第21章 二次函数与反比例 单元复习 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

第21章二次函数与反比例函数 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，是的二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.在关于的一次函数中，随的增大而减小，则抛物线的开口方向为(    ) A. 向上 B. 向左 C. 向下 D. 向右 3.对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点坐标为 4.一抛物线和抛物线的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是，则该抛物线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 5.已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围为(    ) A. B. 且 C. D. 且 6.如图，是反比例函数的图象上任意一点，轴，交反比例函数的图象于点，以为边作▱，其中点，在轴上，则等于(    ) A. B. C. D. 7.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车已知在甲、乙两地的销售利润万元与销售量辆之间分别满足：，若该公司在甲、乙两地共销售辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为(    ) A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 8.已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如表所示，则下列说法正确的是(    ) A. 这个函数的图象开口向下 B. 当时， C. 这个函数的最大值是 D. 当时，随的增大而增大 9.将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是(    ) A. 向左平移个单位，向上平移个单位 B. 向右平移个单位，向上平移个单位 C. 向左平移个单位，向下平移个单位 D. 向右平移个单位，向上平移个单位 10.将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.已知二次函数，若，则函数值的取值范围是          ． 12.已知抛物线经过点和，则这条抛物线的函数解析式是          ． 13.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为，则            ． 14.如图，在中，，，动点从点出发，沿边向点以的速度移动点不与点重合，同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动点不与点重合当四边形的面积最小时，移动的时间为           三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知二次函数，当时，． 当时，求的值． 写出该函数图象的开口方向和对称轴． 当为何范围时，随的增大而增大 16.本小题分 如图，抛物线经过点 求的值，并求出此抛物线的顶点坐标． 当时，求的最小值． 17.本小题分 已知抛物线经过点和． 求，的值； 将该抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线对应的函数解析式． 18.本小题分 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 求这个二次函数的解析式． 19.本小题分 如图，抛物线的图象过点，交轴于点 求抛物线的解析式 此抛物线的图象与轴交于点、，连结，，求的面积 20.本小题分 如图，有长为的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆平行于的矩形花圃设花圃的一边为，面积为． 求与的函数关系式； 如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ 能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由． 21.本小题分 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件． 若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 如果你是该商场经理，你将如何决策使商场平均每天能获得最大盈利是多少 22.本小题分 定义：图象的顶点相同、开口大小相同、开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”． 已知二次函数，则它的“反簇二次函数”是          ． 已知关于的二次函数和，其中函数的图象经过点若函数与互为“反簇二次函数”，求函数的表达式，并写出当时，的最小值． 23.本小题分 已知关于的二次函数为常数． 若函数图象对称轴为直线，求的值 若该函数表达式可以写成，求证： 设，，在的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为，求的最大值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为， 顶点从平移到，需要先向左平移个单位，再向上平移个单位． 10.【答案】  【解析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有个交点，可以有两种情况： 直线经过对折点即右边的对折点，可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值； 若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定的取值． 【详解】解：令，则， 解得或， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． 当直线位于时，此时过点， ，即． 当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即． 由知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为； 故选：．    11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  【解析】解：如图，过点作，交轴于点，  是等腰直角三角形，，  ，  ，  ，  ，    设点，  ，，  ，  ，，同理，  ，  即，  解得  故答案为：． 作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 本题考查的是反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象与性质，等腰直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． 14.【答案】  15.【答案】【小题】 解：把，代入，得， 所以． 当时，． 【小题】 由知， 所以该函数的图象开口向上，对称轴是轴． 【小题】 由知，所以当时，随的增大而增大．   16.【答案】【小题】 【解】由题意可得，解得， ， 顶点坐标为 【小题】 抛物线的解析式为，且抛物线开口向下， 又当时，， 当时，， 当时，的最小值为．   17.【答案】【小题】 解：将点和分别代入，得解得 【小题】 或   18.【答案】  19.【答案】【小题】抛物线的图象过点，交轴于点将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线解析式为 【小题】抛物线的图象与轴交于点、， 当时，得：， 解得：，， ，， ， ， ，   【解析】解：抛物线的图象过点，交轴于点将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线解析式为； 抛物线的图象与轴交于点、， 当时，得：， 解得：，， ，， ， ， ， ． 代入已知两点的坐标，待定系数法求解析式即可； 令，求出点，的坐标，计算得出，再用面积公式求解即可． 本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点坐标的计算方法是解题关键． 20.【答案】【小题】 解：，即． 【小题】 当时，解得，． 当时，； 当时，不合题意，舍去． 当的长为时，花围的面积为． 【小题】 能根据题意，得，解得． 又当时，随的增大而减小， 当时面积最大，最大面积为．   21.【答案】【小题】 解：设每件衬衫应降价元． 由题意，得． 解得，． 要尽快减少库存， ． 答：若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元． 【小题】 设商场平均每天获得的利润为元， 则． ， 每件衬衫降价元时，可使商场平均每天能获得最大盈利，最大利润为元．   22.【答案】【小题】 【小题】 解：函数的图象经过点， 解得． ． ． 函数与互为“反簇二次函数”， ． 解得 函数的表达式为． 当时，的最小值为．   23.【答案】【小题】 解：为常数， 图象的对称轴为直线． 函数图象对称轴为直线， ． 【小题】 证明：， ，， ， ， ． 【小题】 ，，，， 当时，函数取得最大值． 函数的最大值与最小值差为， 函数的最小值为， ， ， ，． ， ，，且两个等号至少有一个可取， ，， 的最大值为．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $