2.3 一元二次方程的根与系数的关系-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

ACSaM-ACBD-X6X8-4 12.(4x-5)2+(3x-2)2=(x-3)2,设m=4x-5,n= 3x一2，则m一n=(4x一5)一(3.x一2)=x一3，则原方程可 化为m2十n2=(m一n)2,整理得m=0,即(4.x一5)(3.x 2)=0.4x-5=0,3x-2=0.1=4x2=3 5 2 一微专题·用“十字相乘法”解一元二次方程 1.因式分解得(x+4)(x十1)=0，∴.x十4=0或x+ 1=0,解得x1=一4，x2=一1. 2.因式分解得(x一42)(x一√2)=0，.x一4√2=0 或x-2=0,解得x1=4V2,x2=2. 3.因式分解得(2x+5)(x一2)=0，.2x十5=0或x 2=0,解得x1=2,x2=-2 5 4.因式分解得(2x十9)(3x-4)=0,.2x十9=0,3x 9 4 4=0,解得x1=一2x2=3 3一元二次方程的根与系数的关系 1.C当k=2时，原方程为x2-3x+2=0,:△=(-3)2- 4×1×2=1>0,∴.当k=2时，原方程有两个不相等的实 数根，选项A错误.当k=3时，原方程为2x2-3x十2=0， .△=（一3）2一4×2×2=一7<0，.当k=3时，原方程 没有实数根，选项B错误.当k=0时，原方程为x2十3x 2=0,△=32一4×1×（一2）=17>0，.当k=0时，原 方程有两个不相等的实数根，且方程两根之积等于一2，选 项C正确.当k=4时，原方程为3x2一3.x十2=0，，△ (一3)2一4×3×2=一15<0，.当k=4时，原方程没有实 数根，选项D错误 2.C解法一：方程x2一x一2=0的两个根是x1和 x2,.x1+x2=1,x1x2=-2..x12x2+x1x22= x1x2(x1十x2)=-2X1=-2.解法二：解方程x2-x一 2=0,得x1=-1,x2=2,∴.x12x2十x1x22=-2. 3.一3：x1,x2是关于x的一元二次方程x2十2x m=0的两个实数根，∴.x1十x2=一2.又：x1=1, ∴.x2=-2-x1=-2-1=-3. 4.2由题意，得x1十x2=3x2=3,解得x2=1.将x=1 代人x2-3x十k=0,得12-3×1十k=0,解得k=2. 5.29:方程x2-5x-24=0的两根分别为a,b,.a十 b=5,a2-5a-24=0..a2-5a=24..a2-4a+b= a2-5a+a+b=24+5=29. 6.(1).关于x的一元二次方程x2十(2m一1)x十m一 1=0有实数根，∴.△=(2m一1)2一4×1×(m2-1)=4m2 5 4m+1-4m+4=-4m+5≥0，解得m≤4.∴实数m 的取值范周为m≤号.《(2)：关于x的一元二次方程 x2+(2m-1)x十m2-1=0的两实数根分别为x1,x2, .x1十x2=-(2m-1),x1x2=m2-1.x1十x2+ x1x2=0,∴.一(2m-1)十m2-1=0..m2-2m=0,解得 m=0m:=2又：m≤号m=0实数m的值为0， 7.A由题意，3十4=一b,1X2=c,解得b=一7，c=2, ∴.原来的方程为x2一7x十2=0. 8.C由方程x(x十2)-3=0，得到x2十2x-3=0.:两 根之和为一2，两根之积为一3，.m,n都为负数.∴点 (m,n)在第三象限 9.A:m,n是一元二次方程x2一x=5的两个实数根， ∴.m十n=1,mm=-5,m2=m+5..原式=m十5+5+ n+1=m+n+11=1+11=12. 10.7由根与系数的关系，可得m十n=5.将n代入方程， 可得n2-5n+2=0,.n2=5m-2..m十(n-2)2=m十 n2-4n十4=m+5n-2-4m+4=m+n+2=5+2=7. 11.2:x1x2是关于x的方程x2-2x十k-1=0的两 个实数根，.x1十x2=2,x1x2=k一1，x一2x1十k一1= 0..x=21-k+1.八2+=x+22-1, a+-2-2x1十)-.22-D=4 k-1 一k,解得k=2或k=5.当k=2时，关于x的方程为x2一 2x十1=0，△=0，符合题意；当k=5时，关于x的方程为x2 一2x十4=0,4<0，方程没有实数根，不合题意..k=2. 12.