第二章一元二次方程计算题专练20题2026-2027学年北师大版数学九年级上册

学校：____________ 班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 密封线内不要答题 北师大版九年级上册数学 第二章《一元二次方程》计算题专练 （2026秋新教材·共20题·八类题型） 满分：100分 建议时间：45分钟 温馨提示：1. 本卷为计算题专练，共 8 类题型、20 小题，请在每题下方的空白处写出完整的解题步骤。2. 建议限时 45 分钟完成，做完后对照后面的答案与解析逐题订正。 一、直接开平方法解方程（第1~2题，每小题5分，共10分） 要求：用直接开平方法解下列方程。 1. (2x + 1)² = 9 2. x² + 6x + 9 = 4 二、配方法解方程（第3~4题，每小题5分，共10分） 要求：用配方法解下列方程。 3. x² - 4x = 5 4. 2x² - 8x + 3 = 0 三、公式法解方程（第5~7题，每小题5分，共15分） 要求：用公式法解下列方程。 5. x² - 2x - 1 = 0 6. 3x² - 4x - 2 = 0 7. x² - 2√2x + 2 = 0 四、因式分解法解方程（第8~11题，每小题5分，共20分） 要求：用因式分解法解下列方程。 8. x² - 7x + 12 = 0 9. x² = 5x 10. 2x² - 5x + 2 = 0 11. (2x + 1)² = (x - 3)² 五、一元二次方程的根与系数的关系（第12~14题，每小题5分，共15分） 要求：不解方程，求下列各式的值。 12. 已知方程 x² - 6x + 5 = 0 的两根为 x₁，x₂，求 x₁ + x₂ 与 x₁x₂ 的值。 13. 已知方程 x² + 5x - 6 = 0 的两根为 x₁，x₂，求 x₁² + x₂² 的值。 14. 已知方程 x² - 4x + 1 = 0 的两根为 x₁，x₂，求 + 的值。 六、含参数的一元二次方程（第15~17题，每小题5分，共15分） 15. 若关于 x 的方程 kx² - 3x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。 16. 若关于 x 的方程 x² - 4x + m - 1 = 0 有实数根，求 m 的取值范围。 17. 若关于 x 的方程 x² + (m - 2)x + 1 = 0 有两个相等的实数根，求 m 的值。 七、特殊解法与整体思想（第18题，每小题5分，共5分） 18. 解方程：(x² + x)² - 4(x² + x) - 12 = 0。 八、方程思想的应用计算（第19~20题，每小题5分，共10分） 19. 已知两个数的和是 10，积是 21，求这两个数。（提示：设其中一个数为 x，另一个数为 10 - x） 20. 已知关于 x 的方程 x² - (m + 1)x + m = 0（m 为任意实数）。 （1）试说明：无论 m 取何值，x = 1 都是这个方程的一个根； （2）求出方程的另一个根（用含 m 的式子表示）。 北师大版九年级上册数学 第二章《一元二次方程》计算题专练 参 考 答 案 与 解 析 一、直接开平方法解方程（10分） 1. x₁ = 1，x₂ = -2 【解析】开平方，得 2x + 1 = ±3。由 2x + 1 = 3 得 x = 1；由 2x + 1 = -3 得 x = -2。 2. x₁ = -1，x₂ = -5 【解析】左边是完全平方式，x² + 6x + 9 = (x + 3)²，原方程即 (x + 3)² = 4。开平方得 x + 3 = ±2，所以 x₁ = -1，x₂ = -5。 二、配方法解方程（10分） 3. x₁ = 5，x₂ = -1 【解析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方 2² = 4，得 x² - 4x + 4 = 5 + 4，即 (x - 2)² = 9。开平方得 x - 2 = ±3，所以 x₁ = 5，x₂ = -1。 4. x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 【解析】二次项系数化为 1，得 x² - 4x + = 0，移项得 x² - 4x = -。 配方得 (x - 2)² = - + 4 = ，开平方得 x - 2 = ±，所以 x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 。 三、公式法解方程（15分） 求根公式：x =，其中 Δ = b² - 4ac ≥ 0。 5. x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 【解析】a = 1，b = -2，c = -1。Δ = (-2)² - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8 > 0。 代入公式得 x = = = 1 ± 。 【提醒】 要化简为 2 后再约分。 6. x₁ = ，x₂ = 【解析】a = 3，b = -4，c = -2。Δ = (-4)² - 4×3×(-2) = 16 + 24 = 40 > 0。 x = = =。 7. x₁ = x₂ = 【解析】a = 1，b = -2，c = 2。Δ = (-2)² - 4×1×2 = 8 - 8 = 0， 方程有两个相等的实数根。x = = 。 【说明】Δ = 0 时方程有两个相等的实数根，不能写作"只有一个根"，因为根的个数（含重根）仍为两个。 四、因式分解法解方程（20分） 核心思路：将方程化为 AB = 0 的形式，则 A = 0 或 B = 0。 8. x₁ = 4，x₂ = 3 【解析】十字相乘分解：x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0，所以 x - 3 = 0 或 x - 4 = 0，即 x₁ = 3，x₂ = 4。 9. x₁ = 0，x₂ = 5 【解析】移项得 x² - 5x = 0，提公因式得 x(x - 5) = 0，所以 x = 0 或 x - 5 = 0，即 x₁ = 0，x₂ = 5。 