2.2 第4课时因式分解法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

-S>0..a,c异号..b2-4ac>0..方程ax2+br十 c=0必有两个不相等的实数根.故②正确.③，·c是方程 ax2+bx+c=0的一个根，∴.ac2十bc十c=0.当c≠0时， ac十b十1=0，故③不正确.④：x1是一元二次方程 ar2+hr十c=0的一个根，：.x=一b±公=4ac,即 2a ±√b2-4ac=2a.x1+b.∴.b2-4ac=(2a.x1+b)2.故④ 正确.故正确的有①②④. 11.(1)①③④.(2)：关于x的一元二次方程a.x2+ bx十c=0为“和谐方程”，.b=a十c..b2一4ac=(a十 c)2一4ac=(a一c)2≥0.∴.“和谐方程”总有实数根. 12.(1)当m一1=0，即m=1时，原方程为-2x+2=0,解 得x=1,∴.当m=1时，原方程有实数根.当m一1≠0，即 m≠1时，，△=(-2m)2-4×(m-1)(m十1)=4>0， ∴.当m≠1时，原方程有实数根.综上所述，无论常数m取 何值，方程总有实数根.(2)：方程有两个整数根，.该 方程为一元二次方程，则m≠1.用公式法解方程得x= 2m±4_m±1 2m=Dm=解得飞1,2号·原方程有 两个整数银知-1+吕为整数m-1=士打 或士2.∴.m=0,2,一1,3.∴当m为0,2，-1,3时，方程 有两个整数根。 13.(1)设AB=xm,则BC=(72-3.x)m.根据题意，得 x(72-3x)=285,整理得x2-24x十95=0，解得x1=5, x2=19.当x=5时，72-3x=72-3×5=57<60,符合题 意：当x=19时，72一3.x=72一3×19=15<60，符合题意， .自行车车棚的边BC的长为57m或15m,AB的长为 5m或19m.(2)不能拓展为450m2.理由：假设能拓展 为450m,设AB=ym,则BC=(72一3y)m.根据题意 得y(72一3y)=450,整理得y2一24y+150=0..△ (-24)2-4×1×150=一24<0，∴.原方程没有实数根. .假设不成立，即自行车车棚ABCD的面积不能拓展为 450m2. 第4课时因式分解法 1.C移项得x(x一1)一x=0,因式分解得x(x一2)=0， .x=0或x-2=0,解得x1=0,x2=2. 2.D原方程可化为x2一3x=0,因式分解得x(x一3) 0,解得x1=0,x2=3. 1 3.②x1=-4,x2=-2 题图中展示解方程的步骤，他 是在第②步开始出错的，错误的原因是等式的两边同时除 以(x+40,而(z+4)可能为0，故1=一4，x2三2· 4.2落回地面时10x一4.9x2=0,解得x1=0(不合题意 合去)。-g2物体经过的约2：落回地面。 5Dy=0=-子.2)4=3，=号 7 (3)解法一：两边开方，得2(2x一1)=士3(x十4)，即2(2x 1)=3(x十4)，2(2x-1)=-3(x十4)，解得x1=14,x2 10 一7.解法二：移项，得4(2x-1)2-9(x十4)2=0，因式 分解，得2(2x-1)+3(x+4)][2(2x一1)-3(x+4)] 0,即(7x+10)(x-14)=0,∴.7x+10=0或x-14=0,解 得1=14，=9.(4)1=2=-2 6.B根据题意知x2+px一6=(x十3)(x一2)，则x2十 px-6=x2+x-6,.p=1. 7.B(x-1)(x-2)=x-2,移项得(x-1)(x-2)一 (x-2)=0,分解因式得(x-2)(x-2)=0,解得x1=x2= 2:对于方程，当x一2≠0时，两边除以(x一2)，得x一1= 1,即x=2:当x一2=0时，x=2,方程成立 8.答案不唯一，如x2一x一2=0两个实数根分别为2和 一1的一元二次方程为a(x一2)(x十1)=0，∴.这个方程 可以是x2-x-2=0. 9.一2根据题意，得x2十2x一(3x十1)=5，整理得x2 x-6=0,(x-3)(x十2)=0，x-3=0或x十2=0， ∴.x1=3,x2=一2.当x=3时，3x十1=10>0，舍去..x 的值为一2 10.1或4x☒k=0,(x一k)2一k=0,.x=2是这个方 程的一个根，.(2一k)2一k=0.整理得k2一5k十4=0，解 得k1=1,k2=4. 11..x2-9x十20=0可化为(x-4)(x一5)=0，.