一4048，方程x2一2024x一2025=0的两个根分 别是m,n,∴.m2-2024m-2025=0,n2-2024n- 2025=0,m十n=2024,mm=-2025..m2=2024m+ 2025,n2=2024n+2025.∴.(m2-2023m-2026)(n2 20231-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+ 2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mm-(m+n)+ 1=-2025-2024+1=-4048. 方法归纳 综合运用根的意义、根与系数的关系求代数式的值 求与一元二次方程两根有关的代数式的值时，若代 数式中出现相关字母的次数大于或等于2，往往需要先 利用一元二次方程根的意义降次，有时需要多次降次， 再结合根与系数的关系整体代值，通过不断地变换，化 简，最终求得代数式的值. 4 13.由题意，3x2-4x-2=0,x1十x2=3x1x2 设=号十，=号 3 -k,.x2= (停+)（得-）=号音-=- 3六k= 土原方程的解为号+号 14.(1):关于x的一元二次方程x2-2x十m-2=0有 两个实数根，∴.△=（一2）2-4×1×(m-2)=12-4m≥ 0,解得m≤3.∴.m的取值范围为m≤3. (2)思路导引 根与系数 a+b=2 的关系： ab=m-2 a2+b2=(a+b)2-2ab =4-2(m-2) m2+a2+b=16 m2+4-2(m-2)=16 m≤3 m2-2m-8=0 解方程求m的值 :a,b是关于x的一元二次方程x2-2x十m-2=0的两 个根，∴.a+b=2,ab=m-2.m2+a2+b2=16, .m2+(a+b)2-2ab-16=0.∴.m2+4-2(m-2)- 16=0..m2-2m-8=0,解得m1=-2,m2=4.又 m≤3，.m=一2，即m的值为一2. 15.(1)2:3·(2)由题意知mn是方程3x2-x-2=0 的两个根，·△=（一1）2一4×3×（一2）=25>0，∴.方程 有两个不相等的实数根，即m≠n.六m十n=3,mm= 景品+=m- n n mn （信》-2x(-号）_188把+微+7=0的两 6 3 边同时除以2，得7·()广°+29·+1=0，实数：和 可看作方程7x2+29x+1=0的根，5+1=-29. 7· 271s1-3-2973229,1三29、-19 氵-29·1=-29(+）-1-=-29×(-9） 1-7=119. 专题特训四一元二次方程根的判别式 及根与系数的关系的应用 1.D根据根的判别式进行判断，x2+1=0,此时△=0一 4<0,此方程没有实数根，选项A错误：x2+2x十1=0，此 时△=4一4=0，此时方程有两个相等的实数根，选项B错 误：x2十x十1=0，此时△=1一4=-3<0，此方程没有实 数根，选项C错误；x2十x-1=0,△=1一4×1×(-1)= 5>0,此方程有两个不相等的实数根，选项D正确。 2.C由题知，△=(-1)2-4(k2+2)=-42-7<0, 方程无实数根. 3.没有由题意得，x*(x十1)=x(x十1)十3=x2十x十 3=0,:a=1,b=1,c=3,.△=b2-4ac=12-4×1× 3=一11<0..此方程没有实数根. 4.有两个不相等的实数根，a=1,b=一(2k十4)，c= k2+4+2,∴.根的判别式△=b2-4ac=[-(2k+4)]一 4×1×(k2+4k+2)=4k2+16k+16-4k2-16k-8=8> 0.∴.方程有两个不相等的实数根. 5.B:关于x的一元二次方程ax2+4.x+1=0有两个 实数根，∴.△=b2-4ac=42-4×a×1=16-4a≥0. ∴.a≤4.，方程ax2十4x十1=0是一元二次方程，∴.a≠ 0.∴.a≤4且a≠0. 6.B:关于x的方程x2-(2k-2)x十k2-1=0有两个 实数根，∴.△=[-(2k一2)]-4(k2-1)≥0，解得k≤1. .k-3<0,2-k>0..√(k-3)7-√(2-k)7=3- k-(2-k)=3-k-2+k=1. 7.9设常数项为k,由题意得△=（一6）2一4k=36-4k, :一元二次方程有两个相等的实数根，∴.△=0，即36一 4k=0,解得k=9.∴.丢掉的常数项为9.