t 2 2,2t (第8题) A 二、填空题（每小题5分，共20分） 9.若y=(m十2)xm-2+2x一3是二次函数，则常数m的值为 10.已知二次函数y=a.x2+4ax十3a(a为常数，且a≠0)在-3≤x≤1的范围内有最大值16，则a 的值为 11.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验， ↑y/(微克/毫升) 测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x(小时)之间 8- 的函数关系如图所示，其中4小时后y是关于x的反比例函数.由图象可 知，血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时 x/小时 (第11题) 12.已知二次函数y=x2-x一1，其中m≤x≤m十2(m为常数). (1)当m=0时，y的取值范围是 (2)若y≤5恒成立，则m的取值范围是 三、解答题（共48分） 13.(14分)在平面直角坐标系中，点P(一2,5)在二次函数y=ax2十bx十5(a≠0)的图象上，记该 二次函数图象的对称轴为直线x=. (1)求m的值. (2)若点Q(3m,2)在y=a.x2+bx一3的图象上，当0≤x≤3时，求该二次函数的最大值与最小 值的和. 40 第21章二次函数与反比例函数 14.(16分)某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动， 【研究背景】炒菜锅和锅盖的纵截面都是抛物线形，经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组 合而成的封闭图形 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为x轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建 立如图所示的平面直角坐标系.把锅盖和锅的纵截面的抛物线分别记为C1,C2: 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径为8dm,锅深为4dm,锅盖高为2dm. 【建立模型】(1)求出抛物线C,和C,对应的函数表达式 【应用模型】(2)若锅里的水位高度（水面到锅底的距离）是1dm,求此时水面的直径， (3)将一个底面直径为6dm,高度为2.5dm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正 常盖上？请说明理由 y/dm A x/dm (第14题) 15.(18分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(一1,0)，B(4,0),C(0,一4) 三点，P是直线BC下方抛物线上一动点. (1)求这个二次函数的表达式. (2)是否存在点P,使△PO℃是以OC为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由. (3)当动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？求出此时点P的坐标 (第15题) “答案与解析”见D23 41度，向上移动6个单位长度可得到点E,.点E的坐标为 (2-2√5,25).综上所述，直线l上存在点E,使得以D, C,B,E为顶点的四边形为菱形，此时点E的坐标为 (-6,-8)或(2-25,25). ① (第4题) 综合与实践1商场促销活动一 获取最大利润 (1)设日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数表 60k+b=120, 达式为y=kx十b(k≠0).由题意，得{ 解得 80k+b=80, k=一2， ∴.日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的 b=240. 函数表达式为y=一2x+240(60<x≤100).(2)由题 意，得(x-60)(一2x+240)=1000,整理得x2一180x+ 7700=0,解得x=70或x=110(舍去).∴.当销售单价定 为70元时，该公司获得的日利润为1000元.(3)由题 意，得0=(x-60)(-2x十240)=-2x2+360x 14400=一2(x一90)2+1800.，'该茶叶的日销量不低于 80千克，-2x+240≥80..x≤80.∴.60<x≤80. 一2<0，.当60<x≤80时，w随x的增大而增大。 ∴.当x=80时，0的值最大，为一2×(80-90)2+1800= 1600..当销售单价定为80元时，每天获得的利润最大， 最大利润是1600元.(4)为报答新老顾客，凡购买太平 猴魁茶叶的一律按八折优惠.此时售价为80元/千克，日销 量不低于80千克且利润最大. 