∴.x一 4=0或x-5=0,解得x1=4,x2=5.当菱形边长是4时， :4十4=8，∴.不能组成三角形.∴.该菱形的边长是5.连 接AC,交BD于点O,在菱形ABCD中，：AC⊥BD, OD=2BD=4.0A=AD2-0D=V5-4=3. ACSaM-ACBD-X6X8-4 12.(4x-5)2+(3x-2)2=(x-3)2,设m=4x-5,n= 3x一2，则m一n=(4x一5)一(3.x一2)=x一3，则原方程可 化为m2十n2=(m一n)2,整理得m=0,即(4.x一5)(3.x 2)=0.4x-5=0,3x-2=0.1=4x2=3 5 2 一微专题·用“十字相乘法”解一元二次方程 1.因式分解得(x+4)(x十1)=0，∴.x十4=0或x+ 1=0,解得x1=一4，x2=一1. 2.因式分解得(x一42)(x一√2)=0，.x一4√2=0 或x-2=0,解得x1=4V2,x2=2. 3.因式分解得(2x+5)(x一2)=0，.2x十5=0或x 2=0,解得x1=2,x2=-2 5 4.因式分解得(2x十9)(3x-4)=0,.2x十9=0,3x 9 4 4=0,解得x1=一2x2=3 3一元二次方程的根与系数的关系 1.C当k=2时，原方程为x2-3x+2=0,:△=(-3)2- 4×1×2=1>0,∴.当k=2时，原方程有两个不相等的实 数根，选项A错误.当k=3时，原方程为2x2-3x十2=0， .△=（一3）2一4×2×2=一7<0，.当k=3时，原方程 没有实数根，选项B错误.当k=0时，原方程为x2十3x 2=0,△=32一4×1×（一2）=17>0，.当k=0时，原 方程有两个不相等的实数根，且方程两根之积等于一2，选 项C正确.当k=4时，原方程为3x2一3.x十2=0，，△ (一3)2一4×3×2=一15<0，.当k=4时，原方程没有实 数根，选项D错误 2.C解法一：方程x2一x一2=0的两个根是x1和 x2,.x1+x2=1,x1x2=-2..x12x2+x1x22= x1x2(x1十x2)=-2X1=-2.解法二：解方程x2-x一 2=0,得x1=-1,x2=2,∴.x12x2十x1x22=-2. 3.一3：x1,x2是关于x的一元二次方程x2十2x m=0的两个实数根，∴.x1十x2=一2.又：x1=1, ∴.x2=-2-x1=-2-1=-3. 4.2由题意，得x1十x2=3x2=3,解得x2=1.将x=1 代人x2-3x十k=0,得12-3×1十k=0,解得k=2. 5.29:方程x2-5x-24=0的两根分别为a,b,.a十 b=5,a2-5a-24=0..a2-5a=24..a2-4a+b= a2-5a+a+b=24+5=29. 6.(1).关于x的一元二次方程x2十(2m一1)x十m一 1=0有实数根，∴.△=(2m一1)2一4×1×(m2-1)=4m2 5 4m+1-4m+4=-4m+5≥0，解得m≤4.∴实数m 的取值范周为m≤号.《(2)：关于x的一元二次方程 x2+(2m-1)x十m2-1=0的两实数根分别为x1,x2, .x1十x2=-(2m-1),x1x2=m2-1.x1十x2+ x1x2=0,∴.一(2m-1)十m2-1=0..m2-2m=0,解得 m=0m:=2又：m≤号m=0实数m的值为0， 7.A由题意，3十4=一b,1X2=c,解得b=一7，c=2, ∴.原来的方程为x2一7x十2=0. 8.C由方程x(x十2)-3=0，得到x2十2x-3=0.:两 根之和为一2，两根之积为一3，.m,n都为负数.∴点 (m,n)在第三象限 9.A:m,n是一元二次方程x2一x=5的两个实数根， ∴.m十n=1,mm=-5,m2=m+5..原式=m十5+5+ n+1=m+n+11=1+11=12. 10.7由根与系数的关系，可得m十n=5.将n代入方程， 可得n2-5n+2=0,.n2=5m-2..m十(n-2)2=m十 n2-4n十4=m+5n-2-4m+4=m+n+2=5+2=7. 11.2:x1x2是关于x的方程x2-2x十k-1=0的两 个实数根，.x1十x2=2,x1x2=k一1，x一2x1十k一1= 0..x=21-k+1.八2+=x+22-1, a+-2-2x1十)-.22-D=4 k-1 一k,解得k=2或k=5.当k=2时，关于x的方程为x2一 2x十1=0，△=0，符合题意；当k=5时，关于x的方程为x2 一2x十4=0,4<0，方程没有实数根，不合题意..k=2. 12.