拔尖特训·数学（北师版）九年级上 3一元二次方程的根与系数的关系 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.已知关于x的一元二次方程(k一1)x2一3x十2=0，则下列说法中正确的是 () A.当k=2时，方程有两个相等的实数根 B.当k=3时，方程两根之积等于1 C.当k=0时，方程两根之积等于一2 D.当k=4时，方程两根之和等于1 2.一题多解[2025乐山中考]若方程x2一x一2=0的两个根是x1和x2,则x12x2十x1x22的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.[2025苏州中考]已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x一m=0的两个实数根，其中x1= 1,则x2= 4.设x1,x2是关于x的方程x2一3x十k=0的两个根，且x1=2x2,则k= 5.[2025广安中考]已知方程x2-5x-24=0的两根分别为a和b,则a2一4a十b的值为 6.[2025上海虹口期末]已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x十m2-1=0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围. (2)若方程的两实数根分别为x1,x2,且满足x1十x2十x1x2=0,求实数m的值. 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 7.[2025遂宁期末]解一元二次方程x2十bx十c=0时，小刚看错了常数项c,得到的解为x1=3, x2=4.小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=1,x2=2,则原来的方程为 () A.x2-7x+2=0 B.x2-7.x+14=0 C.x2+7x+2=0 D.x2+7x+14=0 8.[2025河北中考]若一元二次方程x(x十2)一3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m, n)在平面直角坐标系中位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.若m,n是一元二次方程x2一x=5的两个实数根，则多项式m2一mm十n+1的值是 A.12 B.10 C.7 D.5 10.[2024成都中考]若m,n是一元二次方程x2一5.x+2=0的两个实数根，则m+(n一2)2的值为 11.已知x1x2是关于x的方程x2一2x十k-1=0的两个实数根，且+1=x+2x2-1,则k 的值为 12.*[2025宿迁中考]已知方程x2-2024x-2025=0的两个根分别是m,n,则(m2-2023m一 2026)(n2-2023n-2026)= 32 第二章一元二次方程 13.小明同学酷爱数学，他进一步研究，发现了一种解一元二次方程的新方法.例如方程2x2一3x一 7 =0.a=2b=-3c=-7十z2x1x,=-7 .受二3七，x2二一k,如2 (停+)川停刘-即是一-一号解得么一+原为超的解为一+国 41 4x2 了请用小明的方达年方程-4杠一2=0 14.若关于x的一元二次方程x2一2x+m一2=0有两个实数根. (1)求m的取值范围. (2)若a,b是关于x的一元二次方程x2一2x十m一2=0的两个根，且m2十a2十b2=16,求m 的值 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 15.阅读材料： 材料1：若一元二次方程ar2十似十c=0的两个根为1则1十，= a= a 材料2：已知实数m,n满足m2-m一1=0，n2-n一1=0，且m≠n,则m,n是方程x2-x一1= 0的两个不相等的实数根 (1)材料理解：一元二次方程3x2一6.x+1=0的两个根为x1,x2,则x1十x2= ,x1x2= (2)应用探究：已知两实数m,n满足3m2一m一2=0,3n2一n一2=0，则”+的值为多少？ 17 (3)思维拓展：已知实数s,t分别满足7s2+29s+1=0,t2+29t+7=0,且st≠1，求 7st一s一29的值 “答案与解析”见P21 33