第21章拔尖自主测评 1.C:抛物线y=一x2十6x十7，一1<0，.抛物线开 口向下.故A错误.对称轴为直线x=一2X《-D-3.故B 错误.：当x=0时，y=7,∴.抛物线与y轴的交点坐标是 (0,7).故C正确.当x=3时，y=一32十6×3十7=16， ,.顶点坐标是(3,16).故D错误 2.A:抛物线y=一(x+1)2+3的开口向下，对称轴为 直线x=一1，∴.抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应 的函数值越大.'点A(一5，y1)到直线x=一1的距离为 一5一（一1）=4，点B(1,y2)到直线x=一1的距离为 |1-(一1)川=2，点C(2,y3)到直线x=一1的距离为 |2-(-1)川=3，又：2<3<4，y2>y3>y1. 3.C.当x=1.1时，y=一0.49，当x=1.2时，y= 0.04,∴.a.x2+bz十c=0的一个根在1.1和1.2之间. x=1.2时的y值比x=1.1时的y值更接近0，∴.方程 的一个近似解为1.2. 4A由题图可知，当<-1或0K<2时，函数y=会 的图象在函数y=ax十b图象的上方，即关于x的不等式 >ar+b的解集为x<-1或0<x<2 5.C设该图象的对称轴为直线x=m,点C关于对称轴 的对称点为D,记点D的横坐标为x.由图象可知，点C 的横坐标为8，则8十20m,x=2m一8.易知点C关 于对称轴的对称点D介于A,B两点之间，∴.0<xn<4, 即02m一8<4，解得4<m<6.∴.当实心球行进到最高 点时，对应的水平距离可能为5m 6.A:抛物线C2:y=一(x一2)2一1开口向下，顶点坐 标为(2，一1)，.无论m取何值，都有n2<0,故甲说得对. :抛物线C,:y=一(x+1)2+2的顶点坐标为（一1,2）， 抛物线C2:y=一（x一2)2一1的顶点坐标为(2，一1)， .将抛物线C:y=一(x+1)2+2先向右平移3个单位 长度，再向下平移3个单位长度可得到抛物线C2:y= 一(x一2)2一1.∴.点P移动到点P'的最短路程为 √3+32=32，故乙说得对.PQ=|-(m+1)2+2+ (m-2)2+1=|-6m+6|,∴.当-3<m<1时，PQ= 一6m十6.∴.PQ随着m的增大而减小.∴.当一3<m<1 时，随着m的增大，线段PQ由长变短，故丙说得不对.结 合选项可知，A符合题意. 7D设D(m,杂)：四边形ABCD是矩形，E为AC 的中点心点E的纵坐标为会将一名%代人y=会，得 =2mE(2m,会)人小点B的横华标为30小点F 的横坐标为3m,将x=3m代入y=冬，得y一奇 F(m会)CF-奈品益：△Mr的面积 为2，..△ACF的面积为4.AB=3m一m=2m, 2k·2m」 Sancr-3m 2 一=4，解得k=6. 23 8.B过点A作AD⊥x轴于点D,设直线x=t交x轴于 点E,则OE=t.:'△AOB是等腰直角三角形，AO= AB=2,.0B=2E,则AD=2OB=E,∠A0D ∠ABD=45°.当直线x=t在点A的左侧时，如图①，设直 线x=t交OA于点G,则△OEG是等腰直角三角形，此时 1 <2EG=OE-t.S=SAORG-20E.EG= 21.当直线x=1在点A的右侧时，如图②，设直线x=: 交AB于点F,则△BEF是等腰直角三角形，此时√2<t 22,∴.EF=BE=22-t.∴.S=S0AB-S△Rr= 20A:AB-合BE·EF=号×2X2-3(2E- t)°=-t+221-2.综上所述，当0<1≤5时，图象为 开口向上的二次函数图象：当2<t22时，图象为开口 向下的二次函数图象.结合选项可知，B符合题意。 化= X一 G 0 B xO DE B ① ② (第8题) 9.2:y=(m十2)x2-2+2x-3是二次函数，.m+ 2≠0且m2一2=2..∴.m=2. 10.一16或2：二次函数的表达式为y=a.x2十4a.x+ 3a=a(x十2)2一a,∴.该二次函数图象的对称轴为直线 x=一2，顶点坐标为（一2，一a).当a<0时，函数在x= 一2处有最大值.：二次函数在一3≤x≤1的范围内有最 大值16，.一a=16..a=-16.当a>0时，离对称轴越 远函数值越大.·二次函数在一3x1的范围内有最大 值16，∴.当x=1时，y=16.∴.a+4a十3a=16.∴.a=2. 综上所述，a的值为-16或2. 11.6当0≤x<4时，设y=k.:函数图象经过点(4， 8),∴8=4k,即k=2.∴当0≤x<4时，y=2x..当药 物浓度为4微克/毫升，即y=4时，2x=4.∴.x=2.当x≥ 4时，设y=公：函数图象经过点(4,8)，8=，即 m=32.“当≥4时y-翌：当药物浓度为4微克/毫 升，即y=4时，2-4=8.根据图象可知，当2≤x≤ 8时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升.∴.持续时间为 D 8一2=6（小时） 2(①-<≤1当m=0时，0<<2：y=2 一1=(-)》-年，1>0抛物线开口向上.