一4048，方程x2一2024x一2025=0的两个根分 别是m,n,∴.m2-2024m-2025=0,n2-2024n- 2025=0,m十n=2024,mm=-2025..m2=2024m+ 2025,n2=2024n+2025.∴.(m2-2023m-2026)(n2 20231-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+ 2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mm-(m+n)+ 1=-2025-2024+1=-4048.拔尖特训·数学（北师版）九年级上 第4课时 因式分解法 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025陇南期末]一元二次方程x(x一1)=x的根为 () A.x=2 B.x=0 C.c1=0,x2=2 D.x1=0,x2=1 2.[2025玉田期末]一元二次方程(x一1)(x-2)=2的解为 A.x=1 B.x=2 C.x1=1,x2=2 D.x1=0,x2=3 3.如图所示为某名同学解方程的步骤，他是在第 (填序号)步开始出错的，方程正确的解为 解方程：2x2+8x=一4-x 解：2x(x十4)=一(x十4)① 2x=-1② 2 (第3题) (第4题) 4.舒璋学科融合根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10/s的初速度竖直上抛（如图）， 那么物体经过xs离地面的高度（单位：m)为10x一4.9x2.根据上述规律，该物体落回地面所需 要的时间x约为 s(结果保留整数). 5.解下列方程： (1)(y+2)(2y+3)=6. (2)x-3=4(x-3)2. (3)-题多解4(2x-1)2=9(x+4)2. (4)(x2-1)2-6(x2-1)+9=0. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.用因式分解法解方程x2十x一6=0，若将左边分解后有一个因式是x十3，则p的值是() A.-1 B.1 C.-5 D.5 7.关于方程(x一1)(x一2)=x一2，下列说法中不正确的是 A.与方程x2+4=4x的根相同 B.两边同时除以(x一2)，得x一1=1，可以解得x=2 C.该方程有两个相等的实数根 D.移项并分解因式，得(x一2)2=0，可以解得x1=x2=2 30 第二章一元二次方程 8.结合因式分解法写出一个两个实数根分别为2和一1的一元二次方程： 9.如图，数轴上点A代表的数为3x十1，点B代表的数为x2十2x,已知AB=5,且点A在数轴的 负半轴上，则x的值为 A B 3x+1 x+2x (第9题) 10.新考向新定义题定义新运算“a⑧b”:对于任意实数a,b,都有a☒b=(a一b)2-b,其中等式右 边是通常的混合运算，如3⑧2=(3一2)2一2=一1.若x⑧k=0(k为实数)是关于x的方程，且 x=2是这个方程的一个根，则k的值是 11.在菱形ABCD中，对角线BD的长为8，菱形的边长是方程x2一9x+20=0的一个根，求该菱 形的面积. 12.解方程：(2x-5)2+(3x+7)2=(5x+2)2 解：设m=2x一5，n=3x+7,则m十n=5x+2,则原方程可化为m2+n2=(m十n)2,∴.mn= 0.即2x-53x+0=0,解得x-号，=子 请利用上述方法解方程：(4x-5)2+(3.x一2)2=(x一3)2. 微专题·用“十字相乘法”解一元二次方程 解读：解方程x2十2x一35=0时，我们可以按图示的方法解答： (1)分解因式x2+2x-35 ①竖分二次项与常数项： (2)若ab=0,则a=0或b=0,所以方程x2+2x-35可以 x2=x·x,-35=(-5)X(十7) 这样求解： ②交叉相乘，验中项： 方程左边分解因式得(x一5)(x十7)=0， .x-5=0或x+7=0. →7x-5x=2x ∴.x1=5,x2=-7. ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x一5)(x+7) 上述这种解一元二次方程的方法叫作“十字相乘法”.请参考以上方法解下列方程： 1.x2+5x+4=0.2.x2-5√2x+8=0.3.2x2+x-10=0.4.6.x2+19x-36=0. ●“答案与解析”见P20 31