【易错】方程两边不能直接同除以 x（x 可能为 0），否则会漏掉 x = 0 这个根。 10. x₁ = 2，x₂ = 【解析】十字相乘分解：2x² - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2) = 0，所以 2x - 1 = 0 或 x - 2 = 0，即 x₁ = ，x₂ = 2。 11. x₁ = ，x₂ = -4 【解析】移项后用平方差公式：(2x + 1)² - (x - 3)² = 0，即 [(2x + 1) + (x - 3)][(2x + 1) - (x - 3)] = 0， 化简得 (3x - 2)(x + 4) = 0，所以 x₁ = ，x₂ = -4。 【方法】形如 A² = B² 的方程，移项后用平方差分解最简捷。 五、根与系数的关系（15分） 韦达定理：若 x₁，x₂ 是 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0，Δ ≥ 0）的两根，则 x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。 12. x₁ + x₂ = 6，x₁x₂ = 5 【解析】a = 1，b = -6，c = 5。由韦达定理，x₁ + x₂ = -= 6，x₁x₂ = = 5。 【检验】方程可分解为 (x - 1)(x - 5) = 0，两根为 1 和 5，和为 6，积为 5，与结论一致。 13. 37 【解析】由韦达定理，x₁ + x₂ = -5，x₁x₂ = -6。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (-5)² - 2×(-6) = 25 + 12 = 37。 【方法】"和之平方减两倍积"是求两根平方和的标准变形。 14. 4 【解析】a = 1，b = -4，c = 1，Δ = 16 - 4 = 12 > 0，方程有实根。由韦达定理，x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = 1。 + = == 4。 【提醒】使用韦达定理必须先验证 Δ ≥ 0，否则结论不成立。 六、含参数的一元二次方程（15分） 判别式 Δ = b² - 4ac：Δ > 0 ↔ 两个不相等的实数根；Δ = 0 ↔ 两个相等的实数根；Δ < 0 ↔ 没有实数根。 15. k < 且 k ≠ 0 【解析】因为方程有两个不相等的实数根，所以它必须是一元二次方程，故二次项系数 k ≠ 0。 当 k ≠ 0 时，Δ = (-3)² - 4×k×1 = 9 - 4k > 0，解得 k < 。 综上，k 的取值范围是 k < 且 k ≠ 0。 【易错】含字母系数的方程，务必先讨论二次项系数是否为 0，否则会漏掉 k ≠ 0 这一限制。 16. m ≤ 5 【解析】a = 1，b = -4，c = m - 1。方程有实数根，则 Δ ≥ 0。 (-4)² - 4×1×(m - 1) ≥ 0，即 16 - 4m + 4 ≥ 0，20 - 4m ≥ 0，解得 m ≤ 5。 【提醒】"有实数根"包含"有两个不相等实根"和"有两个相等实根"两种情况，故取 Δ ≥ 0 而非 Δ > 0。 17. m = 0 或 m = 4 【解析】a = 1，b = m - 2，c = 1。方程有两个相等的实数根，则 Δ = 0。 (m - 2)² - 4×1×1 = 0，即 (m - 2)² = 4。开平方得 m - 2 = ±2，所以 m = 4 或 m = 0。 【检验】m = 4 时方程为 x² + 2x + 1 = 0，即 (x + 1)² = 0；m = 0 时方程为 x² - 2x + 1 = 0，即 (x - 1)² = 0。均满足两根相等。 七、特殊解法与整体思想（5分） 18. x₁ = 2，x₂ = -3 【解析】设 t = x² + x，则原方程化为 t² - 4t - 12 = 0。 因式分解得 (t - 6)(t + 2) = 0，所以 t = 6 或 t = -2。 当 t = 6 时，x² + x = 6，即 x² + x - 6 = 0，解得 x = 2 或 x = -3； 当 t = -2 时，x² + x = -2，即 x² + x + 2 = 0，Δ = 1 - 8 = -7 < 0，无实数根。 所以原方程的解为 x₁ = 2，x₂ = -3。 【思想】"整体换元"的关键是把重复出现的式子看作一个整体，最后务必代回并检验增根。 八、方程思想的应用计算（10分） 19. 这两个数是 3 和 7 【解析】设其中一个数为 x，则另一个数为 10 - x。 由题意得 x(10 - x) = 21，整理得 x² - 10x + 21 = 0。 十字相乘分解得 (x - 3)(x - 7) = 0，所以 x = 3 或 x = 7。 当 x = 3 时，另一个数为 7；当 x = 7 时，另一个数为 3。 所以这两个数是 3 和 7。 【方法】"已知两数和与积求两数"可直接构造方程 x² - (和)x + (积) = 0，这是韦达定理的逆向应用。 20.（1）见解析　（2）另一个根为 x = m 【解析】 （1）把 x = 1 代入方程的左边： 1² - (m + 1)×1 + m = 1 - m - 1 + m = 0，即左边 = 0 = 右边。 所以无论 m 取何值，x = 1 都是方程 x² - (m + 1)x + m = 0 的一个根。 （2）由因式分解：x² - (m + 1)x + m = (x - 1)(x - m)。 所以原方程即 (x - 1)(x - m) = 0，解得 x = 1 或 x = m。 因此方程的另一个根为 x = m。 【另解】由韦达定理，x₁ + x₂ = m + 1，已知 x₁ = 1，所以 x₂ = m + 1 - 1 = m。 【点评】本题体现了"先验证、后求解"的解题思路：验证恒根时不宜空谈，应直接代入计算；求另一根时既可因式分解，也可用韦达定理，两种方法互相印证。 1 学科网（北京）股份有限公司 $