“当 =时y有最小值，为-系.：当x=0时y=0-0 1=一1；当x=2时，y=4-2-1=1,∴.当x=2时，y有 最大值，为1.y的取值范围是-≤y≤1.2)一2≤ m≤1①当m≥专时，：抛物线开口向上，当x>2时。 y随x的增大而增大，∴.当x=m十2时，y有最大值，为 (+2-号》-景又：y≤5相成立 (m十2-)-吾≤5，解得-4长m<1.合≤m≤ 1.@当m<<m+2,即-之<m<时，：范物线开 口向上，当x=2时y有最小值，当x=m+2时，y有 最大值，为(m+2-)°-号或当x=m时，y有最大值。 为(m-)°-号又≤5恒成立(m+2-)》- 及<5且(m-2)'-号<5，解得-2≤m<1.-< m<号.③当m十2≤号，即m<-号时，：抛物线开口向 上，当x<号时y随x的增大而诚小，“当x=m时，y 有最大值，为(m)-号又：y≤5恒成立， “(m-2)广-号<5，解得-2≤m≤3.-2≤m≤ 一号·综上所述m的取值范周是一2m≤1 13.(1)由条件可得，4a-2b+5=5,即b=2a,∴.二次函 数的表达式为y=a.x2+2a.x十5.∴.其图象的对称轴为直 践x=1m12)m= 4Q(-3,2.9a-6a-3=2,解得a=号6=2a 号：该二次图数的表达式为y=号2十号-3 号〔：十1一兰范物线开口向上，抛物线的对格精为直 线x=一1，当x>一1时，y随着x的增大而增大.0≤ x≤3，∴.当x=0时，函数有最小值，最小值为一3，当x=3 时.函数有最大值最大值为×(3+1)普=2“2十 (一3)=19，∴.该二次函数的最大值与最小值的和为19. 14.(1)锅口和锅盖贴合面的直径为8dm,∴.A(8,0), O(0,0).易知抛物线C,开口向下，顶点坐标为(4,2)，设其 表达式为y=a(x-4)2+2,代人O(0,0),得0=16a+2, 解得a=-令1抛物线C:y=-日(x-4)+2= 1 8x2+x.易知抛物线C,开口向上，顶点坐标为(4. 一4)，设其表达式为y=b(x-4)2一4，代人O(0,0),得 0=16-4,解得b=子.抛物线C:y=子（x-402- 4=子：2一2，(2)：锅里的水位高度是1dm,锅深为 4dm.4-1=3dm.在y=子2-2x中，令y=-3,则 子x2-2x=-3,解得x,=2,=6.此时水面的宜径 是6-2=4(dm).(3)能.理由：依题意，当底面直径为 86 6dm时，2-2=1(dm.在y=-8x2+x中，令x=1, 得y=名+1司在y=-2x中，令x=1,得y 7 4 }-?=一子：能放进去的圆柱体的最大高度是号 (←-子)-号dm.:号>25，锅盖能正常盖上 15.(1)设这个二次函数的表达式为y=ax2+ba+c,把 a-b+c=0, A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)代人，得16a+4b+c=0,解 c=-4, 第22章 22.1相似多边形 1.B甲：邻边的比为3：2，乙：邻边的比为2.5：1.5= 5:3,丙：邻边的比为1.5：1=3：2，.是相似图形的为甲 和丙. 方法归纳 判定两个矩形相似的方法 矩形对边相等，四个角都是直角，因此只要长与宽 的比相等，则两个矩形相似 2.2W3如图，设直线l2交AD于点M,交BC于点N.由 矩形的性质，可得AD=BC=mcm.由折叠的性质，可得 AF=FM,DM=FM,.AF=FM=DM..AD=m cm, a=1, 得b=一3，.这个二次函数的表达式为y=x2一3x一4. c=-4. (2)存在.如图①，作OC的垂直平分线DP,交OC于点 D,交BC下方的抛物线于点P,连接PO,PC...PO= PC,此时P即为满足条件的点.：C(0,一4)，.D(0, 一2)..点P的纵坐标为一2.将y=一2代人y=x2一 3-4,得x2-3江-4=-2，解得x=3二)厘（不合题意， 2 舍去)或x=3+,亚.：存在满足条件的点P,其坐标为 2 (3+)厘，-2）.3)设Pu,2-3-4)(0<1<4.如 2 图②，过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F.设直 线BC对应的函数表达式为y=kx+,则有 4k+m=0, k=1, 解得 m=-4, 、.直线C对应的函数表达 m=-4. 式为y=x-4.∴.F(t,t-4),则PF=t-4-(t2-3t一 1 4)=-t+4.·S△=2X(4-0)X(-t+4)= 一2(t一2)2+8.∴.当t=2时，S△Pc的值最大，此时t2- 3t一4=一6.∴.点P的坐标为(2，-6). (第15题) 相似形 .AF= 3mcm.:矩形ABEF与矩形BCDA相似， .AF:AB=AB:BC.∴ 1 m:2=2:m..m=23 (负值不符合题意，舍去) B EN C (第2题) 3.B设原矩形的边长为a,b,则新矩形的边长为a十2， b十2.·.原矩形的邻边的比为号，新矩形的邻边的比为 25